--- title: Le principe de Fermat T published: false routable: false visible: false --- !!!! *COURS EN CONSTRUCTION !* !!!! !!!! Très imparfait et non validé par l'équipe pédagogique ------------ ##### L'indice de réfraction la lumière se propage dans le vide à la vitesse de $c=300 000\;km.s^{-1}=3\cdot10^8\;m.s^{-1}$, et se propage en ligne droite dans tout milieu transparent homogène et isotrope. Cependant, en passant d'un milieu à un autre, je peux observer que la lumière change de direction à l'interface entre les deux milieux : c'est le phénomène de réfraction de la lumière à l'interface entre les deux milieux. Le phénomène de réfraction peut être expliquer quantitativement dans le cadre du principe de Fermat, si je considère que la vitesse de la lumière change selon le milieu de propagation. la vitesse de la lumière dans différents milieux apparait ainsi comme une quantité importante, qui est à l'origine de toutes les caractéristiques (grandissement, grossissement, aberrations, dispersion, ...) de tous les systèmes optiques utilisant des lentilles ou des primes. Parce que la vitesse de la lumière dans le vide est une constante fondamentale de la nature et qu'elle intervient dans un grand nombre de domaines de la physique, il est sensé de vouloir exprimer la vitesse de la lumière dans tout milieu relativement à sa valeur dans le vide : cela est réalisé avec l'indice de réfraction. L'indice de réfraction , noté $n$, est défini comme le rapport entre la vitesse de la lumière dans le vide $c$ et celle dans le milieu considéré $v$ : $n\;=\;\frac{c}{v}$ L'indice de réfraction étant le rapport de deux vitesse, c'est une grandeur physique sans dimension. Comme la vitesse de la lumière dans tout milieux ne peut être qu'inférieure ou égale à sa valeur dans le vide, l'indice de réfraction est toujours une quantité supérieure ou égale à 1 : ($n\ge1$) Je sais qu'un prisme disperse dans différentes directions toutes les composantes colorées d'un faisceau incident de lumière blanche. la fait que chaque rayon de lumière de ce faisceau subit simplement deux réfractions montre que dans le domaine visible, l'indice de réfraction varie légèrement avec la couleur, ou pour le dire plus précisément avec la fréquence (ou la longueur d'onde dans le vide) de la lumière. Ainsi pour réaliser une expérience précise de dispersion, je dois préciser la fréquance à laquelle est donné la valeur de l'indice de réfraction. Cependant, dans le visible, cette variation reste limitée (de l'ordre de quelques dixièmes de pourcent) and est donné seulement la valeur moyenne de l'indice de réfraction (comme $n_{eau}=1.33$), ou la valeur de l'indice de réfraction à des longueurs d'onde (dans le vide) spécifiques à des raies spectrales ou des sources de lumières quasi-monochromatiques intenses qui ont permis de mesurer précisément la valeur de cette indice (par exemple $n\;_{546nm}$ pour un indice spectral déterminé à partir de la raie verte d'une lampe à vapeur de mercure, ou $n\;_{632nm}$ quand c'est un laser helium-néon qui a été utilisé). ##### Le chemin optique Lorsque la lumière se déplace sur des trajectoires traversant des milieux d'indices réfraction différents, les différents temps de parcours ne sont pas égaux aux longueurs correspondantes multipliées par un nombre réel unique, indépendant des trajectoires. Cela reste vrai sur la trajectoire unique d'un rayon de lumière traversant plusieurs milieux : pour une même longueur considérée le long de la trajectoire, le temps de parcours pourra être différent selon la portion de trajectoire sur laquelle la longueur est prise. Je peux résumer cela d'une phrase : *Sur l'ensemble des cas,* **le temps de parcours n'est pas proportionnel à la distance parcourue.** Or la grandeur physique importante associée à un parcours entre deux points de l'espace, pour savoir si la lumière choisira ce parcours plutôt q'un autre, sera le temps de parcours. Cependant lorsque je visualise mentalement une trajectoire, je vois une ligne à laquelle j'associe intuitivement une longueur. *Comment travailler mathématiquement avec une grandeur physique homogène à une longueur, mais qui aurait les mêmes propriétés que le temps de parcours pour décrire la propagation de la lumière?* Une telle grandeur a été définie en physique, et est grandement utilisée en optique géométrique, optique ondulatoire, électromagnétisme, et elle est nommée "**chemin optique** noté usuellement "**$`\delta_o`$**". Le chemin optique $`\delta_o`$ d'un parcours donné $`\Gamma_o`$ entre deux points A et B de l'espace est *homogène à une longueur*. Son **unité (S.I.)