diff --git a/12.temporary_ins/99.maths/10.logic/textbook.fr.md b/12.temporary_ins/99.maths/10.logic/textbook.fr.md index f62efe761..bf141112d 100644 --- a/12.temporary_ins/99.maths/10.logic/textbook.fr.md +++ b/12.temporary_ins/99.maths/10.logic/textbook.fr.md @@ -980,6 +980,816 @@ and #### ... / Prédicat / ... ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- +*[Math-Reason-10] ... / Prédicat / ...* + +De l'assertion au prédicat... + +* exemples d'assertion : + * $`3<5`$ est une assertion vraie. + * $`3=5`$ est une assertion fausse. + +* exemples de prédicat : + * $`x=5`$ est un prédicat + * $`x + +*MATH-REAS_20* : $`\forall`$ + +[ES] *(auto-trad). +**$`\mathbf{\forall}`$**$` \quad \equiv\quad`$ "*Para algún*" $`\quad \equiv\quad`$ "*para cualquier x*"$`\quad \equiv\quad`$ "*para todo*". +... + +[FR] +**$`\mathbf{\forall}`$**$` \quad \equiv\quad`$ "*pour tout*" $`\quad \equiv\quad`$ "*quelque soit*". + +Soit $`P(x)`$ un prédicat à une indéterminée $`x`$ sur un ensemble $`E`$. +L'expression mathématique +**$`\mathbf{\forall x \in E\; , \;P(x)}`$** +se lit +"*Pour tout $`\mathbf{x}`$ appartenant à $`\mathbf{E}`$, l'assertion $`\mathbf{P(x)}`$ est vérifiée.*" + +Autres écritures rencontrées : +*$`\mathbf{\forall x \in E\; ,\; P(x)\quad \equiv\quad \big(\,\forall x \in E\,\big)\,\big(\,P(x)\,\big)}`$* +(y a t-il une norme internationale prônée?) + +[EN] + +---------------------- + +*MATH-REAS_21* : ejemplos / exemples / examples $`\forall`$ + +_____*MATH-REAS_21.1* +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR] +!!! ... +!!! +!!! [EN] +!!! ... + +_____*MATH-REAS_21.2* +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR] +!!! $`\forall x\in\mathbb{R}\, , x^2\ge 0`$ +!!! L'assertion est $`P(x)=\;"x^2\ge 0"`$ +!!! +!!! [EN] +!!! ... + +---------------------------- + +*MATH-REAS_30* : $`\exists`$ + +[ES] *(auto-trad.)* cuantificador existencial + +**$`\mathbf{\exists}`$**$` \quad \equiv\quad`$ "*existe un*". +... + + +[FR] +**$`\mathbf{\exists}`$**$` \quad \equiv\quad`$ "*il existe*". + +Soit $`P(x)`$ un prédicat à une indéterminée $`x`$ sur un ensemble $`E`$. +L'expression mathématique +**$`\mathbf{\exists x_0 \in E\;,\; P(x)}`$** +se lit +"*Il existe un $`x_0`$ appartenant à $`E`$, tel que l'assertion $`P(x_0)`$ est vérifiée.*" +et se comprend comme +"Il existe *au moins un* $`\mathbf{x_0}`$ appartenant à $`\mathbf{E}`$, tel que l'assertion $`\mathbf{P(x_0)}`$ est vérifiée." + +Attention : Nous ne savons pas _a priori_ quel élément $`x_0`$ vérifie l'assertion $`P(x_0)`$. Nous savons simplement qu'il existe et nous pouvons travailler formallement avec. + +Autres écritures rencontrées : + *$`\mathbf{\exists x_0 \in E\; ,\; P(x_0)\quad \equiv\quad \big(\,\exists x_0 \in E\,\big)\,\big(\,P(x_0)\,\big)}`$* + +Le "tel que" est exprimé par la virgule " , " ou un " | " : +*$`\mathbf{\exists x_0 \in E\; ,\; P(x_0)\quad \equiv\quad \exists x_0 \in E\; | \; P(x_0)}`$* +(y a t-il une norme internationale prônée?) + +[EN] + +---------------------- + +*MATH-REAS_31* : ejemplos / exemples / examples $`\exists`$ + +_____*MATH-REAS_31.1* +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR] +!!! ... +!!! +!!! [EN] +!!! ... + +_____*MATH-REAS_31.2* +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR] +!!! L'assertion