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 title: Démonstration du théorème de Gauss
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 Gauss
 <!--caligraphie de l'intégrale double curviligne-->
 $`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$
 $`\def\Sopen{\mathscr{S}_{\smile}}`$
 $`\def\Sclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
 $`\def\Ssclosed{\mathscr{S}_{\scriptsize\bigcirc}}`$
 $`\def\PSopen{\mathscr{S}_{\smile}}`$
 $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
 #### Quel est l'intérêt du théorème de Gauss intégral ?
 * Le théorème de Gauss est un théorème très général.
 * Il *permet d'établir l'équation de conservation* de toute grandeur physique.
 * Dans la limite ou une surface de Gauss tend vers 0, il *permet de définir la notion de divergence* qui quantifie une propriété locale de tout champ vectoriel :<br>
 $`\Longrightarrow`$ le théorème de Gauss aura une expression locale.
 * Cette notion de divergence est l'*une des trois notions essentielles* (avec le gradient et le rotationnel) *pour décrire les lois de la physique* au niveau universitaire. <!--, et notamment les équations de Maxwell qui décrivent l'électromagnétisme.-->
 * Il *permet de calculer les champs électrostatiques $`\overrightarrow{E}`$ et gravitationnels $`\overrightarrow{\Gamma}`$* lorsque les distributions de charge et de masse présentent des invariances et symétries, en remplaçant des calculs qui seraient extrêmement complexes.
 #### Quels sont les concepts nécessaires pour comprendre le théorème de Gauss ?
 * **Théorème** = *peut être démontré*.
 * La démonstration nécessite de connaître les concepts de :<br>
 \- angle solide.<br>
 \- surface ouverte et surface fermée.<br>
 \- flux à travers une surface.<br>
 \- force centrale décroissante en $`1/r^2`$.<br>
 \- théorème de superposition.<br>
 \- divergence d'un champ vectoriel.<br>
 #### Qu'est-ce qu'un angle solide ?
 ##### Que représente-t-il ?
 * L’**angle solide** est une notion qui permet de définir et quantifier la *portion d’espace*<br>
 \- sous laquelle un observateur voit depuis un point O une surface S dans cet espace.<br>
 \- *contenue à l’intérieur d’un faisceau de demi-droites* d'origine $`O`$.
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 ![](notion_solid_angle.jpg)
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 ##### Comment le définir ?
 * L’angle solide $`\Omega`$ est défini comme la surface $`\Sigma`$ obtenue par projection de la surface $`S`$ sur la sphère de centre $`O`$ et de rayon $`R`$, divisé par le rayon $`R`$ élevé au carré.<br>
 <br>**$`\mathbf{\Omega=\dfrac{\Sigma}{R^2}}`$**
 * Ainsi exprimé, l’angle solide est une *grandeur physique sans dimension*. La valeur numérique de l’angle solide ainsi obtenue est l’angle solide exprimé en *stéradian (sr)*.
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 ![](solid_angle_definition.jpg)
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 ##### Comment le calculer en pratique ?
 *Angle solide élémentaire $`d\Omega`$*
 * Si le point $`O`$ et une surface élémentaire orientée $`\overrightarrow{dS}`$ de l’espace sont donnés, alors : <br>
 <br>**$`\displaystyle\mathbf{d\Omega=\dfrac{|\,\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{dS}\,|}{OM^3}}\quad`$**,
 avec $`OM=||\overrightarrow{OM}||`$
 * **En notation algébrique**, l'angle solide élémentaire peut être positif ou négatif :<br>
 <br>**$`\displaystyle\mathbf{d\Omega=\dfrac{\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{dS}}{OM^3}}\quad`$**,
 avec $`OM=||\overrightarrow{OM}||`$
 <br>Lorsque la surface est ouverte, deux sens sont possibles pour l’orientation des $`\overrightarrow{dS}`$, qui conditionnent le signe de l’angle solide.
