diff --git a/12.temporary_ins/06.geometry-coordinates/40.n4/10.main/textbook.fr.md b/12.temporary_ins/06.geometry-coordinates/40.n4/10.main/textbook.fr.md
index 932d152e1..da9583589 100644
--- a/12.temporary_ins/06.geometry-coordinates/40.n4/10.main/textbook.fr.md
+++ b/12.temporary_ins/06.geometry-coordinates/40.n4/10.main/textbook.fr.md
@@ -196,27 +196,39 @@ unité d'invariant.
 
 (CME)
 1. La sphère est plongée dans l'espace tridimensionnel euclidien classique.   
-Dans tout système de coordonnées cartésiennes $`(O, x, y, z)`$ où l'origine $`O`$
+Dans tout système de coordonnées cartésiennes $`\mathscr{S}_O=(O, x, y, z)`$ où l'origine $`O`$
 des coordonnées est située au centre de la sphère de rayon $`R`$, les coordonnées
 $`(x_M, y_M, z_M`$ de tout point $`M`$ situé à la surface de la sphère vérifient :   
-
-$`x_M^2+y_M^2+z_M^2=R^2`$
+<br>   
+$`x_M^2+y_M^2+z_M^2=R^2`$,   
+<br>   
+soit en notation indicielle :  
+$`(x^1_M)^2+(x^2_M)^2+(x^3_M)^2=R^2`$, ou encore    
+$`\displaystyle\sum_{i=1}^3 (x^i_M)^2=R^2`$   
 
 2. Précisons un peu. Quelque-soit un point $`M`$ à la surface de la sphère, nous pouvons
-choisir un système de coordonnées cartésiennes $`\mathscr{S}=(O, x, y, z)`$ d'origine $`O`$ au centre
+choisir un système de coordonnées cartésiennes $`\mathscr{S}_O=(O, x, y, z)`$ d'origine $`O`$ au centre
 de la sphère, et tel que $`M`$ soit situé sur l'axe $`Oz`$ : les coordonnées du point $`M`$
 sont alors $`(x_M=0\,,y_M=0\,, z_M=R)`$, et elle vérifient bien sûr toujours $`x_M^2+y_M^2+z_M^2=R^2`$.
 
 3. En gardant inchangés les directions et sens de axes, déplaçons l'origine à la surface
-de la sphère. L'origine sera alors située au point $`M`$ et la nouveau système d'axes
-$`(M, x', y', z')`$ est obtenu avec le changement de variables :   
-$`\begin{vmatrix} x'=x \\ y'=y \\ z'=z-R \end{vmatrix}`$.   
+de la sphère. L'origine du nouveau système $`\mathscr{S}_M=(M, x, y, z)`$ est alors située au point $`M`$.
 Nous pouvons alors faire 3 remarques :   
 \- ce nouveau système d'axe reste cartésien.   
 \- les coordonnées du point $`M`$ sont $`(x_M=0\,,y_M=0\,, 0)`$.   
-\- l'ensemble des points tels que $`z_M=0`$ définissent le plan tangent à la sphère au point $`M`$.
-
-
+\- l'ensemble des points tels que $`z_M=0`$ définissent le plan tangent à la sphère au point $`M`$.    
+
+4. Dans ce système $`\mathscr{S}_M=(M, x, y, z)`$, les coordonnées de tout point $`P`$ de la sphère vérifient :   
+$`x_P^2+y_P^2+(z_P+R)^2=R^2`$   
+<br>   
+En notation indicielle :  
+$`(x^1_M)^2+(x^2_M)^2+(x^3_M)^2=R^2`$, soit encore    
+$`\displaystyle\sum_{i=1}^3 (x^i_M)^2=R^2`$  
+5. 
+
+4. Pour un être confiné dans les deux dimensions de la surface de la sphère (appellons-le "fourmie"), la dimension
+portée par l'axe $`Mz`$ n'existe pas. Il ne peut décrire sa variété 2D qu'avec le système de coordonnées
+$`\mathscr{S}_M=(M\,,x\,,y)`$ qu'il s'est construit (ou un système équivalent).