diff --git a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/cartesian/textbook.fr.md b/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/cartesian/textbook.fr.md deleted file mode 100644 index cff0d8f9e..000000000 --- a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/cartesian/textbook.fr.md +++ /dev/null @@ -1,454 +0,0 @@ ---- -title: Coordonnées cartésiennes -published: false -routable: false -visible: false ---- - -!!!! *Recopilar elementos de cursos / Collecte d'éléments de cours / Collecting course items* -!!!! -!!!! No publique, no haga visible -!!!! Ne pas publier, ne pas rendre visible -!!!! Do not publish, do not make visible - -! Descripción del método y recordatorios útiles para contribuir : -! Description de la méthode et rappels utiles pour contribuer : -! Description of the method and useful reminders to contribute : -! - -!!! Estructura para cualquier elemento nuevo del curso, para copiar o reproducir :
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-[FR] Définition des coordonnées et leurs domaines de définition
-[EN] (aut-tra) Definition of coordinates and their definition domains
- -[FR] (CME) ok (XXX) ? - --------------------------------------------------------------------------------- - -* *COOSYS-100* - - -[ES] (aut-tra) Sistema de coordenadas Cartesianas :
-[FR] (CME) Système de coordonnées cartésienne :
-[EN] (aut-tra) Cartesian coordinate system :
- -[ES] (aut-tra) - * 1 punto $`\mathbf{O}`$ del espacio, elegido como el origen de las coordenadas cartesianas.
- * 3 ejes llamados $`\mathbf{Ox,Oy,Oz}`$, que se cruzan en $`O`$ y son ortogonales de dos en dos.
- * 1 unidad de longitud.
- -[FR] (CME) - * 1 punto $`\mathbf{O}`$ de l'espace, choisi comme origine des coordonnées cartésiennes.
- * 3 axes appelés $`\mathbf{Ox , Oy , Oz}`$, se coupant en $`O`$ et orthogonaux deux à deux.
- * 1 unité de longueur.
-autres? (XXX)
- -[EN] (aut-tra) - * 1 punto $`\mathbf {O}`$ of space, chosen as the origin of the Cartesian coordinates.
- * 3 axes called $`\mathbf {Ox, Oy, Oz}`$, intersecting at $`O`$ and orthogonal two by two.
- * 1 unit of length.
- --------------------------------------------------------------------------------- - -* *COOSYS-110* - - -Coordenadas Cartesianas / Coordonnées cartésiennes / Cartesian coordinates :
-[ES] [FR] [EN] $`( x, y, z)`$ - -[ES] (aut-tra) -Cualquier punto $`M`$ del espacio se proyecta ortogonalmente en el plano $`xOy`$ -que conduce al punto $`m_ {xy}`$, y en el eje $`Oz`$ que conduce al punto $`m_z`$. -El punto $`m_ {xy}`$ se proyecta ortogonalmente en los ejes $`Ox`$ y $`Oy`$, liderando -respectivamente en los puntos $`m_x`$ y $`m_y`$ (ver figura ...).
-o, para un equivalente de escritura más simple, pero menos visual:
-Cualquier punto $`M`$ del espacio se proyecta ortogonalmente en cada uno de los ejes $`Ox, Oy, Oz`$ -conduciendo respectivamente a los puntos $`m_x`$, $`m_y`$ y $`m_z`$.
-_otra propuesta, o mejorar en el texto: _ -(XXX1): -(XXX2): - -[FR] -(CME): -Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur le plan $`xOy`$ -conduisant au point $`m_{xy}`$, et sur l'axe $`Oz`$ conduisant au point $`m_z`$. -Le point $`m_{xy}`$ est projeté orthogonalement sur les axes $`Ox`$ et $`Oy`$, conduisant -respectivement aux points $`m_x`$ et $`m_y`$ (voir figure ...).
-ou, pour un équivalent d'écriture plus simple, mais moins visuel :
-Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur chacun des axes $`Ox , Oy , Oz`$ -conduisant respectivement aux points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$.
-_autre proposition, ou améliorer dans le texte :_ -(XXX1): -(XXX2): - -[EN] (aut-tra) -Any point $`M`$ of space is orthogonally projected on the plane $`xOy`$ -leading to the point $`m_{xy}`$, and on the axis $`Oz`$ leading to the point $`m_z`$. -The point $`m_ {xy}`$ is projected orthogonally on the axes $`Ox`$ and $`Oy`$, leading -respectively at points $`m_x`$ and $`m_y`$ (see figure ...).
