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!!!! *COURS EN CONSTRUCTION :*
!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com. Ce cours est *en construction*, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade.
!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
#### [BR-ENT1&2-10] Pour illustrer le thème des grands nombres
La légende situe la sc
Nécessaire à la seconde loi de la thermo : croissance de l'entropie.
Faire prendre conscience que le cerveau humain ne gère absolument pas les grands nombres.
Avec la légende de Sissa : Le sage Sissa invente le jeu d'échec pour divertir le roi Belkib.
Pour le remercier, le Roi souhaite exaucer le
Mettre un grain de riz sur la première case, deux grains sur la deuxième, quatre sur la
troisième, 8 sur la quatrième, etc.... en doublant à chaque fois le nombre de grains de
riz jusqu'à la dernière case de l'échiquier.
##### Quelle est la légende de l'échiquier de Sissa ?
##### Combien de bols de riz faut-il pour remplir l'échiquier ?
J'écris d'abord la formule mathématique qui décrit comment calculer le nombre de grains de riz nécessaire
pour répondre au souhait de Sissa :
$`\text{nombre de grains requis pour l'échiquier}`$
$`\quad = \overset{\text{case 1}}{1} + \overset{\text{case 2}}{2} + \overset{\text{case 3}}{(2\times 2)}`$
$`+ \overset{\text{case 4}}{(2\times 2\times 2)} + ... + \overset{\text{case 64}}{\underset{\text{2 écrit 63 fois}}{\underbrace{(2\times 2\times 2\times ... \times 2)}}}`$
Ce calcul ne semble vraiment pas compliqué à faire si tu as un peu ... beaucoup!... de temps. Il ne s'agit que de multiplications par le chiffre 2, et d'additions.
Le nombre de grains que tu trouverais est :
$`\quad = \text{18 446 744 073 709 551 615 grains}`$
C'est *un peu plus que* **dix-huit milliards de milliard de grains de riz**.
!! *Pour aller plus loin :*
!!
!! Trouver une *nouvelle expression plus compacte* de ce nombre de grains de riz pour
!! un *calcul plus rapide avec une calculatrice*, en utilisant la *fonction puissance $`x^y`$*.
!!
!! Nomme $`N`$ le nombre de grains requis pour l'échiquier.
!!
!! $`N = \overset{\text{case 1}}{1} + \overset{\text{case 2}}{2} + \overset{\text{case 3}}{(2\times 2)}`$
!! $`+ \overset{\text{case 4}}{(2\times 2\times 2)} + ... + \overset{\text{case 64}}{\underset{\text{2 écrit 63 fois}}
!! {\underbrace{(2\times 2\times 2\times ... \times 2)}}}`$
!!
!! Ce nombre peut être réécrit en utilisant la *fonction puissance de 2*, définie pour toute nombre entier naturel $`n`$ par
!! *$`2^n=\underset{\text{2 écrit n fois}}{\underbrace{(2\times 2\times 2\times ... \times 2)}}`$*
!! *$`2^n`$* se dit *deux à la puissance n*.
!!
!! $`N=1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 +\,.\,.\,. + 2^{62}`$$`\; + 2^{63}`$$`\;\quad (equ.1)`$
!!
!! Tu as le droit de multiplier les deux membres (gauche et droit) de cette égalité par un même nombre réel. Ainsi cette égalité écrite restera vraie. Multiple les par 2 :
!!
!! $`N \times 2 = 1 \times 2 + 2^1 \times 2 + 2^2 \times 2 `$$`\;+ 2^3 \times 2 + \,.\,.\,. + 2^{62} \times 2 + 2^{63} \times 2`$
!!
!! Mais par définition :
!!
!! $`2^n \times 2 = \underset{\text{2 écrit n fois}}{\underbrace{(2\times 2\times 2\times ... \times 2)}}\times 2`$
!! $`\quad = \underset{\text{2 écrit n+1 fois}}{\underbrace{(2\times 2\times 2\times ... \times 2)}}=2^{n+1}`$
!!
!! Tu peux donc réécrire
!!
