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Claude Meny 5 years ago
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title: cylindrical coordinates (synthesis)
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visible: false
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<!--MétaD : INSAT-TR_-->
!!!! Cours en construction !
!!!! Imparfait, incomplet
!!!! Ne pas publier, ne pas mettre visible
#### Que sont les coordonnées cylindriques ?
* 3 coordonnées *spatiales* : **$`\mathbf{\rho\;,\;\varphi\;,\;z}`$**
* définies à partir du **système de référence** des *coordonnées cartésiennes associées*.
* **$`\mathbf{\rho}`$** et **$`\mathbf{z}`$** sont des *longueurs*, de coordonnées SI : le mètre *($`\mathbf{m}`$)*.
* **$`\mathbf{\varphi}`$** est un *angle* exprimés en radian *($`\mathbf{rad}`$)*.
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![](cylindrical_coordinates_definition_L1200.gif)
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#### Quels sont les domaines de variation des coordonnées ?
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![](cylindrical_coordinates_variation_range_L1200_v2.gif)
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#### Comment passer des cylindriques aux cartésiennes ?
* Méthode : *projeter* le vecteurs $`\overrightarrow{OM}`$ sur l'axe $`Oz`$, sur le plan $`xOy`$ au point $`M_{xOy}`$
* puis sur chacun des axes $`Ox`$ et $`Oy`$, *en utilisant les fonctions* trigonométriques *sinus* et *cosinus*.
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![](cylindrical_coordinates_projection.png)
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* $`\Longrightarrow`$
**$`\quad\mathbf{}\left\{\begin{array}{l} \mathbf{ x=\rho\cdot\cos\varphi} \\\mathbf{ y=\rho\cdot\sin\varphi} \\\mathbf{ z=z} \\ \end{array}\right. `$**
#### Comment définir le vecteur unitaire associé à chaque coordonnée ?
* Le vecteur unitaire $`\overrightarrow{e_{\alpha}}`$ indique la **direction et le sens de déplacement** d'un point $`M`$ si *seule la coordonnée $`\alpha`$* du point $`M`$ *varie d'une quantité positive infinitésimale $`d\alpha^+`$*.
##### Vecteur unitaire $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
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![](cylindrical_coordinates_unit_vector_phi_definition_L1200_v3.gif)
--------
* Déplacement **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M"(\rho,\varphi+\Delta\varphi^+,z)}`$**<br>
(avec $`\Delta\varphi^+=\Delta\varphi>0`$)<br>
<br>**$`\Longrightarrow`$ direction et sens** de **$`\mathbf{\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**<br>
$`\Longrightarrow\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ : vecteur unitaire tangent en $`M`$ au cercle de rayon $`\rho_M`$ dans le plan $`z_M=const`$, orienté dans le sens des $`\varphi`$ croissants.
* Longueur parcourue : $`l_{\Delta\varphi}`$<br>
Vecteur déplacement : $`\overrightarrow{MM''}`$
* Déplacement *macroscopique : $`\mathbf{l_{\Delta\varphi} \ne\, ||\overrightarrow{MM''}||}`$*.
* Déplacement **infinitésimal : $`\mathbf{dl_{\varphi}=\,||\overrightarrow{MM''}||}`$**.
* Cas général ($`d\varphi=d\varphi^+>0`$ ou $`d\varphi^-<0`$) :<br>
<br>**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\varphi}}}`$** *$`\displaystyle=\lim_{\Delta\varphi\rightarrow 0} \overrightarrow{MM''}`$* **$`\mathbf{=\rho_M\cdot d\varphi\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**<br>
##### Vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ et $`\overrightarrow{e_z}`$
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![](cylindrical_coordinates_e-z_e-rho_unit_vector_L1200.gif)
--------
* **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M'(\rho+\Delta\rho^+,\varphi,z)}`$**<br>