est $`P(x)=\,"x\gt 5"`$. +!!! $`\exists x\in\mathbb{R}\; , \; x\gt 5`$ +!!! (par exemple $`7\; : 7\in\mathbb{R}`$ et $`7\gt 5`$, +!!! ce qui s'écrit aussi +!!! $`(7\in\mathbb{R}) \land (7\gt 5)`$ +!!! +!!! L'assertion est $`P(x)=\,"x = 5"`$. +!!! $`\exists x\in\mathbb{R}\; , \; x\gt 5`$ (il n'y en a qu'un seul : $`x=5`$). +!!! +!!! [EN] +!!! ... + +------------------------- + + +*MATH-REAS_40* : $`\exists !`$ + +[ES] *(auto-trad)* cuantificador existencial único +**$`\mathbf{\exists !}`$**$` \quad \equiv\quad`$ "*existe un y solo uno*" $` \quad \equiv\quad`$ "*existe un único*". + +[FR] +**$`\mathbf{\exists !}`$**$` \quad \equiv\quad`$ "*il existe un et un seul*" $` \quad \equiv\quad`$ "*il existe un unique*". + +Soit $`P(x)`$ un prédicat à une indéterminée $`x`$ sur un ensemble $`E`$. +L'expression mathématique +**$`\mathbf{\exists ! \; x_0 \in E\;,\; P(x)}`$** +se lit +"*Il existe un et un seul $`\mathbf{x_0}`$ appartenant à $`\mathbf{E}`$, tel que l'assertion $`\mathbf{P(x_0)}`$ est vérifiée.*" + +[EN] + +---------------------- + +*MATH-REAS_41* : ejemplos / exemples / examples $`\exists`$ + +_____*MATH-REAS_41.1* +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR] +!!! ... +!!! +!!! [EN] +!!! ... + +_____*MATH-REAS_41.2* +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR] +!!! L'assertion est $`P(x)=\,"x = 5"`$. +!!! $`\exists !\; x\in\mathbb{R}\; , \; x = 5`$ +!!! (5 est le seul nombre réel qui est égal à lui-même). +!!! +!!! [EN] +!!! ... + +----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- +#### Reglas para usar cuantificadores / règles d'utilisation des quantificateurs / ... +----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + + + + +*MATH-REAS_100* : La negación de / la négation de / the negation of : $`\forall`$ + +[ES]. +... + +[FR] +La négation de l'expression +"Pour tout $`x`$ appartenant à $`E`$, l'assertion $`P(x)`$ est vérifiée" +se dit : +"Il existe (au moins) un $`x`$ appartenant à $`E`$, tel que l'assertion $`P(x)`$ n'est pas vérifiée", +et cela s'écrit mathématiquement : +$`NON\big(\;\forall x \in E\; , \;P(x)\;\big)`$ $`\Longleftrightarrow \exists x \in E\; , \; NON\big(\,P(x)\,\big)`$ +ou mieux encore : +**$`\mathbf{\neg\big(\;\forall x \in E\; , \;P(x)\;\big)}`$ $`\mathbf{\Longleftrightarrow \exists x \in E\; , \; \neg\big (\,P(x)\,\big)}`$** + +--------------- + +*MATH-REAS_101* : $`\neg`$ y $`\forall`$ : ejemplos / exemples / examples + +_____*MATH-REAS_101.1* +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR] +!!! ... +!!! +!!! [EN] +!!! ... + +_____*MATH-REAS_101.2* +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR] +!!! _(pour niveaux 1 à 4)_ +!!! La *négation* de l'expression logique +!!! "*Tous les chats sont gris*" +!!! est +!!! "*Il existe un moins un chat qui n'est pas gris*". +!!! +!!! [EN] +!!! ... + +--------------- + +*MATH-REAS_110* : La negación de / la négation de / the negation of : $`exists`$ + +[ES]. +... + +[FR] +La négation de l'expression +"Il existe un $`x`$ appartenant à $`E`$ tel que l'assertion $`P(x)`$ est vérifiée" +se dit : +"Pour tout $`x`$ appartenant à $`E`$, l'assertion $`P(x)`$ n'est pas vérifiée", +et cela s'écrit mathématiquement : +$`NON\big(\;\exists x \in E\; , \;P(x)\;\big)`$ $`\Longleftrightarrow \forall x \in E\; , \; NON\big(\,P(x)\,\big)`$ +ou mieux encore : +**$`\mathbf{\neg\big(\;\exists x \in E\; , \;P(x)\;\big)}`$ $`\mathbf{\Longleftrightarrow \forall x \in E\; , \; \neg\big (\,P(x)\,\big)}`$** + +[EN]. +... + +---------------------- + +*MATH-REAS_111* : $`\neg`$ y $`\exists`$ : ejemplos / exemples / examples + +_____*MATH-REAS_111.1* +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR] +!!! ... +!!! +!!! [EN] +!!! ... + +_____*MATH-REAS_111.2* +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR] +!!! _(pour niveaux 1 à 4)_ +!!! La *négation* de l'expression logique +!!! "*Il existe un chat de couleur verte*" +!!! est +!!! "*Aucun chat n'est de couleur verte*" +!!! qui est équivalent à +!!! "Tous les chats ont une couleur qui n'est pas le vert." +!!! +!!! +!!! [EN] +!!! ... + +--------------- + +*MATH-REAS_112* : $`\neg`$ y $`\exists`$, $`\forall`$ : autoevaluación simple / auto-test simple / ... + + + +[ES] +... + +[FR] +_(pour niveau 3 ou 4)_ +Quelle est la négation des assertions suivantes : +* $`\big(\,\forall z \in \mathbb{C}\,\big)\,\big(\,z^2+1 \ne 0\,\big)`$. +* $`\big(\,\forall \epsilon \gt 0\,\big)`$. + +[EN] +... + +--------------- + +*MATH-REAS_120* : Distributividad / distributivité / distributivity : $`\exists\rightarrow\lor`$ + +[ES]. +... + +[FR]. +Distributivité de $`\exists`$ avec $`OU`$ ($`\lor`$) : +$`\exists x \in E\; , \; A(x)\;OU\;B(x)`$ +$`\;\Longleftrightarrow\; \big(\,\exists x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;OU\;\big(\,\exists x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$ +ou encore +**$`\mathbf{\exists x \in E\; , \; A(x)\;\lor\;B(x)}`$ +$`\mathbf{\;\Longleftrightarrow\; \big(\,\exists x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\lor\;\big(\,\exists x \in E\; , \; B(x)\,\big)}`$** + +----------------------------- + +*MATH-REAS_121* : Distrib. $`\exists\rightarrow\lor`$, ejemplos / exemples / examples + +_____*MATH-REAS_121.1* +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR] +!!! ... +!!! +!!! [EN] +!!! ... + +_____*MATH-REAS_121.2* +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR] +!!! *Exemple 1 :* +!!! +!!! *$`\mathbf{E}`$* est l'*ensemble des étudiants*. +!!! Regardons les *prédicats* suivants : +!!! *$`\mathbf{P(x)}\;=\;`$ "L'étudiant $`x`$ possède un smartphone."* +!!! *$`\mathbf{P(x)}\;=\;`$ "L'étudiant $`x`$ possède un vélo."* +!!! +!!! La phrase mathématique +!!! $`\exists x \in E\; , \; A(x)\;\lor\;B(x)`$ +!!! $`\;\Longleftrightarrow`$ $`\; \big(\,\exists x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\lor\;\big(\,\exists x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$ +!!! s'écrit en français +!!! "Dire qu'il existe au moins un étudiant qui possède un smartphone ou un vélo ou les deux, équivaut à dire +!!! "qu'il existe au moins un étudiant qui possède un smartphone, ou qu'il existe au moins un étudiant qui possède un vélo, ou qu'il existe au moins un étudiant qui possède les