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title: Definir las herramientas matemáticas de nivel 4 : proposición 1 
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<!--caligrafía de las integrales curvilíneas simple y doble -->
$`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$
$`\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}`$

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#### Proposición 1

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#### Definir las herramientas matemáticas necesarias para el nivel 4 

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con una **primera clasificación para ordenar** la lluvia de ideas (nconteo, geometría, etc.).
*No presagia títulos de capítulo*.

No dude en crear una nueva clasificación si es necesario. 

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Las *herramientas matemáticas de los niveles 1, 2 y 3* **$`+`$** :

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  NUNMERACION, OPERACIONES Y FUNCIONES COMUNES 
------------------------------------------------------------------------------->
! *Numeración, operaciones y funciones comunes *


<!------------------------------------------------------------------------------
  CONJUNTOS Y LOÓGICAonjuntos 
------------------------------------------------------------------------------->
! *Conjuntos y lógica *



<!------------------------------------------------------------------------------
  GEOMETRÍAS Y COORDENADAS 
------------------------------------------------------------------------------->
! *Geometrías y coordenadas *

(CME-FR) 

* Coordenadas curvilíneas generalizadas, y
* coordenadas no ortogonales, no estandarizadas 
* *base natural* (local) **$`\overrightarrow{a_i}`$** de un sistema de coordenadas $`x^i`$    
$`\overrightarrow{a_i}=\displaystyle\lim_{\delta x^i \rightarrow 0} \dfrac{\delta\overrightarrow{s}}{\delta x^i}`$,    
$`\left(\overrightarrow{e_i}=\dfrac{\overrightarrow{a_i}}{\lVert \overrightarrow{a_i} \rVert}\right)`$
* *base dual* **$`\overrightarrow{a_i^{&#42;}}=\overrightarrow{a^i}`$** 
  * $`\longrightarrow`$ Espacio de Fourier, cristalografía 
  * $`\longrightarrow`$ espacios no euclidianos ($`\longrightarrow`$ riemannianos  $`\longrightarrow`$ los dos relatividades )
* ccoordenadas contravariantes **$`u^i`$** y covariantes **$`u_i`$** de un vector **$`\overrightarrow{u}=u^i\,\overrightarrow{a_i} =u_i\,\overrightarrow{a^i}`$**
  * $`\longrightarrow`$ producto escalar **$`\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=u^i\,v_j = u_i\,v^j`$**
* nvariante local $`ds`$, métrica local asociada con coordenadas 

para terminar 

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(XXX-YY) ...

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(XXX-YY) ...

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(XXX-YY) ...

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<!------------------------------------------------------------------------------
  ESCALARES-VECTORES-TENSORES ; ANÁLISIS VECTORIAL Y TENSORIAL 
------------------------------------------------------------------------------->
! *Escalares-vectores-tensores; análisis vectorial y tensorial*

(CME-FR)

**$`\Delta\overrightarrow{E}=\overrightarrow{grad}(div\,\overrightarrow{E})-\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E})`$**

à finir

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(XXX-YY) ...

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MATRICES
------------------------------------------------------------------------------->
! *Matrices*

(CME-FR) Buen dominio, con ejercicios de automatización.

* *Cálculo de una matriz inversa*
* *Diagonalización* de una matriz cuadrada
* Cálculo de *valores y vectores propias* de una matriz cuadrada
* *Traza* de una matriz
* *firma* de una matriz 

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(XXX-YY) ...

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(XXX-YY) ...

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<!------------------------------------------------------------------------------
ECUACIONES DIFERENCIALES 
------------------------------------------------------------------------------->
! *Ecuaciones diferenciales*



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(XXX-YY) ...

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AUTRES
------------------------------------------------------------------------------->
! *Otros*

(XXX-YY)
...

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