diff --git a/12.temporary_ins/06.geometry-coordinates/40.n4/10.main/textbook.fr.md b/12.temporary_ins/06.geometry-coordinates/40.n4/10.main/textbook.fr.md
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@@ -17,7 +17,7 @@ lessons:
 ### Géométrie et coordonnées niveau 4 : main
 
 Peut-être au final se dévisera en 3 utimes branches distinctes, à voir :
-\- coordonnées curvilignes (avec gradient, divergence et rotationnel)   
+\- coordonnées curvilignes orthogonales (avec gradient, divergence et rotationnel)   
 qui pourrait être indépendante depuis le niveau 1 (chemin déjà partiellement conçu).
 \- géométries non euclidienne
 \- espace duale
@@ -44,8 +44,35 @@ en utilisant des bases cartésiennes, cylindriques et sphérique.
 de systèmes de coordonnées quelconques.
 -------------------------------------------->
 
+### I - Coordonnées curvilignes orthogonales
 
-### Géométries non euclidienne
+<!-----------------
+*COORD-CURV-4.10* : 
+------------------>
+
+Soit un système de coordonnées $`(\eta_1,\eta_2, /eta_3)`$ de l'espace euclidien.   
+Tout point $`M`$ de l'espace euclidien est repéré par ses trois coordonnées $`(\eta_{1\,M},\eta_{2\,M}, /eta_{3\,M})`$.   
+Nous appellerons axes $`M\eta_i`$ 
+
+
+
+Les axes d'un système de coordonnées curvilignes $``$ sont des courbes orientées.
+Les coordonnées curvilignes sont orthogonales lorsque, un toput point $`M`$ de l'espace euclidien,
+les tangentes aux axes curvilignes en ce point sont perpendiculaires entre-elles.
+
+!!! *Exemples* :   
+!!! Les *coordonnées cylindriques* et *coordonnées sphériques* définies au niveau précédent sont des
+!!! *exemples de coordonnées curvilignes orthogonales*.
+!!! En effet :
+!!! * coordonnées cylindriques $`(\rho\,,\varphi\, z)`$ :   
+!!! En tout point $`M`$ de l'espace, les axes,
+!!!   * $`\rho`$, définit par la ligne obtenue par
+!!! 
+!!!
+!!
+
+
+### I - Géométries non euclidienne
 
 <!-------------------------------------------
 *GEOM-NO-EUC-4.100* : variété et coordonnées
@@ -268,6 +295,8 @@ $`\quad=g_{xx}\,dx^2+1+g_{yy}\,dy^2+(g_{xy}+g_{yx})\,dxdy`$
 
 --->
 
+### 3 - Espace récirpoque et base duale.
+