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 ![](solid_angle_calcul_L800.jpg)
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 *Angle solide $`\Omega`$*
 * Si le point $`O`$ et une surface orientée $`S`$ de l’espace sont donnés, alors : <br>
 <br>**$`\displaystyle\mathbf{\Omega=\iint d\Omega=\iint_S \dfrac{|\,\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{dS}\,|}{OM^3}}\quad`$**,
 avec $`OM=||\overrightarrow{OM}||`$
 * **En notation algébrique**, l'angle solide peut être positif ou négatif :<br>
 <br>**$`\displaystyle\mathbf{\Omega=\iint d\Omega=\iint_S \dfrac{\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{dS}}{OM^3}}\quad`$**,
 avec $`OM=||\overrightarrow{OM}||`$<br>
 #### Qu'est-ce qu'une surface ouverte ou fermée ?
 * **surface fermée** : *frontière délimitant un volume intérieur et un espace extérieur*.<br>
 $`\Longrightarrow`$ par convention :<br>
 \-  les éléments vectoriels de surface **$`\overrightarrow{dS}`$** sont **orientés de l'intérieur vers l'extérieur**.<br>
 \-  l'*intégration* sur une surface fermée utilise le **symbole $`\oiint_S...\,dS`$**
 * **surface ouverte** : *n'est pas la frontière d'un volume*.<br>
 $`\Longrightarrow`$ :<br>
 \-  l'*orientation* des éléments vectoriels de surface **$`\overrightarrow{dS}`$** doit être choisie parmi les **deux sens possibles**.<br>
 \-  l'*intégration* sur une surface fermée utilise le symbole **$`\displaystyle\iint_S...\,dS`$**.
 #### Qu'est-ce que le flux d'un champ vectoriel à travers une surface ?
 ##### Flux élémentaire d'un champ vectoriel
 * Le **flux élémentaire $`d\Phi_X`$** d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ est le  flux de $`\overrightarrow{X}`$ à travers un élément vectoriel de surface $`\overrightarrow{dS}`$.
 * Par définition, $`d\Phi_X`$ est le *produit scalaire $`\overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}`$* :
 **$`\mathbf{d\Phi_X=\overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**
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 ![](flux_element_L800.jpg)
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 ##### Flux d'un champ vectoriel à travers une surface
 * $`\Phi_X=\int d\Phi_X`$
 * flux à travers une *surface ouverte* : **$`\displaystyle\mathbf{\Phi_X=\iint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**.
 * flux à travers une *surface fermée* : **$`\displaystyle\mathbf{\Phi_X=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**.
 #### Qu'est-ce qu'un champ de force centrale décroissante en $`1/r^2`$ ?
 * **Force centrale** : force d'interaction à distance, toujours *dirigée en direction de sa source élémentaire*.<br>
 (élémentaire = considérée comme °ponctuelle* à l'échellle d'observation).
 * **Force décroissante en $`1/r^2`$** : force d'interaction à distance, dont *l'intensité décroit comme le carré de la distance* à sa source ponctuelle.
 * **Expression générale** *d'un champ de force centrale décroissante en $`1/r^2`$* :<br>
 <br>**$`\mathbf{\overrightarrow{X}=K\cdot x\cdot\dfrac{\overrightarrow{OM}}{OM^3}}\quad`$**, avec :<br>
 <br>\-   $`O`$ : point où se situe la source élémentaire.<br>
 \-   $`x`$ : grandeur physique qui caractérise la sensibilité de la source élémentaire à l'interaction X.<br>
 \-   $`M`$ : point où est exprimé le champ de la force.<br>
 \-   $`K`$ : constante réelle qui dépend du système d'unités.<br>
 \-   $`OM=||\overrightarrow{OM}||`$.<br>
 <br>et *dans le repère sphérique $`(O,\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$* :<br>
 <br>**$`\mathbf{\overrightarrow{X}=K\cdot\dfrac{x}{r^2}\cdot\overrightarrow{e_r}}\quad`$**<br>
 avec $`r=OM\quad`$ et $`\quad\overrightarrow{e_r}=\dfrac{\overrightarrow{OM}}{OM}`$.
