--- title: Definir las herramientas matemáticas de nivel 3 : proposición 1 published: true routable: true visible: false lessons: - slug: define-234-mathematical-tools-p1 order: 2 --- $`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$ $`\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}`$ -------------------------------------------------------- #### Proposición 1 -------------------------------------------------------- #### Definir las herramientas matemáticas necesarias para el nivel 3 -------------------------------------------------------- con una **primera clasificación para ordenar** la lluvia de ideas (nconteo, geometría, etc.). *No presagia títulos de capítulo*. No dude en crear una nueva clasificación si es necesario. ------------------------------------------------------------- Las *herramientas matemáticas de los niveles 1 y 2* **$`+`$** : ! *Numeración, operaciones y funciones comunes * (CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation * nombre imaginaire **$`i`$** Ensemble des nombres imaginaires purs *$`\mathbb{I}`$* : **$`c=i\,b`$** Ensemble des nombres complexes $`\mathbb{C}`$ : **$`c=a+i\,b= |c|\,e^{\,i\,\theta}`$**, avec **$`|c|=\sqrt{a^2 + b^2}`$** et **$`\theta\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)`$** **$`c=a+i\,b= \mathcal{Re}(c)+i\,\mathcal{Im}(c)`$** * fonction puissance $`y^x`$ * fonction exponentielle **$`e^x`$** Euler **$`e^{\,i\theta}=\cos\theta+ i\sin\theta`$** **$`\cos\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}+e^{\,-i\theta}}{2}`$** ** $`\sin\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}-e^{\,-i\theta}}{2i}`$** * **$`e^0=1 \quad , \quad`$** **$`e^{\,i\frac{\pi}{2}}=i\quad , \quad`$** **$`e^{\,i\pi}=-1\quad , \quad`$**, ... * fonction logatithme **$`log_p\,x`$** propriétés fonction log, dont transformation produit en somme : **$`log_p\,xy`=log_p\,x+log_p\,y$** fonction logatithme **$`log_{10}\,x`$** en relation à la fonction puissance $`10^x`$ fonction logatithme népérien **$`Log\,x=ln\,x`$** en relation à la fonction puissance $`exp(x)=e^x`$ * notations réelle et notation complexe : **$`\overrightarrow{U}=U_0\,\cos(k\,x-\omega t+\varphi)\overrightarrow{e}`$** **$`\overrightarrow{\underline{U}}=U_0\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t+\varphi)}\overrightarrow{e}`$** **$`\;=\underline{U_0}\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t)}\overrightarrow{e}`$** **$`\overrightarrow{U}=\mathcal{Re}(\overrightarrow{\underline{U}})`$** RÉAGIR : ... (XXX-YY) --------------------- (XXX-YY) ... RÉAGIR : ... (XXX-YY) ------------------ ! *Ensembles et logique* à faire RÉAGIR : ... (XXX-YY) --------------------- (XXX-YY) ... RÉAGIR : ... (XXX-YY) ------------------ ! *Géométrie et coordonnées* (CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation * Règle d'*orientation de l'espace* Systèmes de coordonnées, bases et repères *directs ou indirect* * *Coordonnées, bases vectorielles et repères* associées bases et repères *orthogonaux, normés, orthonormés, directs et indirects* * *Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques* * avec *repères et bases associés* * *éléments infinitésimaux* de longueur, de surface, de volume * expressions des *opérateurs* **$`\overrightarrow{grad}`$**, **$`div`$** et **$`\overrightarrow{rot}`$** * *matrice changement de base orthonormée directe* : * $`\overrightarrow{e_i}\longrightarrow \overrightarrow{e_j}'`$ : $`(a)`$ * $`\overrightarrow{e_j}'\longrightarrow \overrightarrow{e_i}'`$ : **$`(a')=(a)^t = (a)^{-1}`$** RÉAGIR : ... (XXX-YY) --------------------- (XXX-YY) ... RÉAGIR : ... (XXX-YY) ------------------ ! *Vecteurs et opérateurs, analyse vectorielle* (CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation *Dans une base euclidienne (3D)*: * Produit scalaire **$`\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}`$** (notation $`\wedge`$ ou $`\times`$ ) * Produit vectoriel **$`\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}`$** (notation $`\wedge`$ ou $`\times`$ ) * Produit mixte **$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})`$** * Opérateurs **$`\overrightarrow{grad}`$**, **$`div`$** et **$`\overrightarrow{rot}`$** (notation $`\overrightarrow{rot}`$ ou $`\overrightarrow{curl}`$ ) et notation avec nabla (coordonnées cartésiennes) : **$`\overrightarrow{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial}{\partial y} \overrightarrow{e_y}\dfrac{\partial}{\partial z}\overrightarrow{e_z}`$** * Opérateurs Laplacien scalaire (coordonnées cartésiennes) **$`\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}`$** **$`\;=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{\nabla}`$** * Opérateur d'Alembertien scalaire (coordonnées cartésiennes) * **$`\Box=\Delta-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\delta^2}{\delta t^2}`$** (pour les ondes) * **$`\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{grad}\,V)=0`$**, lien avec $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}=0\quad\Longrightarrow\quad \exists V\;,\;\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\,V`$ * **$`div\,(\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{A}) =0`$**, lien avec $`div\,\overrightarrow{B}=0 \quad\Longrightarrow\quad \exists \overrightarrow{A}\;,\;\overrightarrow{B}=\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{A}`$ RÉAGIR : ... (XXX-YY) --------------------- (XXX-YY) ... RÉAGIR : ... (XXX-YY) ------------------ ! *Matrices* (CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation * Matrices $`(n,m)`$ : **$`\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix}`$** * Somme de matrice **$`(n,m) + (n,m)`$** * Produit matriciel **$`(n,m)\cdot (m,p) dot`$** * Matrice transposée d'une matrice carrée * Calcul matriciel * Déterminant d'une matrice carrée : **$`\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}`$** RÉAGIR : ... (XXX-YY) --------------------- (XXX-YY) ... RÉAGIR : ... (XXX-YY) ------------------ ! *Étude de fonctions* (CME-FR) * Passage de la notation $`f'(x_0)`$ à **$`\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x_0}`$** Passage de la notation $`f'(x)`$ à **$`\dfrac{df}{dx}`$** ... de $`f^{(n)}(x_0)`$ à **$`\left.\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}\right|_{x_0}`$** de $`f^{(n)}(x)`$ à **$`\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}`$** * fonction dérivée et fonction primitive. * intégrale simple * indéfinie **$`\displaystyle\int f(x)\,dx`$** * définie **$`\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx`$** * intégrale multiple (variables indépendantes) * **$`\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy`$** * **$`\displaystyle\iiint f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz`$** * différence entre : * **$`\displaystyle\int f(x)\,dx`$** et **$`\oint f(x)\,dx`$** * **$`\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy`$** et **$`\oiint f(x,y)\,dx\,dy`$** RÉAGIR : ... (XXX-YY) --------------------- (XXX-YY) ... RÉAGIR : ... (XXX-YY) ------------------ ! *Équations* (CME-FR) * *Résolution de systèmes d'équations* par la *méthode du déterminant*. RÉAGIR : ... (XXX-YY) --------------------- (XXX-YY) ... RÉAGIR : ... (XXX-YY) ------------------ ! *Équations* * à faire RÉAGIR : ... (XXX-YY) --------------------- (XXX-YY) ... RÉAGIR : ... (XXX-YY) ------------------ (XXX-YY) ... RÉAGIR : ... (XXX-YY) --------------------- (XXX-YY) ... RÉAGIR : ... (XXX-YY) ------------------