!! $`N \times 2 = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \,.\,.\,. + 2^{63}`$$`\; + 2^{64}\quad(equ.2)`$
!!
!! Tu peux maintenant comparer les équations $`(equ.1)`$ et $`(equ.2)`$, et remarquer que
!!
!! $`2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \,.\,.\,. + 2^{63} + 2^{64}`$$`\; = (1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 +\,.\,.\,. + 2^{62} + 2^{63})`$$`\;-1+2^{64}`$
!!
!! donc $`N \times 2 = N - 1 + 2^{64}`$
!!
!! $`(N \times 2) - N = 2^{64}- 1`$
!!
!! soit au final $`N = 2^{64}- 1`$.
!!
!! Pour ce calcul, une calculatrice avec suffisamment de chiffres d'affichage donnerait $`2^{64}=18\,446\,744\,073\,709\,551\,616`$.
!!
!! Peu de calculatrices affichent autant de chiffres, car un résultat affiché avec autant de précision n'a pas vraiment d'intérêt.
!! Une calculatrice standard affiche par exemple :
!! $`N=18\,446\,744\,073\,709\,55e19`$
!! Le "e19" signifie que pour obtenir le nombre affiché, il faut reculer la virgule vers la droite de 19 positions, en ajoutant des $`0`$ si nécessaire. Tu pourrais ainsi écrire :
!! $`N=1,844674407370955e19`$$`\quad N=18446744073709550000`$.
!! Comme tu le vois, tu perds la précision sur les 4 derniers chiffres ($`0000`$ eu lieu de $`1615`$.
!!
!! En fait, afficher un résultat avec une erreur de $`1615`$ sur plus de 18 milliards de milliard n'a aucune importance. Seul l'*ordre de grandeur* est important, et pour afficher celui-ci, *2 chiffres significatifs sont suffisants* en général. Les chiffres significatifs sont les chiffres les plus à gauche et différents de $`0`$. Tu écriras ainsi :
!!
!! $`N\sim 18\,000\,000\,000\,000\,000\,000`$
!!
!! où mieux encore sous forme de puissance de dix :
!!
!! $`N\sim 1,8^{19}`$, ou encore $`N\sim 18^{18}`$ (dans ce dernier cas, la puissance 18 t'indique directement le nombre de 0, ce qui évite de les recompter).
!!
!! *Une telle somme*, qui commence par un entier $`a`$ et dont chaque terme est le produit du terme suivant par un entier b *est appelée suite géométrique* de premier terme a et de raison b.
!! Les étapes du calcul précédent sont la base pour établir un résultat très général concernant les suites géométriques.
!! La suite géométrique sera dans le programme du *prochain niveau "collines"*.
Il faudra expliquer le symbole $`\sim`$
##### C'est un nombre énorme ! Combien de ... tonnes de riz cela représente-t-il?
**Estimation de la masse de riz** *que cela représente*
Essaye de réfléchir à ce que représente ce nombre $`2^{64}`$, en évaluant à la louche, avec une petite expérience que chacun peut faire, la masse de riz que cela représente :
Une méthode serait de :
* **mesurer** approximativement la *masse de 100 grains* de riz.
* en déduire par une **règle de trois** la *masse de $`2^{64}`$ grains* de riz.
* trouver sur internet des **informations** qui permettent de se représenter la *signification mentale d'une telle quantité* de riz.
Méthode : mesure de la masse de 100 grains de riz. Incertitude de mesure très grande, mais pas d'incertitude au niveau 1. Et ce n'est pas l'objectif de ce chapitre au niveau 2. Donc on prend le symbole $`\sim`$ qu'il faudra expliquer.
$`\text{masse de 100 grains de riz}\sim 3\,\text{grammes}`$
$`\text{masse totale de riz}`$$`\;\;\;\sim\dfrac{\text{nombre de grains}}{100}\times \text{masse de 100 grains}`$
$`M_{riz}= \dfrac{18\;446\;744\;073\;709\;551\;615}{100}\times 3\,g`$
$`\text{masse de 100 grains de riz}\sim 3\,\text{grammes}`$
$`\text{masse totale de riz}`$$`\quad\sim\dfrac{\text{nombre de grains}}{100}\times \text{masse de 100 grains}`$
$`M_{riz}= \dfrac{18\;446\;744\;073\;709\;551\;615}{100}\times 3\,g`$
=...