deux." +!!! +!!! [EN]. +!!! ... + + +[EN]. +... + +-------------------- + +*MATH-REAS_125* : Distributividad / distributivité / distributivity : $`\forall\rightarrow\land`$ + +[ES]. +... + +[FR]. +Distributivité de $`\forall`$ avec $`ET`$ ($`\land`$) : +$`\forall x \in E\; , \; A(x)\;ET\;B(x)`$ +$`\;\Longleftrightarrow\; \big(\,\forall x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;ET\;\big(\,\forall x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$ +ou encore +**$`\mathbf{\forall x \in E\; , \; A(x)\;\land\;B(x)}`$ +$`\mathbf{\;\Longleftrightarrow\; \big(\,\forall x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\land\;\big(\,\forall x \in E\; , \; B(x)\,\big)}`$** + +--------------------- + +*MATH-REAS_126* : Distrib. $`\forall\rightarrow\land`$, ejemplos / exemples / examples + +_____*MATH-REAS_126.1* +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR] +!!! ... +!!! +!!! [EN] +!!! ... + +_____*MATH-REAS_126.2* +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR] +!!! *Exemple 1 (suite) :* +!!! +!!! La phrase mathématique +!!! $`\forall x \in E\; , \; A(x)\;\land\;B(x)`$ +!!! $`\;\Longleftrightarrow`$ $`\; \big(\,\forall x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\land\;\big(\,\forall x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$ +!!! s'écrit en français +!!! Dire que tout étudiant possède un smartphone et un vélo équivaut à dire que tout étudiant possède un smartphone et que tout étudiant possède un vélo. +!!! +!!! [EN]. +!!! ... + +[EN]. +... + +-------------------- + +*MATH-REAS_130* : No distributividad / non distributivité / no distributivity : $`\exists\rightarrow\land`$ + +[ES]. +... + +[FR]. +!!!! *ATTENTION :* +!!!! +!!!! *Non distributivité de $`\exists`$ avec $`ET`$ ($`\land`$)* : +!!!! +!!!! $`\exists x \in E\; , \; A(x)\;ET\;B(x)`$ +!!!! *$`\require{cancel}\;\xcancel{\iff}\;`$* $`\big(\,\exists x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;ET\;\big(\,\exists x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$ +!!!! ou encore +!!!! $`\exists x \in E\; , \; A(x)\;\land\;B(x)`$ +!!!! *$`\require{cancel}\;\xcancel{\iff}\;`$* $`\big(\,\exists x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\land\;\big(\,\exists x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$ +!!!! +!!!! *L'implication est vraie*, +!!!! +!!!! $`\mathbf{\exists x \in E\; , \; A(x)\;ET\;B(x)}`$ +!!!! *$`\mathbf{\Longrightarrow}`$* *$`\mathbf{\big(\,\exists x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;ET\;\big(\,\exists x \in E\; , \; B(x)\,\big)}`$* +!!!! ou encore +!!!! *$`\mathbf{\exists x \in E\; , \; A(x)\;\land\;B(x)}`$* +!!!! *$`\mathbf{\Longrightarrow}`$* *$`\mathbf{\big(\,\exists x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\land\;\big(\,\exists x \in E\; , \; B(x)\,\big)}`$* +!!!! +!!!! mais *la réciproque est fausse*, +!!!! +!!!! $`\big(\,\exists x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;ET\;\big(\,\exists x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$ +!!!! *$`\require{cancel}\cancel{\Longrightarrow}\;`$* $`\exists x \in E\; , \; A(x)\;ET\;B(x)`$ +!!!! ou encore +!!!! $`\big(\,\exists x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\land\;\big(\,\exists