-or, for a simpler, but less visual, writing equivalent:
-Any point $`M`$ of space is orthogonally projected on each of the axes $`Ox, Oy, Oz`$ -leading respectively to the points $`m_x`$, $`m_y`$ and $`m_z`$.
-_other proposal, or improve in the text: _ -(XXX1): -(XXX2): - ---------------------- - -* *COOSYS-120* - -Les **coordonnées cartésiennes $`\mathbf{x_M , y_M , z_M}`$** du point $`M`$ sont les -distances algébriques $`\overline{Om_x}`$, $`\overline{Om_y}`$ et $`\overline{Om_z}`$ mesurées depuis le point origine $`O`$ jusqu'à chacun des points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$. - -**$`\mathbf{x_M=\overline{Om_x}}`$ , $`\mathbf{y_M=\overline{Om_y}}`$ , $`\mathbf{z_M=\overline{Om_z}}`$** - -Les coordonnées $`x , y , z`$ sont des **longueurs** algébriques, dont l'**unité** dans le système international d'unité **S.I.** est le **mètre**, de symbole **$`\mathbf{m}`$**. - -**Unidades S.I. / Unités S.I. / S.I. units : $`\mathbf{x(m)\;,\;y(m)\;,\;z(m)}`$** - ---------------------- - -* *COOSYS-130* - -Chaque point $`M`$ de l'espace est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cartésiennes. On écrit : $`M=M(x_M,y_M,z_M)`$. - -Si le point est un point quelconque, on simplifie : - -$`M(x,y,z)`$, **$`\mathbf{M(x,y,z)}`$** - ----------------------- - -* *COOSYS-140* - -**Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cartésiennes lorsque chacune varie de façon indépendante des autres dans son propre domaine de variation. Leurs domaines de variation sont : - -**$`\mathbf{x\in\mathbb{R}}`$ , $`\mathbf{y\in\mathbb{R}}`$ , $`\mathbf{z\in\mathbb{R}}`$** - - -#### Base vectorielle et repère de l'espace associés - -##### Longueur du parcours associée à une variation de coordonnée - ---------------------- - -* *COOSYS-150* - -Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x, y, z)`$ varie de façon -continue entre les valeurs $`y`$ et $`\rho+\Delta \rho`$, le point $`M`$ parcourt un sègment -de droite de longueur $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. Lorsque $`\Delta \rho`$ tend vers $`0`$, -la longueur infinitésimale $`dl_{\rho}`$ parcourue pour le point $`M`$ est : - -$`\displaystyle dx=\lim_{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta x>0} \Delta x`$ -$`\quad\Longrightarrow\quad dl_x=dx`$ , **$`\mathbf{dl_x=dx}`$** - -de même - -$`dl_y=dy`$ , **$`\mathbf{dl_y=dy}`$**
- -$`dl_z=dz`$ , **$`\mathbf{dl_z=dz}`$** - ----------------- - -* *COOSYS-160* - -!!!! Attention : Cette propriété que les longueurs élémentaires $`dl_{\alpha}`$ s'identifie à la variation infinitésimale de la coordonnée $`d\alpha`$ correspondante est une propriété des systèmes de coordonnées cartésiennes : -!!!! -!!!! Coordonnées cartésiennes $`\Longrightarrow \quad dl_{\alpha}=d\alpha`$. -!!!! -!!!! Mais lorsque nous passons aux coordonnées cylindriques et sphériques, et en généralisant aux coordonnées curvilignes, cette identité n'est plus systématiquement vraie. -!!!! -!!!! En général : $`\Longrightarrow \quad dl_{\alpha} \ne d\alpha`$ -!!!! -!!!! Il est donc important de *distinguer la distance infinitésimal $`dl_{\alpha}`$* parcourue par un $`M`$ lors d'une variation infinitésimale d'une seule de ses coordonnées $`\alpha`$, *de la variation $`d\alpha`$* de cette même coordonnée. - - - -##### Vecteur unitaire associé à chaque coordonnée - -* *COOSYS-170* - -Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ s'accroît de façon -infinitésimale entre les valeurs $`x`$ et $`x+dx`$ ($`dx>0`$), le vecteur déplacement -$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_x`$ du point $`M`$ est le vecteur -tangent à la trajectoire au point $`M`$ qui sc'écrit : - -$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_x=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x}\cdot dx`$ - -Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_x}`$ (qui indique la direction et le sens -de déplacement du point M lorsque seule la coordonnée x croît de façon infinitésimale) s'écrit : - -$`\overrightarrow{e_x}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_x}{||\partial\overrightarrow{OM}_x||}`$ - -de même : - -$`d\overrightarrow{OM}_y=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y}\cdot dy`$, -$`\quad\overrightarrow{e_y}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_y}{||\partial\overrightarrow{OM}_y||}`$
-$`d\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$, -$`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$ - - -#### Base et repère cartésiens - -* *COOSYS-180* - -Les vecteurs déplacement élémentaire $`d\overrightarrow{OM}_x , d\overrightarrow{OM}_y , d\overrightarrow{OM}_z`$ associés aux trois coordonnées $`x , y, z`$ et définis en un même point $`M`$ de l'espace sont orthogonaux deux à deux <'--, et forment un trièdre direct-->. Il en est donc ainsi de même pour les vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$. - -Les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ -forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la base associée aux coordonnées cartésiennes. -En coordonnées cartésiennes, les **vecteurs de base** gardent la -**même direction et le même sens quelque-soit la position du point $`M`$**. - -$`||\overrightarrow{e_x}||=||\overrightarrow{e_y}||=||\overrightarrow{e_z}||=1`$
-$`\overrightarrow{e_x}\perp\overrightarrow{e_y}\quad,\quad\overrightarrow{e_y}\perp\overrightarrow{e_z}\quad,\quad\overrightarrow{e_x}\perp\overrightarrow{e_z}`$ - -$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ -base orthogonale indépendante de la position de $`M`$ - ---------------------- - -* *COOSYS-190* - -[FR] Un repère cartésien, noté $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$, -est l'ensemble formé par un point $`O`$ origine des coordonnées et une base vectorielle cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$. - -En coordonnées cartésiennes, tout point $`M`$ de l'espace peut se repérer :
-\- soit par ses coordonnées cartésiennes $`(x, y, z)`$ dans le système d'axes cartésien $`(Ox, Oy, Oz)`$.
-\- soit par son vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ d'expression -$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$ dans le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.
-Les composantes d'un vecteur position sont appelées coordonnées, $`x, y, z`$ sont les coordonnées cartésiennes du point $`M`$. - ------------------- - -* *COOSYS-200* - -Des grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associées à un point $`M`$ autres que sa position $`\overrightarrow{OM}`$ peuvent s'exprimer avec les vecteurs de la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$:
-$`\overrightarrow{G}=G_x\;\overrightarrow{e_x}+G_y\;\overrightarrow{e_y}+G_z\;\overrightarrow{e_z}`$.
-$`G_x, G_y, G_z`$ sont appelées composantes de la grandeur physique $`G`$ dans la base $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.
-Exemples grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associée à un point $`M`$ :
-\- le vecteur vitesse $`V`$, dont les composantes cartésiennes $`V_x, V_y, V_z`$ s'expriment en $`m\;s^{-1}`$ dans le S.I.
-\- le vecteur accélération $`a`$, dont les composantes cartésiennes $`a_x, a_y, a_z`$ s'expriment en $`m\;s^{-2}`$ dans le S.I.
-\- la force totale appliquée $`F`$, dont les composantes cartésiennes $`F_x, F_y, F_z`$ s'expriment en $`N`$ (newton) dans le S.I.
