From ede69c69b3d051a7becb0e0498d02dabea8df658 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Claude Meny Date: Thu, 18 Mar 2021 12:57:56 +0100 Subject: [PATCH] Delete textbook.fr.md --- .../04.curl/textbook.fr.md | 270 ------------------ 1 file changed, 270 deletions(-) delete mode 100644 01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/03.niv3/05.math-tools-for-physics/04.differential-operators/04.curl/textbook.fr.md diff --git a/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/03.niv3/05.math-tools-for-physics/04.differential-operators/04.curl/textbook.fr.md b/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/03.niv3/05.math-tools-for-physics/04.differential-operators/04.curl/textbook.fr.md deleted file mode 100644 index 302c4f482..000000000 --- a/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/03.niv3/05.math-tools-for-physics/04.differential-operators/04.curl/textbook.fr.md +++ /dev/null @@ -1,270 +0,0 @@ ---- -title : The curl vector -published : false -visible : false ---- - -## Le rotationnel - -### Opérateur, vecteur, champ rotationnel - -### Intérêt du vecteur rotationnel - -La visualisation des lignes d'un champ vectoriel montre parfois qu'au voisinage -de certains points de l'espace, les lignes semblent tourner autour de ce point -dans un plan donné. - -Exemple : Visualisation du champ vectoriel créé par trois fils rectilignes infinis -parallèles parcourus par des courant stationnaires (stationnaire est l'adjectif -qui précise "indépendant du temps"), dans un plan perpendiculaires à la direction -commune de ces trois fils : l'humain repère de suite les 3 points autour desquels -les lignes de champ s'enroulent. - -Parfois cette observation d'un mouvement de rotation des lignes de champ autour -de certains points est peu visible. En effet le champ vectoriel peut être complexe. -Il peut par exemple être la somme de trois champs. Au voisinage d'un point M de -l'espace, les lignes du premier champ peuvent garder une direction constante, -celles du second champ converger ou diverger à partir de ce point, et celles du -troisième tourner dans un sens ou dans l'autre autour de ce point dans un plan -donné passant par M. - -L'extraction et la quantification de l'information "rotation" des lignes d'un champ -vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ au voisinage d'un point M est importante, et sera -donné par le vecteur $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}`$, $`\overrightarrow{X_M}`$ -étant le vecteur particulier au point M du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$. - -L'ensemble des vecteurs $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}`$ étendu -à tous les points M de l'espace définit le champ rotationnel -$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}`$ du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ . - -### Définition du vecteur rotationnel - -Un champ vectoriel, par définition, s'étend dans les trois directions de l'espace. -A priori, sauf dans des cas spécifiques très simples, la direction autour de -laquelle une composante tournante du champ vectoriel est non visible et inconnue. -Je ne peux donc que tester la composante rotation du champ vectoriel -$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}`$ en un point M -et autour d'un axe arbitraire représenté par un vecteur unitaire . - -Je considère, dans le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{n}`$ au point P, -un contour fermé C entourant le point M. Je choisi comme sens positif de circulation -sur ce contour C le sens positif conventionnel donné par la règle de la main droite : -si mon pouce tendu indique la direction du vecteur $`\overrightarrow{n}`$, alors -l'orientation de les quatre autres doigts indique le sens positif de rotation. -La circulation du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ le long du contour C s'écrit - -$`\displaystyle\oint_{C} \overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{dl}`$ - -Ce contour C inscrit dans un plan délimite une surface plane d'aire S - -$`\displaystyle S = \iint_{S \leftrightarrow C} dS`$ - -Je diminue maintenant la taille de ce contour entourant le point M, de ce fait la -longueur l du contour C et l'aire S de la surface plane délimitée par C tendent -toutes deux vers zéro. Par définition, la limite lorsque C tend vers zéro du rapport -"circulation de $`\overrightarrow{X}`$ le long du contour C" par "l'aire S de la -surface plane délimitée par C" donne la composante dans la direction $`\overrightarrow{n}`$ -d'un vecteur appelé rotationnel du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ au point M. -L'écriture mathématique de cette définition est beaucoup plus simple : - -$`\displaystyle \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{n} -=\lim_{C \to 0} \: \dfrac{\oint_C \overrightarrow{X} \cdot -\overrightarrow{dl}}{\iint_{S \leftrightarrow C} dS}\hspace{1 cm}`$ (1) - -! *POINT DE DETAIL* :