x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$ +!!!! *$`\require{cancel}\cancel{\Longrightarrow}\;`$* $`\exists x \in E\; , \; A(x)\;\land\;B(x)`$ + +[EN] + +---------------------------------- + +*MATH-REAS_131* : No distrib. $`\exists\rightarrow\land`$, ejemplos / exemples / examples + +_____*MATH-REAS_131.1* +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR] +!!! ... +!!! +!!! [EN] +!!! ... + +_____*MATH-REAS_131.2* +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR] +!!! *Exemple 1 (suite) :* +!!! +!!! Les phrases mathématiques +!!! $`\exists x \in E\; , \; A(x)\;ET\;B(x)`$ (phrase 1) +!!! et +!!! $`\big(\,\exists x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\land\;\big(\,\exists x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$ (phrase 2) +!!! s'écrivent respectivement : +!!! "Il existe au moins un étudiant qui possède un smartphone et un vélo." (phrase 1) +!!! et +!!! "Il existe au moins un étudiant qui possède un smartphone, et il existe au moins un étudiant qui possède un vélo." (phrase 2) +!!! ... +!!! Nous voyons bien que la prase (1) implique la phrase (2). +!!! Par contre la réciproque n'est vraie. Il se peut très bien qu'aucun des étudiants qui possèdent un smartphone (et il y en a au moins un) ne possède de vélo, et vice versa : la phrase (2) n'implique pas la phrase (1). +!!! Les phrases (1) et (2) ne sont pas équivalentes. +!!! +!!! [EN] +!!! ... + +-------------------- + +*MATH-REAS_135* : No distributividad / non distributivité / no distributivity : $`\forall\rightarrow\lor`$ + +[ES]. +... + +[FR]. +!!!! *ATTENTION :* +!!!! +!!!! *Non distributivité de $`\forall`$ avec $`OU`$ ($`\lor`$)* : +!!!! +!!!! $`\big(\,\forall x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;OU\;\big(\,\forall x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$ +!!!! *$`\require{cancel}\;\xcancel{\iff}\;`$* $`\forall x \in E\; , \; A(x)\;OU\;B(x)`$ +!!!! ou encore +!!!! $`\big(\,\forall x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\lor\;\big(\,\forall x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$ +!!!! *$`\require{cancel}\;\xcancel{\iff}\;`$* $`\forall x \in E\; , \; A(x)\;\lor\;B(x)`$ +!!!! +!!!! *L'implication est vraie*, +!!!! +!!!! *$`\mathbf{\big(\,\forall x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;OU\;\big(\,\forall x \in E\; , \; B(x)\,\big)}`$* +!!!! *$`\mathbf{\Longrightarrow}`$* *$`\mathbf{\forall x \in E\; , \; A(x)\;OU\;B(x)}`$* +!!!! ou encore +!!!! *$`\mathbf{\big(\,\forall x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\lor\;\big(\,\forall x \in E\; , \; B(x)\,\big)}`$* +!!!! *$`\mathbf{\Longrightarrow}`$* *$`\mathbf{\forall x \in E\; , \; A(x)\;\lor\;B(x)}`$* +!!!! +!!!! mais *la réciproque est fausse*, +!!!! +!!!! $`\forall x \in E\; , \; A(x)\;OU\;B(x)`$ +!!!! *$`\require{cancel}\cancel{\Longrightarrow}\;`$* +!!!! $`\big(\,\forall x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;OU\;\big(\,\forall x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$ +!!!! ou encore +!!!! $`\forall x \in E\; , \; A(x)\;\lor\;B(x)`$ +!!!! *$`\require{cancel}\cancel{\Longrightarrow}\;`$* $`\big(\,\forall