-\- ... - - -forment le repère cartésien -$`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$. - -Un point $`M`$ de l'espace est repéré par son vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$. -Le vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ en coordonnées cartésiennes s'écrit en fonctio - - - -#### Déplacement, surface et volume élémentaires - -##### Vecteur déplacement élémentaire - -* *COOSYS-220* - -La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ -est l'élément de longueur $`dl_x`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$ s'écrit : - -$`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}=dl_x\;\overrightarrow{e_x}=dx\;\overrightarrow{e_x}`$ - -de même : - -$`d\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}=dl_y\;\overrightarrow{e_y}=dy\;\overrightarrow{e_y}`$
-$`d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ - --------------------------------- - -* *COOSYS-230* - -L'**élément vectoriel d'arc** ou vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en -coordonnées cartésiennes est le vecteur déplacement du point $`M(x,y,z)`$ au point -$`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$ quand les coordonnées varient infinitésimalement des quantités -$`dx`$, $`dy`$ y $`dz`$, et il s'écrit : - -$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}`$ -$`=d\overrightarrow{OM}_x+d\overrightarrow{OM}_y+d\overrightarrow{OM}_z`$ -$`=\overrightarrow{dl_x}+\overrightarrow{dl_y}+\overrightarrow{dl_z}`$ -$`=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}`$ -$`=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$ - -**$`\mathbf{d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dl}}`$** -**$`\mathbf{=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}}`$** -**$`\mathbf{=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}}`$** - -##### Scalaire déplacement élémentaire - -* *COOSYS-240* - -[FR] et sa norme el l'élément de longueur : - -$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{dl_x^2+dl_y^2+dl_z^2}=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$ - -$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{\overrightarrow{dl}\cdot\overrightarrow{dl}}`$ -$`=\left[(dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\cdot -(dl_x\;\overrightarrow{e_x}\right.`$ -$`\left.+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$ -$`=\left[(dl_x)^2\;(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_x})\right.`$ -$`+(dl_y)^2\;(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_y})`$ -$`+(dl_z)^2\;(\overrightarrow{e_z}\cdot\overrightarrow{e_z})`$ -$`+(2\,dl_x\,dl_y)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_y})`$ -$`+(2\,dl_x\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_z})`$ -$`\left.+(2\,dl_y\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$ -$`=\sqrt{(dl_x)^2+(dl_y)^2+(dl_z)^2}`$ -$`=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl`$ - -##### Surfaces élémentaires - -* *COOSYS-250* - -Les 3 vecteurs $`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$, -$`\quad d\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ et -$`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2. - -$`\Longrightarrow`$ : - -L'aire d'un élément de surface construit par 2 de ces vecteurs s'exprime -simplement comme le produit de leurs normes. Et le volume défini par ces 3 vecteurs -est simplement le produits de leurs normes. - -------------------- - -* *COOSYS-260* - -Selon la direction choisie, les **éléments scalaires de surface $`dS`$** en coordonnées cartésiennes sont : - -\- dans un plan $`z = cst`$ :
-$`\quad dS=dS_{xy}=dS_{yx}=dl_x\;dl_y=dx\;dy\quad`$ , **$`\mathbf{dS=dl_x\;dl_y=dx\;dy}`$**
-\- dans un plan $`y = cst`$ :
-$`\quad dS=dS_{xz}=dS_{zx}=dl_x\;dl_z=dx\;dz\quad`$ , **$`\mathbf{dS=dl_x\;dl_z=dx\;dz}`$**
-\- dans un plan $`x = cst`$ :
-$`\quad dS=dS_{yz}=dS_{zy}=dl_y\;dl_z=dy\;dz`$, **$`\mathbf{dS=dl_y\;dl_z=dy\;dz}`$** - --------------------- - -* *COOSYS-270* - -et les **éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dS}`$** correspondants sont : - -$`d\overrightarrow{S_{xy}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_x\land d\overrightarrow{OM}_y`$ -$`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_y}`$ -$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_y\;\overrightarrow{e_y})`$ -$`=\pm\; dl_x\;dl_y\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_y})`$ -$`= \pm \; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$ - -$`d\overrightarrow{S_{xz}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_x\land d\overrightarrow{OM}_z`$ -$`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_z}`$ -$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$ -$`=\pm\; dl_x\;dl_z\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_z})`$ -$`=\mp\; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$ - -$`d\overrightarrow{S_{yz}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_y\land d\overrightarrow{OM}_z`$ -$`=\pm\;\overrightarrow{dl_y}\land\overrightarrow{dl_z}`$ -$`=\pm\; (dl_y\;\overrightarrow{e_y})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$ -$`=\pm\; dl_y\;dl_z\;(\overrightarrow{e_y}\land\overrightarrow{e_z})`$ -$`=\pm\; dy\;dz\;\overrightarrow{e_x}`$ - -##### Volume élémentaire - -* *COOSYS-280* - -Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées cartésiennes : - -$`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$ , **$`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$** - - -#### Vecteur position - -* *COOSYS-285* - -Vecteur position d'un point $`M(x,y,z)`$ en coordonnées cartésiennes :
-[EN] Position vector of a point $`M(x,y,z)`$ in Cartesian coordinates:
- -$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$ - -**$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}}`$** - -#### Vecteur vitesse - -* *COOSYS-290* - -#### Vecteur accélération - -* *COOSYS-295*