 !!! Exemples de champs de force centrale décroissantes en $`1/r^2`$ :<br>
 !!! \-  champ gravitationnel : $`\overrightarrow{\Gamma}=-\,G\cdot\dfrac{m}{r^2}\cdot\overrightarrow{e_r}`$.<br>
 !!! \-  champ électrostatique : $`\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\;\dfrac{q}{r^2}\cdot\overrightarrow{e_r}`$.<br>
 !!! <details markdown=1>
 !!! <summary>
 !!! Plus d'information sur ces deux expressions
 !!! </summary>
 !!! Sont données en coordonnées sphériques :<br>
 !!! \-expression du champ gravitationnel créé à une distance $`r`$ d'une source élémentaire de masse $`m`$ située en !!! $`O`$, G est la constante universelle de gravitation.<br>
 !!! \-expression du champ électrique créé à une distance $`r`$ d'une source élémentaire de charge électrique $`q`$ immobile en $`O`$, $`\varepsilon_0`$ est la permittivité électrique du vide, encore appelée constante électrique.
 !!! </details>
 #### Quelle propriété particulière possède le flux d'un champ de force centrale décroissante en $`1/r^2`$ ?
 Flux d'un champ de force centrale en $`1/r^2`$ à travers une surface fermée
 ##### Expression du flux élémentaire
 * $`d\Phi_X=\overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}`$$`\quad=\left(K\cdot x\cdot\dfrac{\overrightarrow{OM}}{OM^3}\right)\cdot\overrightarrow{dS}`$$`\quad=K\cdot x\cdot\left(\dfrac{\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{dS}}{OM^3}\right)`$<br>
 **$`\mathbf{d\Phi_X=K\cdot x\cdot d\Omega}`$**
 ##### La surface fermée ne contient pas la source ponctuelle du champ
 * Partant de $`O`$, toute demi-droite $`\Delta`$ en direction de la surface $`S`$ traverse $`S`$ un nombre pair de fois .
 * Observé dans un même angle solide $`d\Omega`$ centré autour de $`\Delta`$, le flux élémentaire total
 $`d\Phi_{\Delta}`$ est égale à la somme d'un nombre pair $`2n`$ de flux élémentaires $`d\Phi_i`$ d'égales valeurs absolues.
 * Dans une moitié des cas : $`0<\widehat{\overrightarrow{X}\overrightarrow{dS}}<\pi/2 \Longrightarrow d\Phi_i>0`$,<br>
 dans l'autre moitié : $`\pi/2<\widehat{\overrightarrow{X}\overrightarrow{dS}}<\pi \Longrightarrow d\Phi_i<0`$<br>
 <br>$`\Longrightarrow`$**$`\;d\Phi_{\Delta}=\sum d\Phi_i=0`$ 
 * *$`\Longrightarrow`$ Le flux $`\Phi_X`$ à travers toute surface fermée qui ne contient pas la source de $`X`$ est nul* :<br>
 <br>**$`\mathbf{\Phi_X=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}=0}`$**
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 ![](Flux_surface_exterior_Gauss_integral_theorem_1_L800.jpg)
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 ##### La surface fermée contient la source ponctuelle du champ
 * Partant de $`O`$, toute demi-droite $`\Delta`$ en direction de la surface $`S`$ traverse $`S`$ un nombre impair de fois .
 * Observé dans un même angle solide $`d\Omega`$ centré autour de $`\Delta`$, le flux élémentaire total
 $`d\Phi_{\Delta}`$ est égale à la somme d'un nombre impair $`2n+1`$ de flux élémentaires $`d\Phi_i`$ d'égales valeurs absolues.
 * $`2n`$ flux élémentaires s'annulent, et le flux élémentaire total $`d\Phi_{\Delta}`$ est égal au flux restant :<br>
 <br>$`\Longrightarrow`$**$`\; d\Phi_{\Delta}=\sum d\Phi_i=K\cdot x\cdot d\Omega\quad`$**,
 avec $`d\Phi_{\Delta}>0\;\Longleftrightarrow\;x>0`$.