x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\lor\;\big(\,\forall x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$ + +[EN] + +---------------------------------- + +*MATH-REAS_136* : No distrib. $`\forall\rightarrow\lor`$, ejemplos / exemples / examples + +_____*MATH-REAS_136.1* +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR] +!!! ... +!!! +!!! [EN] +!!! ... + + +_____*MATH-REAS_136.2* + +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR]. +!!! *Exemple 1 (suite) :* +!!! +!!! Les phrases mathématiques +!!! $`\forall x \in E\; , \; A(x)\;OU\;B(x)`$ (phrase 1) +!!! et +!!! $`\big(\,\forall x \in E\; , \; A(x)\,\big)\;\lor\;\big(\,\forall x \in E\; , \; B(x)\,\big)`$ (phrase 2) +!!! s'écrivent respectivement : +!!! "Tout étudiant possède un smartphone ou un vélo, ou les deux." (phrase 1) +!!! et +!!! "Tout étudiant possède un smartphone" ou "tout étudiant possède un vélo", ou "tout étudiant possède les deux." (phrase 2) +!!! +!!! Nous voyons bien que la phrase (2) implique la phrase (1). +!!! En effet +!!! La réciproque n'est pas vraie, (1) n'implique pas (2). +!!! Prenons un contre-exemple : une moitié des étudiants possèdent un smarphone et pas de vélo, et l'autre moitié un vélo mais pas de smartphone. Quelque soit alors l'étudiant considéré, il possède un smartphone ou un vélo, ou les deux et la phrase (1) est vraie. Par contre nous ne sommes dans aucun de ces trois cas décrits par la phrase (2) : +!!! \- "Tout étudiant possède un smartphone". +!!! \- "Tout étudiant possède un vélo". +!!! \- "Tout étudiant possède un smartphone et un vélo". +!!! +!!! [EN] + +-------------------- + +*MATH-REAS_140* : Comutatividad / commutativité / commutativity : $`\exists`$, $`\forall`$ + +[ES]. +... + +[FR] +Soient $`E_1`$ et $`E_2`$ deux ensembles, et $`P(x,y)`$ un prédicat à deux indéterminées sur $`E_1`$ et $`E_2``$. + +Lorsque *les deux quantificateurs sont identiques*, les propositions suivantes **sont vraies :** + +**$`\mathbf{\forall x \in E_1 \;,\, \forall y\, \in E_2 \;,\, P(x,y)}`$ $`\mathbf{\;\iff \forall y\in E_2 \;,\, \forall x\in E_1 \;,\, P(x,y)}`$** + +**$`\mathbf{\exists x\in E_1 \;,\, \exists y\in E_2 \;,\, P(x,y)}`$ $`\mathbf{\;\iff \exists y\in E_2 \;,\, \exists x\in E_1\;,\, P(x,y)}`$** + +[EN]. +... + +------------------- + +*MATH-REAS_141* : Com. $`\exists`$, $`\forall`$ (suite) + +[ES]. +... + +[FR] +Soient $`E_1`$ et $`E_2`$ deux ensembles, et $`P(x,y)`$ un prédicat à deux indéterminées sur $`E_1`$ et $`E_2``$. + +Lorsque *les deux quantificateurs sont différents*, **seule l'implication suivante est vraie :** + +**$`\mathbf{\exists x\in E_1\;,\; \forall y\in E_2 \;,\; P(x,y)}`$ $`\mathbf{\;\Longrightarrow \forall y\in E_2 \;,\; \exists x\in E_1 \;,\; P(x,y)}`$** + +La première partie de la phrase mathématique précédente, +$`\exists x\in E_1\, , \forall y\in E_2\, , P(x,y)`$, +se lit +"Il existe un $`x`$ de $`E_1`$, tel que pour tout $`y`$ de $`E_2`$, le prédicat $`P(x,y)`$ s'applique". +Ce $`x`$ est le même pour tous les $`y`$. + +La seconde partie, +$`\forall y\in E_2\, , \exists x\in E_1\, , P(x,y)`$, +se lit +"pour tout $`y`$ de $`E_2`$, il existe un $`x`$ de $`E_1`$ tel que le prédicat $`P(x,y)`$ s'applique. +Mais chaque $`y`$ peut avoir un $`x`$ différent. + +La première partie implique la seconde. La seconde n'implique pas la première. + +[EN]. +... + +-------------------- + +*MATH-REAS_142* : Com. $`\exists`$, $`\forall`$, ejemplos, exemples, examples + +_____*MATH-REAS_142.1* +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR] +!!! ... +!!! +!!! [EN] +!!! ... + + +_____*MATH-REAS_142.2* +!!! [ES]. +!!! ... +!!! +!!! [FR]. +!!! $`J`$ est l'ensemble des jours de l'année, et $`H`$ l'ensemble des heures de la journée. +!!! Le prédicat $`P(j,h)`$ est "le soleil de lève le jour j à l'heure h". +!!! +!!! * l'expression mathématique +!!! $`\exists h \in H\; , \; \forall j \in J\; , \; P(j,h)`$ +!!! s'écrit en français +!!! "Il existe une heure h telle que, quelque-soit le jour de l'année, le soleil se lève à l'heure h". +!!! Ce prédicat n'est vraie que sur la ligne équatoriale, où la durée du jour et de la nuit sont égales toute l'année. +!!! +!!! * l'expression mathématique +!!! $`\forall j \in J\; , \; \exists h \in H\; , \; P(j,h)`$ +!!! s'écrit en français +!!! "Quelque-soit le jour j de l'année, il existe une heure h à laquelle le soleil se lève". +!!! Ce prédicat est vraie sur la plus grande partie de la Terre, sauf peut-être au voisinage des pôles géographiques terrestres où 6 !!! !!! mois de nuits succèdent à 6 mois de jours. Cela signifie simplement que le soleil se lève chaque jour. +!!! +!!! +!!! +!!! [EN]. +!!! ... + +------------------- + +*MATH-REAS_145* : + + +----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- +#### Métodos de razonamiento / méthodes de raisonnement / reasoning methods +----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + +*MATH-REAS_200* : El contraejemplo / le contre-exemple / the counterexample + +[ES]. +... + +[FR] +Basé sur : +$`NON\big(\,\forall x\; , \; P(x)\,\big) \iff \exists x\; , \; NON\big(\,P(x)\,\big)`$ +ou encore +**$`\mathbf{\neg(\,\forall x\in E \; , \; P(x)\,\big) \iff \exists x\in E\; , \; \neg P(x)}`$** + +[EN]. +..... + +---------------------------- + +*MATH-REAS_210* : Reducción al absurdo / raisonnement par l'absurde / argumentum ad absurdum + +[ES]. +.... + +[FR]. +Basé sur : +$`\big(\,P \Longrightarrow Q\,\big) \iff \big(\,NON(Q) \Longrightarrow NON(P)\,\big)`$ +ou encore. +**$`(\mathbf{\,P \Longrightarrow Q\,) \iff (\,\neg Q \Longrightarrow \neg P\,)}`$** + + + +[EN]. +*argumentum ad absurdum* = *reductio ad absurdum* + +--------------------- + +*MATH-REAS_220* : Razonamiento por recurrencia / raisonnement par récurrence / ??? + +[ES]. +Razonamiento por recurrencia = Método de inducción completa + +[FR]. + +**Principe de récurrence**. +Soit $`n_0 \in \mathbb{N}`$, +et soit $`I_{n_0}`$ l'ensemble des entiers naturels supérieurs à $`n_0`$ : +$`I_{n_0} = \{n\in \mathbb{N}, n\ge n_0\}`$. + +**$`\mathbf{\left.\begin{array}{l} +\text{Initialisation :}\;\mathbf{P(n_0)\;\text{est vraie}} \\ +\text{Hérédité :}\;\mathbf{\forall n \in I_{n_0}\;,\; P(n)\Longrightarrow P(n+1)} +\end{array}\right\}}`$ +$`\mathbf{\;\Longrightarrow\forall n \in I_{n_0}\;,\; P(n) \;\text{est vraie.