-! Dire qu'un contour C tend vers zéro signifie que le rayon du cercle dans lequel -! s'inscrit du contour C tend vers zéro, la forme du contour restant inchangée. - -Ainsi, si le plan dans lequel s'effectue la rotation du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ -au voisinage de M est bien le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{n}`$, alors -le vecteur $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} indique bien la direction -et le sens de l'axe de rotation au point M. - -En posant - -$`\displaystyle d\mathcal{C}_M = \lim_{C \to 0} \: \oint_C \overrightarrow{X} -\cdot \overrightarrow{dl}\hspace{0.5 cm}`$, et $`\displaystyle \hspace{0.5 cm}dS_M = -\lim_{C \to 0} \: \iint_{S \leftrightarrow C} dS`$ - -l'équation (1) se réécrit - -$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{n}= - \dfrac{d\mathcal{C}_M}{dS_M}`$ - -La circulation infinitésimal autour d'un point M d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ -sur un contour élémentaire orienté perpendiculairement à une direction représentée par un vecteur -unitaire $`\overrightarrow{n}`$ s'écrit - -$`d\mathcal{C}_M = (\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}\cdot \overrightarrow{n} -) \ dS_M `$ - -soit encore - -$`d\mathcal{C}_M = \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}\cdot \overrightarrow{dS_M} -\hspace{1 cm}`$ (2) - -où $`\overrightarrow{dS_M}`$ est le vecteur surface élémentaire, vecteur perpendiculaire -à la surface élémentaire $`dS_M`$ au point M et de norme égale à l'aire de la surface -élémentaire $`dS_M`$. - -Les équations (1) et (2) restant valables en tout point de l'espace, je peux omettre -de préciser le point, et écrire plus simplement - -$`\displaystyle \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{n} -=\lim_{C \to 0} \: \dfrac{\oint_C \overrightarrow{X} \cdot -\overrightarrow{dl}}{\iint_{S \leftrightarrow C} dS}\hspace{1 cm}`$ (3) - -$`d\mathcal{C} = \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{dS} -\hspace{1 cm}`$ (4) - -### Expression du vecteur rotationnel en coordonnées cartésiennes - -Je repère l'espace avec trois axes orthogonaux $`Ox`$, $`Oy`$ et $`Oz`$ se coupant -en un point origine $`O`$, munie d'une même unité de longueur et décrivant un trièdre -direct. Tout point quelconque M de l'espace est ainsi repéré par ses trois coordonnées -cartésiennes $`(x_M, y_M, z_M)`$ et en M les trois vecteurs unitaires -$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$ associés aux -coordonnées définissent une base orthonormée directe. - -Le vecteur au point quelconque M d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ de -composantes cartésiennes $`(X_M, Y_M, Z_M)`$ s'écrit - -$`\overrightarrow{X_M} = X_M \cdot \overrightarrow{e_x} + Y_M \cdot \overrightarrow{e_y}+ -X_M \cdot \overrightarrow{e_z}`$ - -Je vais tester la circulation du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ dans les -trois directions indiquées par les vecteurs unitaires -$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$. Pour l'étude -de la composante de $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}`$ selon z (composante -d'expression mathématique $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{e_z}`$ ), -je choisis dans le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{e_z}`$ et passant -par M le contour infinitésimal à l'expression la plus simple : le petit rectangle -ABCD de côtés parallèles aux vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$ et $`\overrightarrow{e_y}`$, -de centre M et de côtés $`dl_x=dx`$ et $`dl_y=dy`$. J'oriente ce rectangle infinitésimal -ABCD selon la règle de la main droite, le pouce tendu en direction et sens du vecteur -$`\overrightarrow{n}`$. Ainsi, si le vecteur $`\overrightarrow{e_z}`$ pointe vers -mon oeil, alors le sens d'orientation du rectangle ABCD est le sens trigonométrique -direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). - -Je connais l'expression analytique du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$, c'est -à dire les expressions analytique des composantes. - -Je connais les composantes cartésiennes $`(X_M, Y_M, Z_M)`$ du vecteur $`\overrightarrow{X_M}`$ -au point M. Pour établir le champ rotationnel, je dois obtenir une expression analytique -de ce champ en tout point de l'espace. La circulation de sur ABDC est la somme des circulations -de $`\overrightarrow{X}`$ sur chacune des quatre branches AB, BC, CD et DA. - -Soit la branche AB de centre P et dont l'ensemble des points admettent $`x_M-\dfrac{dx}{2}`$ -comme coordonnée selon x. L'orientation du rectangle élémentaire impose que le déplacement -élémentaire $`\overrightarrow{dl_{AB}}`$ de A vers b s'écrit - -$`\overrightarrow{dl_{AB}}=-dy \cdot \overrightarrow{e_y}`$ - -Au premier ordre, le vecteur $`\overrightarrow{X_P}`$ au point P est le vecteur moyen -du champ sur la branche AB, et son expression en fonction des composantes de $`\overrightarrow{X_M}`$ -et du déplacement élémentaire pour passer de M en P est - -$`\displaystyle \overrightarrow{X_P}=\left[X_M + -\left.\dfrac{\partial X}{\partial x}\right|_M \cdot -\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$ -$`+\left[Y_M + \left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot -\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$ -$`+\left[Z_M + \left.