 * Le flux $`\Phi_X`$ à travers toute surface fermée qui contient la source de $`X`$ est égal à :<br>
 $`\Phi_X=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}=\int_{\Omega_S} K\cdot x\cdot d\Omega`$
 * Depuis le point $`O`$ situé à l'intérieur de la surface fermée $`S`$, l'angle solide $`\Omega_S`$ sous lequel est vue $`S`$ est de $`4\pi`$ stéradians : $`\Omega_S=2\pi\;\text{sr}`$
 * *$`\Longrightarrow`$ Le flux $`\Phi_X`$ à travers toute surface fermée qui contient pas la source de $`X`$ est nul* :<br>
 <br>**$`\mathbf{\Phi_X=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}=4\pi\,K\,x}`$**
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 ![](Flux_surface_interior_Gauss_integral_theorem_1_L800c.jpg)
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 #### Qu'est-ce que le théorème de superposition ?
 * La présence ou non d'autre sources n'influence pas le champ $`\overrightarrow{X}_{tot}`$ créé chaque une source élémentaire. Donc le champ total $` X`$ créé par une distribution de sources élémentaires est la somme des champs $`X`$ créé par chacune des sources élémentaires. 
 * $`\Longrightarrow`$ :<br>
 \-   pour une *distribution discrète de sources* : **$`\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\sum_i \overrightarrow{X}_i}`$**.<br>
 \-   pour une *distribution continue de sources* : **$`\displaystyle\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\int d\overrightarrow{X}}`$**.<br>
 ##### La surface fermée ne contient une distribution de sources
 #### Que dit le théorème de Gauss intégral en électrostatique ?
 ##### L'interaction électrostatique 
 * La **charge électrique**, de symbole  **$`q`$**, est la grandeur physique $`x`$ qui *caractérise la sensibilté d'un corps à l'interaction électrostatique* (et plus généralement l'interaction électromagnétique).
 * La charge $`q`$ peut être **négative ou positive**. 
 * La **force d'interaction électrostatique** $`\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}`$ qu'exerce une particule de charge $`q_1`$ immobile en $`M_1`$ sur une autre particule de charge $`q_2`$ située en $`M_2`$ s'écrit :<br>
 **$`\mathbf{\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}=\dfrac{1}{4\pi\,\epsilon_0}\cdot q_1\,q_2\cdot \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{M_1M_2^3}}`$**<br>
 C'est une *force centrale décroissant en $`1/r^2`$*$`\quad\Longrightarrow`$ le théorème de Gauss s'applique.
 * Cette force se réécrit :<br>
 $`\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}=q_2\cdot \overrightarrow{E_{1,M_2}}`$<br>
 où $`\overrightarrow{E_{1,M_2}}`$ est le champ électrostatique créé par la particule immobile en $`M_1`$ au point $`M_2`$ :<br>
 $`\overrightarrow{E}_{1\rightarrow 2}=\dfrac{1}{4\pi\,\epsilon_0}\cdot q_1\cdot \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{M_1M_2^3}`$<br>
 C'est une force centrale décroissant en $`1/r^2`$.
 * Le **champ électrostatique** créé en tout point $`M`$ de l'espace par une particule de charge $'q`$ immobile en un point $`O`$ s'écrit :<br>
 **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{4\pi\,\epsilon_0}\cdot q\cdot \dfrac{\overrightarrow{OM}}{OM^3}}`$**
 ##### Quel est le lien entre électrostatique et électromagnétisme ?
 * L'électrostatique décrit le champ électrique créé par des particules chargées immobile.
 * L'électromagnétisme généralise aux champs électrique et magnétiques créés par des particules chargées immobile ou en mouvement.
 ##### Le théorème de Gauss en électrostatique
 * Soit une *distribution de charges maintenues immobiles* dans l'espace.