}}`$** + + +[EN]. +Attention !!! ce sera a priori un faux-ami ici, le terme correspondant + +--------------------- + +*MATH-REAS_221* : Ejemplos / exemples / examples + +_____*MATH-REAS_221.1* +!!! [ES] +!!! ... +!!! +!!! [FR] +!!! ... +!!! +!!! [EN] +!!! ... + + +_____*MATH-REAS_221.2* +!!! [ES]. +!!! ... +!!! +!!! [FR]. +!!! Montrons que +!!! $`\forall n \in \mathbb{N}\;,\; \displaystyle\sum_{k=0}^n k = \dfrac{n\,(n+1)}{2}`$ +!!! +!!! Pour $`n \in \mathbb{N}`$ le prédicat *$`P(n)`$ est l' égalité $`\displaystyle\sum_{k=0}^n k = \dfrac{n\,(n+1)}{2}`$*. +!!! +!!! *Etape d'initialisation* : si nous voulons démontrer que ce prédicat est vrai pour tout entier naturel, testons le sur le plus petit d'entre eux : $`n=0`$. +!!! $`\displaystyle\sum_{k=0}^0 k = 0 = \dfrac{0\,(0+1)}{2}`$, +!!! donc *$`\mathbf{P(0)}`$ est vraie*. +!!! +!!! *Etape d'hérédité* : soit $`n \in \mathbb{N}`$, supposons que $`P(n)`$ est vraie et montrons que $`P(n+1)`$ +!!! est vraie. +!!! +!!! Si $`P(n)`$ est vraie donc : +!!! $`\displaystyle\sum_{k=0}^n k = \dfrac{n\,(n+1)}{2}`$ +!!! +!!! $`\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} k = \sum_{k=0}^{n} k + (n+1) `$ $`\;= \dfrac{n\,(n+1)}{2}+(n+1)`$ +!!! +!!! $`\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} = \dfrac{n\,(n+1)}{2}+ \dfrac{2\,(n+1)}{2}`$ $`\;= \dfrac{(n+2)\,(n+1)}{2}`$ +!!! +!!! ce qui prouve que $`P(n+1)`$ est vraie aussi. +!!! +!!! Ainsi, puisque le $`n`$ fixé dans cette partie hérédité est quelconque, nous avons démontré que *le prédicat * +!!! +!!! *$`\mathbf{\forall n \in \mathbb{N}\;,\; P(n)\Longrightarrow P(n+1)}`$ est vrai*. +!!! +!!! *Etape de conclusion* : l'*application du principe de récurrence* nous permet de conclure que *le prédicat* +!!! +!!! *$`\mathbf{\forall n \in \mathbb{N}\;,\; \displaystyle\sum_{k=0}^n k = \dfrac{n\,(n+1)}{2}}`$ est vrai*. +!!! +!!! [EN]. +!!! ... +!!! + +--------------------- + +*MATH-REAS_222* : Para un parte más allá / au-delà / beyond + +!! [ES]. +!! ... +!! +!! [FR]. +!! Une *suite récurrente* est une suite dont *chaque terme se détermine à partir du ou des termes précédents*. +!! +!! Certaines suites récurrentes très utiles en physique : +!! * Les *suites arithmétiques de raison $`\mathbf{a} \in \mathbb{R}`$* et de premier terme $`b \in \mathbb{R}`$. Chaque terme $`u_{n+1}`$ de la suite se définit à partir du précédent : *$`\mathbf{u_{n+1}=u_n + a}`$*. +!! +!! * Les *suites géométriques de raison $`\mathbf{a} \in \mathbb{R}`$* et de premier terme $`b \in \mathbb{R}`$. Chaque terme $`u_{n+1}`$ de la suite se définit à partir du précédent : *$`\mathbf{u_{n+1}=u_n \times a}`$*. +!! +!! Citons une suite récurrente très célèbre, la *suite de Fibonacci*. Ses deux premiers termes $`\mathbf{u_0 = u_1 = 1}`$ et tout terme suivant de rang $`n`$ se calcule à partir des 2 termes précédents selon la récurrence $`\mathbf{u_n=u_{n-1}+u_{n-2}}`$. +!! +!! [EN]. +!! ... +!! + +--------------------- + +*MATH-REAS_230* : Razonamiento por análisis y síntesis ?? / raisonnement par analyse-synthèse / ??? + +[ES]. + + +[FR]. +.... + + +[EN]. + + +--------------------- + + + + + +@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ + + *[Math-Reason-10] ... / Prédicat / ...* De l'assertion au prédicat...