\dfrac{\partial Z}{\partial x}\right|_M \cdot -\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$ - -Le calcul de la circulation élémentaire de $`\overrightarrow{X}`$ sur la branche -AB me donne - -$`\overrightarrow{dl_{AB}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}= -\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot -\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot (-dy)`$ - -La même démarche appliquée à la branche opposée CD de centre R me donne - -$`\overrightarrow{dl_{AB}}=+dy \cdot \overrightarrow{e_y}`$ - -$`\displaystyle \overrightarrow{X_R}=\left[X_M + -\left.\dfrac{\partial X}{\partial x}\right|_M \cdot -\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$ -$`+\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot -\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$ -$`+\left[Z_M+\left.\dfrac{\partial Z}{\partial x}\right|_M \cdot -\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$ - -$`\overrightarrow{dl_{CD}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}= -\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot -\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot (+dy)`$ - -La somme des circulations élémentaires sur les branches AB et CD se simplifie - -$`\overrightarrow{dl_{AB}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ -\overrightarrow{dl_{CD}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}= -dx \cdot dy \cdot \left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \hspace{1 cm}`$ (5) - -Le travail équivalent sur les branches BC de centre Q, et DA de centre S donne - -$`\overrightarrow{dl_{BC}}=+dx \cdot \overrightarrow{e_x}`$ , - -$`\displaystyle \overrightarrow{X_Q}=\left[X_M+\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M \cdot -\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$ -$`+\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial y}\right|_M \cdot -\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$ -$`+\left[Z_M+\left.\dfrac{\partial Z}{\partial y}\right|_M \cdot -\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$ , - -$`\overrightarrow{dl_{BC}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_Q}= -\left[X_M+\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M \cdot -\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot (+dx)`$ , - -$`\overrightarrow{dl_{DA}}=-dx \cdot \overrightarrow{e_x}`$ , - -$`\displaystyle \overrightarrow{X_S}= -\left[X_M+\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M \cdot -\left(+\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$ -$`+\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial y}\right|_M \cdot -\left(+\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$ -$`+\left[Z_M+\left.\dfrac{\partial Z}{\partial y}\right|_M \cdot -\left(+\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$ - -ce qui conduit à - -$`\overrightarrow{dl_{BC}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_Q}+ -\overrightarrow{dl_{DA}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_S}= - dx \cdot dy \cdot -\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M\hspace{1 cm}`$(6) - -J'obtiens maintenant, en additionnant les deux équations (5) et (6) membre à membre, -l'expression de la circulation élémentaire du champ vectoriel sur le rectangle ABCD -perpendiculaire à $`\overrightarrow{e_z}`$ : - -$`\displaystyle d\mathcal{C}_M = \lim_{ABCD \to 0} \: \oint_{ABCD} \overrightarrow{X} -\cdot \overrightarrow{dl}`$ -$`=\overrightarrow{dl_{AB}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ -\overrightarrow{dl_{BC}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ -\overrightarrow{dl_{CD}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ -\overrightarrow{dl_{DA}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}`$ -$`= \left(\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M - -\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M\right)\cdot dxdy `$ - - -La surface élémentaire de ce rectangle ABCD élémentaire étant simplement $`dxdy`$, -je peux maintenant calculer la composante selon du vecteur rotationnel du champ -vectoriel au point M. En reprenant la définition (1), j'obtiens - - - -$`\displaystyle \overrightarrow{rot} \; \overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{e_z} = -\lim_{C \to 0} \; \dfrac{\oint_{ABCD} \overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{dl}}{\iint_{ABCD} dS}`$ -$`=\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M -\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M`$ - - -Je peux reprendre la totalité du raisonnement précédent appliqué à des rectangles -élémentaires perpendiculaires respectivement aux vecteurs et , et j'obtiendrai - -$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{e_x}= -\left.\dfrac{\partial Z}{\partial y}\right|_M -\left.\dfrac{\partial Y}{\partial z}\right|_M`$ - -$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{e_y}= -\left.\dfrac{\partial X}{\partial z}\right|_M -\left.\dfrac{\partial Z}{\partial x}\right|_M`$ - - -