 * **Théorème de Gauss** :<br>
 Le flux $`\Phi_E`$ du vecteur champ électrique à travers toute *surface fermée $`S`$* de l'espace
 est égal à la *charge totale $`Q_{int}`$ contenue à l'intérieur de $`S`$* divisée par la constante électrique $`\epsilon_0`$.<br>
 <br>**$`\mathbf{\Phi_E=\oiint_S \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}}`$**
 ---
 ![](Gauss_theorem_signification_electrostatics_L800.gif)
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 #### Que dit le théorème de Gauss intégral en gravitation ?
 ##### L'interaction gravitationnelle
 * La **masse**, de symbole  **$`m`$**, est la grandeur physique $`x`$ qui *caractérise la sensibilté d'un corps à l'interaction gravitationnelle*.
 * La masse $`m`$ de la matière est *toujours positive*. 
 * La **force d'interaction gravitationnelle de Newton** $`\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}`$ qu'exerce un corps de masse $`m_1`$ en $`M_1`$ sur un autre corps de masse $`m_2`$ située en $`M_2`$ s'écrit :<br>
 **$`\mathbf{\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}=-\;G\cdot m_1\,m_2\cdot \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{M_1M_2^3}}`$**<br>
 où $`G`$ est la constante universelle de la gravitation.<br>
 C'est une *force centrale décroissant en $`1/r^2`$*$`\quad\Longrightarrow`$ le théorème de Gauss s'applique.
 * Cette force se réécrit :<br>
 $`\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}=m_2\cdot \overrightarrow{\Gamma_{1,M_2}}`$<br>
 où $`\overrightarrow{\Gamma_{1,M_2}}`$ est le champ gravitationnel créé par le corps en $`M_1`$ au point $`M_2`$ :<br>
 $`\overrightarrow{\Gamma}_{1\rightarrow 2}=\;G\cdot m_1\cdot \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{M_1M_2^3}`$<br>
 C'est une force centrale décroissant en $`1/r^2`$.
 * Dans le cadre de la physique classique, le **champ gravitationnel** créé en tout point $`M`$ de l'espace par un corps de masse $'m`$ situé un point $`O`$ s'écrit :<br>
 **$`\mathbf{\overrightarrow{\Gamma}=-\;G\cdot m\cdot \dfrac{\overrightarrow{OM}}{OM^3}}`$**
 ##### Théorème de Gauss en gravitation
 * Soit une *distribution de masses* dans l'espace.
 * **Théorème de Gauss** :<br>
 Le flux $`\Phi_{\Gamma}`$ du vecteur champ de gravitation à travers toute *surface fermée $`S`$* de l'espace
 est égal à la *masse totale $`m_{int}`$ contenue à l'intérieur de $`S`$* multiplié par $`4\pi\,G`$, où $`G`$ est la constante la constante universelle de la gravitation.<br>
 <br>**$`\mathbf{\Phi_{\Gamma}=\oiint_S \overrightarrow{\Gamma}\cdot\overrightarrow{dS}=4\pi\;G\;m_{int}}`$**
 #### Quelle est l'utilité du théorème de Gauss intégral ?
 #### Comment dois-tu l'utiliser ?
 #### Pourquoi le théorème de Gauss intégral est-il insuffisant ?
 ![](fleux_gauss_integral_towards_local_divergence.gif)<br>
 _Champ électrique créé par 3 charges ponctuelles immobiles situées dans plan de représentation du champ
 électrostatique._
 * Dans les *cas simples*, **l'oeil humain repère immédiatement** les points ou les lignes de champ électrique convergent ou divergent, qui localisent *les causes du champ électrostatique* dans le plan d'observation. 
 * Le **théorème de Gauss intégral** précise, lors d'un flux non nul du champ électrostatique
 à travers une surface fermée, la somme totale des charges contenues à l'origine de ce flux, 
 mais *ne permet pas la localisation précise des charges* du champ électrostatique.
 * Il **doit exister une propriété locale** (à l'échelle mésoscopique, donc apparaissant ponctuelle
 à la résolution de l'observation) qui en tout point de l'espace *relie le champ électrostatique
 à sa cause élémentaire locale*.