**$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M'''(\rho,\varphi,z+\Delta z^+)}`$** <br>
(avec $`\Delta\rho^+=\Delta\rho>0`$ et $`\Delta z^+=\Delta z>0`$)<br>
<br>**$`\Longrightarrow`$ directions et sens** de <br>
**$`\quad\overrightarrow{e_{\rho}}`$** : selon l'axe $`Om_{xOy}`$.<br>
**$`\quad\overrightarrow{e_z}`$** : selon l'axe $`Oz`$.
* Dans les deux cas, la trajectoire suivie par $`M`$ : sègment de droite<br>
$`\Longrightarrow`$ longueur parcourue = norme du vecteur déplacement.<br>
$`\Longrightarrow`$ $`l_{\Delta\rho}=||\overrightarrow{MM'}||\quad`$ et $`\quad l_{\Delta z}=||\overrightarrow{MM'''}||`$
* Cas général ($`d\rho\;, dz >0\;\text{ou}<0`$) :<br>
**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\rho}}}`$** $`\displaystyle=\lim_{\Delta\rho\rightarrow 0} \overrightarrow{MM'}`$ **$`\mathbf{ = d\rho \cdot \overrightarrow{e_{\rho}}}`$**.<br>
**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_z}}`$** $`\displaystyle=\lim_{\Delta z \rightarrow 0} \overrightarrow{MM'''}`$
**$`\mathbf{=dz \cdot \overrightarrow{e_z}}`$**.
#### La base $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ est orthonormée.
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![](cylindrical_coordinates_orthogonal_base_L1200.jpg)
---
* $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ est la *base associée à un point $`M(\rho_M,\varphi_M,z_M)`$*.
* **$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$** est orthonormée **directe si $`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$** est orthonormée **directe**, et *inverse dans le cas contraire*.
* **$`\left\{ \begin{array}{l}\mathbf{\overrightarrow{e_{\rho}}=\cos\varphi\cdot\overrightarrow{e_x}+\sin\varphi\cdot\overrightarrow{e_y}} \\\mathbf{\overrightarrow{e_{\varphi}}=-\sin\varphi\cdot\overrightarrow{e_x}+\cos\varphi\cdot\overrightarrow{e_y}} \end{array}\right.`$**
* Dans le référentiel $`(O,\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z},t)`$, la *base $`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$* :<br>
\- n'est **pas fixe**.<br>
\- **change d'orientation** *quand $`\varphi_M`$ varie*.
#### Comment s'exprime le vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ ?
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![](cylindrical_coordinates_vector_OM_L1200.gif)
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* **$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=\rho_M\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+z_M\cdot\overrightarrow{e_z}}`$**
#### Que sont l'élément de longueur $`dl`$ et vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$ ?
* Un point **$`M(\rho,\varphi,z)`$** fait un **déplacement infinitésimal** jusqu'au point $`M'(\rho+d\rho,\varphi+d\varphi,z+dz)`$, avec *$`d\rho`$, $`d\varphi`$ et $`dz`$ variations infinitésimales, positives ou négatives*, des coordonnées $`\rho\;,\;\varphi\;,\;z`$.
##### Vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$
* vecteur déplacement élémentaire = *élément vectoriel d'arc* [Norme IEC](http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-02)
* Le **vecteur déplacement élémentaire** est le vecteur
**$`\overrightarrow{dl}`$** $`\;=dl_{\rho}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\cdot\overrightarrow{e_z}`$
**$`\quad=dl_{\rho}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+\rho\,d\varphi\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\cdot\overrightarrow{e_z}`$**
* permet de calculer les vecteurs vitesse $`\overrightarrow{v}(t)`$ et accélération $`\overrightarrow{a}(t)`$ d'un point M à tout instant t :<br>
**$`\overrightarrow{v}(t)`$**$`\;=\dfrac{\overrightarrow{dOM}}{dt}`$**$`\;=\dfrac{\overrightarrow{dl}}{dt}`$**<br>
**$`\overrightarrow{a}(t)`$**$`\;=\dfrac{\overrightarrow{d^2 OM}}{dt^2}`$**$`\;=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\overrightarrow{dl}}{dt}\right)`$**
##### Élément de longueur $`dl`$
* élément de longueur = *élément scalaire d'arc* [Norme IEC](http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-01)
* L'**élément de longueur $`dl`$** est la *longueur parcourue* sur la trajectoire entre $`M`$ et $`M'`$ :<br>
**$`dl`$**$`\;=\sqrt{dl_{\rho}^2+dl_{\varphi}^2+dl_z^2}`$**$`\;=\sqrt{d\rho^2+\rho^2\,d\varphi^2+dz^2}`$**
* Permet de calculer la longueur $`\mathscr{l}`$ d'une trajectoire $`L`$, lorsque les coordonnées $`\rho(t)`$, $`\varphi(t)`$ et $`z(t)`$ varient en fonction du temps de façon indépendantes les une des autres :<br>
**$`\displaystyle\mathbf{\mathscr{l}=\int_L dl}`$**
#### Qu'est-ce que la surface élémentaire associée à chaque coordonnée ?
---
![](cylindrical_coordinates_surface_4_L1200.jpg)<br>
<br>
![](cylindrical_coordinates_surface_2_L1200.jpg)<br>
<br>
![](cylindrical_coordinates_surface_3_L1200.jpg)<br>
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#### Qu'est-ce que le volume élémentaire ?
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![](cylindrical_coordinates_volume_L1200.jpg)<br>
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