** (son unité dans le Système International d'unités) est donc le "*mètre*". Pour tout segment de droite pris entre deux points infiniment proche dans l'espace, son chemin optique infinitésimal (ou élémentaire) **$`\mathrm{d}\delta`$** est égal à sa *longueur euclidienne $`\mathrm{d}s`$ multipliée par la valeur de l'indice de réfraction $`n`$* moyennée sur le segment infinitésimal considéré : **$`\mathrm{d}\delta\;=\;n\times \mathrm{d}s`$** Le chemin optique $`\delta`$ d'un parcours donné $`\Gamma_o`$ entre deux point de l'espace est simplement la somme des chemins optiques infinitésimaux intégrés sur ce parcours : **$`\delta =\displaystyle\int_{\Gamma_o}\mathrm{d}\delta= \int_{\Gamma_o}n\cdot \mathrm{d}s`$** Quelques soient deux points donnés A et B de l'espace, et quelque soit le parcours considéré entre ces deux points, le **chemin optique** sera *toujours égal au temps de parcours de la lumière sur ce parcours divisé par la vitesse de la lumière dans le vide $c$* qui est une constante universelle de la nature : **$`\mathrm{d}\delta\;=\;\dfrac{ds}{c}`$** $`\delta=\displaystyle\int_{S_{AB}}n\cdot\mathrm{d}s\;=\;\int_{S_{AB}}\dfrac{c}{v}\cdot\mathrm{d}s`$ $`\hspace{1cm}=c\;\int_{S_{AB}}\dfrac{\mathrm{d}s}{v}=\;c\;\tau`$ !!! Je peux maintenant considérer un rayon lumineux se propageant d'un point A à un point B, !!!et lui imposer au cours de sa trajectoire entre A et B d'interagir avec un système optique. Je peux ensuite !!!considérer l'ensemble des chemins possibles (ils sont en nombre infini en optique) entre A et B, et considérer !!!une application f qui à chaque chemin de cet ensemble associe une grandeur physique particulière. En optique !!!géométrique, les deux grandeurs physiques intéressantes sont le temps de parcours et le chemin optique. !!!La question est :
!!!Le trajet réellement suivi par la lumière dans chaque cas correspond-t-il à un chemin défini par un point !!!particulier de la fonction f ?. Les points particuliers qui vont m'intéresser en optique géométrique sont !!!,appelés en mathématiques les points stationnaires. ##### Grandeur physique stationnaire Soit $\Gamma_o$ un chemin continue dans l'espace entre deux points A et B, chemin entièrement déterminé par son paramètre $\lambda_o$, ou plusieurs paramètres indépendants $\lambda_{io}$. Soit $f$ une grandeur physique caractérisant ce chemin $\Gamma$. Je considère maintenant $\Gamma$ tout chemin infiniment proche de $\Gamma_o$ et de mêmes extrémités A et B, et caractérisé par son paramètre $\lambda=\lambda_o+d\lambda$ ou ses paramètres $\lambda_i=\lambda_{io}+d\lambda_i$. La grandeur physique $f$ est stationnaire sur le chemin $\Gamma_o$ si sa variation calculée au premier ordre est nulle sur tout chemin $\Gamma$ infiniment proche de $\Gamma_o$ : $\mathrm{d}f(\Gamma_o)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\lambda}(\Gamma_o)\cdot\mathrm{d}\lambda=0$     ou $\mathrm{d}f(\Gamma_{o})=\sum_i\frac{\partial f}{\partial\lambda_i}(\Gamma_o)\cdot\mathrm{d}\lambda_i=0$ !!! PARALLÈLE : En mathématiques, pour une fonction $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ (fonction réelle $f$ à variable réelle $x$), un point stationnaire ou point critique correspond à un maximum (au moins local), ou à un minimum (au moins local), ou encore à un point d'inflexion stationnaire. Pour une fonction $f :\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$, il faut rajouter le point col ou point selle (en un point selle la fonction présente un maximum local selon un axe et un minimum local selon un autre axe, ce qui lui donne localement la forme d'une selle de cheval). Il faut aussi noter que tout point d'une fonction constante (de $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ou de $\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$) est un points stationnaire. #####Enoncé du principe de Fermat Le principe de Fermat peut s'énoncer à partir du temps de parcours ou bien à partir du chemin optique de la lumière entre deux points de sa trajectoire. Ces deux grandeurs physiques associées sont en effet simplement proportionnelles entre elles, et elles auront donc la propriété de stationnarité sur les mêmes parcours. Les deux énoncés du principe de Fermat sont : "Entre deux points de sa trajectoire, la lumière suit tout parcours sur lequel son temps de propagation est stationnaire par rapport à tout autre parcours infiniment voisin." "Entre deux points de sa trajectoire, la lumière suit tout parcours de chemin optique stationnaire par rapport à tout autre parcours infiniment voisin."