 #### Une idée pour relier une propriété locale du champ électrostatique à sa cause ?
 * Dans la **démonstration du théorème de gauss** (partie principale), *aucune échelle de taille n'est précisée* 
 pour le choix de la surface fermée de Gauss, et donc du volume intérieur qu'elle définit.
 * $`\Longrightarrow`$ idée 1 : faire tendre la surface fermée vers une
 **surface fermée mésoscopique qui entoure chaque point** de résolution de l'espace, 
 le *flux* ainsi calculé sera une *propriété locale du champ*.
 * $`\Longrightarrow`$ idée 2 :  la *charge déduite du théorème de Gauss* est la charge **située à l'intérieur du volume mésoscopique** délimité par cette surface de Gauss, c'est ainsi une charge *locale*. 
 * Cette idée est à la **base de la notion de divergence** d'un champ vectoriel.
 #### Comment est définie la divergence de E ?
 * Soit $`dS`$ un élément de surface fermée qui délimite un élement de volume $`d\tau`$ contenu dans un voisinage de tout point de l'espace.<br>
 <br>La **divergence de $`\overrightarrow{E}`$**, *définie en tout point de l'espace*, est le flux $`d\Phi_E`$ de $`\overrightarrow{E}`$ à travers $`dS`$, divisé par le volume $`d\tau`$ :<br>
 <br>**$`\mathbf{div\,\overrightarrow{E}=\displaystyle \lim_{\tau\leftrightarrow 0 \\ \tau \leftrightarrow S} \dfrac{\displaystyle\oiint_S \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}{\displaystyle\iiint_{\tau} d\tau}=\dfrac{d\Phi_E}{d\tau}}`$**
 * $`\Longrightarrow\quad d\Phi_E=div\,\overrightarrow{E}\cdot d\tau`$.
 #### Que représente-t-elle ?
 La champ de divergence de E est un **champ scalaire** : $`div\;\overrightarrow{E}\in\mathbb{R}`$
 * Le **valeur absolue de la divergence $`\mathbf{|\,div\;\overrightarrow{E}\,|}`$**  indique l'*intensité du champ $`\overrightarrow{E}`$* ce point.<br>
 ( $`div\;\overrightarrow{E}=0`$ indique un champ qui ne converge ni ne diverge en ce point)
 * Le **signe de $`\mathbf{div\;\overrightarrow{E}}`$** indique si la *vergence du champ $`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$* en ce point.<br>
 \- **$`\mathbf{div\;\overrightarrow{E}<0}`$**$`\quad\Longleftrightarrow\quad`$ le champ *$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ diverge*.<br>
 \- **$`\mathbf{div\;\overrightarrow{E}>0}`$**$`\quad\Longleftrightarrow\quad`$ le champ *$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ converge*.<br>
 #### Comment se détermine son expression en coordonnées cartésiennes ?
 à terminer
 ![](fleux_gauss_integral_towards_local_divergence_1_L1200.jpg)
 ![](fleux_gauss_integral_towards_local_divergence_2_L1200.jpg)
 ![](fleux_gauss_integral_towards_local_divergence_3_L1200.jpg)
 #### Comment visualiser et mémoriser le théorème d'Ostrogradsky-Green ?
 à terminer
 ![](introduction_ostrogradsky_theorem_L1200.gif)
 ![](ostragradsky_therorem_2b_L1200.gif)
 ![](ostragradsky_therorem_1b_L1200.gif)
 * **Théorème de Green-Ostrogradsky**<br>
 = théorème de la divergence :<br>
 **$`\mathbf{\displaystyle\iiint_{\tau \leftrightarrow S} div\,\overrightarrow{E}\cdot d\tau = \oiint_{S \leftrightarrow \tau}\overrightarrow{E}\cdot dS}`$**
 #### Que devient le théorème de Gauss exprimé localement ?
 #### Quelle est l'utilité du théorème de Gauss local ?
 #### Comment dois-tu l'utiliser ?