From feabb6d564b098b52cef3941bc0b8b9b08247bae Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Claude Meny Date: Mon, 11 Jan 2021 14:26:51 +0100 Subject: [PATCH] Update textbook.es.md --- .../textbook.es.md | 106 +++++++++--------- 1 file changed, 54 insertions(+), 52 deletions(-) diff --git a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/10.mathematical-tools/20.reference-frames-coordinate-systems/textbook.es.md b/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/10.mathematical-tools/20.reference-frames-coordinate-systems/textbook.es.md index df23498a1..d297dee6d 100644 --- a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/10.mathematical-tools/20.reference-frames-coordinate-systems/textbook.es.md +++ b/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/10.mathematical-tools/20.reference-frames-coordinate-systems/textbook.es.md @@ -317,15 +317,15 @@ Le vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ en coordonnées cartésiennes s'écrit en fon * *CS220* -La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ +La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ est l'élément de longueur $`dl_x`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$ s'écrit : -$`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}=dl_x\;\overrightarrow{e_x}=dx\;\overrightarrow{e_x}`$ +$`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}=dl_x\;\overrightarrow{e_x}=dx\;\overrightarrow{e_x}`$ de même : -$`\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}=dl_y\;\overrightarrow{e_y}=dy\;\overrightarrow{e_y}`$
-$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ +$`d\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}=dl_y\;\overrightarrow{e_y}=dy\;\overrightarrow{e_y}`$
+$`d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ -------------------------------- @@ -337,7 +337,7 @@ $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$ quand les coordonnées varient infinitésimalement des qu $`dx`$, $`dy`$ y $`dz`$, et il s'écrit : $`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}`$ -$`=\partial\overrightarrow{OM}_x+\partial\overrightarrow{OM}_y+\partial\overrightarrow{OM}_z`$ +$`=d\overrightarrow{OM}_x+d\overrightarrow{OM}_y+d\overrightarrow{OM}_z`$ $`=\overrightarrow{dl_x}+\overrightarrow{dl_y}+\overrightarrow{dl_z}`$ $`=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}`$ $`=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$ @@ -371,9 +371,9 @@ $`=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl`$ * *CS250* -Les 3 vecteurs $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$, -$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ et -$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2. +Les 3 vecteurs $`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$, +$`\quad d\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ et +$`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2. $`\Longrightarrow`$ : @@ -400,19 +400,19 @@ $`\quad dS=dS_{yz}=dS_{zy}=dl_y\;dl_z=dy\;dz`$, **$`\mathbf{dS=dl_y\;dl_z=dy\;dz et les **éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dS}`$** correspondants sont : -$`d\overrightarrow{S_{xy}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_x\land\partial\overrightarrow{OM}_y`$ +$`d\overrightarrow{S_{xy}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_x\land d\overrightarrow{OM}_y`$ $`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_y}`$ $`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_y\;\overrightarrow{e_y})`$ $`=\pm\; dl_x\;dl_y\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_y})`$ $`= \pm \; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$ -$`d\overrightarrow{S_{xz}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_x\land\partial\overrightarrow{OM}_z`$ +$`d\overrightarrow{S_{xz}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_x\land d\overrightarrow{OM}_z`$ $`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_z}`$ $`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$ $`=\pm\; dl_x\;dl_z\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_z})`$ $`=\mp\; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$ -$`d\overrightarrow{S_{yz}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_y\land\partial\overrightarrow{OM}_z`$ +$`d\overrightarrow{S_{yz}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_y\land d\overrightarrow{OM}_z`$ $`=\pm\;\overrightarrow{dl_y}\land\overrightarrow{dl_z}`$ $`=\pm\; (dl_y\;\overrightarrow{e_y})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$ $`=\pm\; dl_y\;dl_z\;(\overrightarrow{e_y}\land\overrightarrow{e_z})`$ @@ -505,9 +505,11 @@ $`M(\rho , \varphi , z)`$, **$`\mathbf{M(\rho , \varphi , z)}`$** * *CS340* -\- **Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cylindriques variant indépendamment dans les domaines $`\rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[ `$ , $`\varphi\in[0,2\pi[`$ et $`z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty\,[ `$. +\- **Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cylindriques variant indépendamment +dans les domaines $`\rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[ `$ , +$`\varphi\in[0,2\pi[`$ et $`z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty\,[`$. -**$`\mathbf{ \rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[} `$ , $`\mathbf{ \varphi\in[0,2\pi[ }`$ , $`\mathbf{ z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty[ } `$** +**$`\mathbf{\rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[}`$ , $`\mathbf{ \varphi\in[0,2\pi[ }`$ , $`\mathbf{ z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty[ } `$** -------------- @@ -638,23 +640,23 @@ $`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\phi}=\rho\,d\varphi`$ , , **$`\mathbf{dl_{\varp [ES] Cuando solo la coordenada $`\rho`$ de un punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ aumenta infinitesimalmente entre los valores $`\rho`$ y $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$) para llegar al punto $`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, el vector de desplazamiento -$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ del punto $`M`$ es el vector +$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ del punto $`M`$ es el vector tangente a la trayectoria en el punto $`M`$, dirigido en la dirección del movimiento, que se escribe : [FR] Lorsque seule la coordonnées $`\rho`$ d'un point $`M(\rho, \varphi, z)`$ s'accroît de façon infinitésimale entre les valeurs $`\rho`$ et $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$) pour atteindre le point $`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, le vecteur déplacement -$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ du point $`M`$ est le vecteur +$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ du point $`M`$ est le vecteur tangent à la trajectoire au point $`M`$, dirigé dans le sens du mouvement, qui s'écrit : [EN] When only the $`\rho`$ coordinate of a point $`M(x,y,z)`$ increases infinitesimally between the values $`\rho`$ and $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$) to reach the point $`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, the displacement vector -$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ of the point $`M`$ is the +$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ of the point $`M`$ is the tangent vector to the trajectory at point $`M`$ oriented in the direction of the movement. It writes : -$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \rho}\cdot d\rho`$ +$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \rho}\cdot d\rho`$ [ES] El vector unitario tangente a la trayectoria $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ (que indica la dirección y el sentido de desplazamiento del punto $`M`$ cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada $`\rho`$ se escribe: @@ -669,40 +671,40 @@ $`\overrightarrow{e_{\rho}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}}{||\partia tambien / de même / similarly : -$`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \varphi}\cdot d\varphi`$, +$`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \varphi}\cdot d\varphi`$, $`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}||}`$
-$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$, +$`d\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$, $`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$ * *CS390* -[ES] La norma del vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ -es el elemento escalar de linea $`dl_{\rho}`$, entonces el vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ +[ES] La norma del vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ +es el elemento escalar de linea $`dl_{\rho}`$, entonces el vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ se escribe : -[FR] La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ -est l'élément de longueur $`dl_{\rho}`$, donc le vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ s'écrit : +[FR] La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ +est l'élément de longueur $`dl_{\rho}`$, donc le vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ s'écrit : -[EN] the norm (or length) of the vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ -is the scalar line element $`dl_{\rho}`$, so the vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ writes : +[EN] the norm (or length) of the vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ +is the scalar line element $`dl_{\rho}`$, so the vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ writes : -$`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}} +$`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}} =d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$ , **$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\rho}}=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}}`$** tambien / de même / similarly : -$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ , +$`d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ , **$`\mathbf{\overrightarrow{dl_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}}`$** -[ES] La norma del vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ +[ES] La norma del vector $`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ es el elemento escalar de linea $`dl_{\varphi}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ se escribe : -[FR] La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ +[FR] La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ est l'élément de longueur $`dl_{\varphi}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ s'écrit : -[EN] the norm (or length) of the vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{varphi}=\overrightarrow{dl_{varphi}}`$ +[EN] the norm (or length) of the vector $`d\overrightarrow{OM}_{varphi}=\overrightarrow{dl_{varphi}}`$ is the scalar line element $`dl_{\varphi}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ writes : $`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}} @@ -728,7 +730,7 @@ $`d\rho`$, $`d\varphi`$ and $`dz`$, and it writes : $`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}`$ -$`=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}+\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}+\partial\overrightarrow{OM}_z`$ +$`=d\overrightarrow{OM}_{\rho}+d\overrightarrow{OM}_{\varphi}+d\overrightarrow{OM}_z`$ $`=\overrightarrow{dl_{\rho}}+\overrightarrow{dl_{\varphi}}+\overrightarrow{dl_z}`$ $`=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}`$ $`=d\rho\;\overrightarrow{e_x}+\rho\;d\varphi\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$ @@ -1003,51 +1005,51 @@ $`\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_z}}{dt^2} \quad = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\ * *CS460* -[ES] La norma del vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ +[ES] La norma del vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ es el elemento escalar de linea $`dl_{\rho}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ se escribe : -[FR] La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ +[FR] La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ est l'élément de longueur $`dl_{\rho}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ s'écrit : -[EN] the norm (or length) of the vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ +[EN] the norm (or length) of the vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ is the scalar line element $`dl_{\rho}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ writes : -$`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}} +$`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}} =\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$ tambien / de même / similarly : -$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ +$`d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ -[ES] La norma del vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ +[ES] La norma del vector $`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ es el elemento escalar de linea $`dl_{\varphi}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ se escribe : -[FR] La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ +[FR] La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ est l'élément de longueur $`dl_{\varphi}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ s'écrit : -[EN] the norm (or length) of the vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{varphi}=\overrightarrow{dl_{varphi}}`$ +[EN] the norm (or length) of the vector $`d\overrightarrow{OM}_{varphi}=\overrightarrow{dl_{varphi}}`$ is the scalar line element $`dl_{\varphi}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ writes : -$`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}} +$`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}} =\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ ------------------ * *CS470* -[ES] Los 3 vectores $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$, -$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ y -$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ son 2 a 2 ortogonales. +[ES] Los 3 vectores $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$, +$`\quad d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ y +$`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ son 2 a 2 ortogonales. -[FR] Les 3 vecteurs $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$, -$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ et -$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2. +[FR] Les 3 vecteurs $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$, +$`\quad d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ et +$`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2. -[EN] The 3 vectors $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$, -$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ and -$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ are 2 to 2 orthogonal. +[EN] The 3 vectors $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$, +$`\quad d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ and +$`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ are 2 to 2 orthogonal. $`\Longrightarrow`$ : @@ -1081,17 +1083,17 @@ http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-07.
[EN] and the corresponding **vector surface elements $`\overrightarrow{dA}`$** are : -$`d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}\land\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}`$ +$`d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}\land d\overrightarrow{OM}_{\varphi}`$ $`=\overrightarrow{dl_{\rho}}\land\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ $`= (dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})\land(dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ $`=dl_{\rho}\;dl_{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ $`=d\rho\;\rho\,d{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})`$
-
$`d\overrightarrow{A_{\varphi z}}=\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}\land\partial\overrightarrow{OM}_z`$ +
$`d\overrightarrow{A_{\varphi z}}=d\overrightarrow{OM}_{\varphi}\land d\overrightarrow{OM}_z`$ $`=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\land\overrightarrow{dl_z}`$ $`= (dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})\land (dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$ $`=dl_{\varphi}\;dl_z\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})`$ $`=\rho\,d\varphi\;dz\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})`$
-
$`d\overrightarrow{A_{z \rho}}=\partial\overrightarrow{OM}_z\land\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ +
$`d\overrightarrow{A_{z \rho}}=d\overrightarrow{OM}_z\land d\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ $`=\overrightarrow{dl_z}\land\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ $`=(dl_z\;\overrightarrow{e_z})\land(dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})`$ $`=dl_z\;dl_{\rho}\;(\overrightarrow{e_z}\land\overrightarrow{e_{\rho}})`$.