à continuer :
Ramenez au temps qu'il faudrait pour compter ces grains,
ou pour observer l'évènement, le dernier grains sur la 64ème case est posé.
Avec l'idée de montrer que si la fréquence d'un évènement est trop faible, même si
mathématiquement elle n'est pas nulle, en pratique elle ne s'observera jamais.
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#### [BR-ENT1&2-20] Ce à quoi on est sensible
#### [BR-ENT1&2-30] Probabilité et temps moyen de réalisation
Jeu de 6 cartes (as, 2, 3, 4, 5, 6)
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#### [BR-ENT1&2-40] Pour illustrer le thème de la flèche du temps, croissance de l'entropie
Entropie, l'**exemple classique du verre qui se brise**et ne se reconstitue jamais*.
Exemple que nous suivrons sur les 4 niveaux, tant il y a à développer et dire.
C'est l'exemple type toujours utilisé pour illustrer la notion d'une entropie qui ne
peut que croître. Et tous les exemples sur ce thème le traitent à peu près de la même façon,
alors que c'est vraiment le thème que l'on peut développer du niveau 1 au niveau 4. Il y
a pleins de choses à dire, de complexité et réflexion croissantes, des niveaux 1 à 4.
On va le faire.
##### Première réflexion et modélisation
Premières modélisations, réalisées par un **observateur plus ou moins myope**.
(Idée :
Amener progressivement que la seconde loi de la thermodynamique macroscopique, que
dans un *système isolé*, caractérisé par un grand nombre de configurations équiprobables possibles,
l'entropie (grandeur extensive) ne peut que croître, ne dépend pas du niveau de
précision ou de connaissance dans la description du système.)
##### Parler d'ordre ou de désordre est trompeur
_Pour arriver aux niveaux 3 ou 4 que l'entropie ne mesure pas un "ordre", mais la
probabilité $`P(\Omega_0)`$ d'un état macroscopique $`\Omega_0`$ (caractérisé par des
variables macroscopiques), correspondant à un nombre $`Nb(\Omega_0)`$ de micro-états
$`\omega_{0\,i}`$ de probabilités individuelles $`P(\omega_{0\,i})`$, tels que ...
à construire, progression à mettre au point sur tous les niveaux.
Pour un observateur qui voit le verre en *8 parties* dans un espace isolé de
*20 positions spatiales* :
Chacune des configurations spatiales des "morceaux" est unique et équiprobable
(hypothèse à débattre), les 5 présentées sont équivalentes.
* 3 nous "semblent" désordonnées.
* 1 représente le verre non brisé
* 1 représente une sorte de configutation non reconnaissable, mais semblant "ordonnée".
Comment attribuons-nous une "valeur particulière" à une configuration plutôt qu'à une autre ?
* subjectivité
* configuration macroscopique spatiale permettant une utilité : le verre non brisé
* configuration d'un système macroscopique caractérisé par
des valeurs fixes ou de valeurs d'équilibre de variables macroscopiques.
* un sens peut-être attribué : par exemple décodage d'un message.
("Ceci est un message" est une série de 19 caractères alphanumériques. Si comme
caractère alphanumérique on compte 26 lettres de l'alphabet, 10 chiffres et le blanc, soit
37 caractères alphanumériques, il y a $`26^{19}`$ séries possibles. La probabilité de trouver
un message intelligible si les caractères sont tirés au hasard, est infinitésimale).
* autre ?
Sur le rôle des ... interactions, contraintes physique, ici si on considère que
l'axe verticale est l'altitude. Les morceaux brisées ne sont "pas lancés en l'air",
mais "repose sur le sol".
* 3 configurations ont la même énergie potentielle (hypothèses simplificatrices)
* l'autre configuration est le verre non cassé
##### Combien de configurations ?
Pour un observateur qui voit le verre en *26 parties* dans un espace isolé de
*180 positions spatiales* :
Chacune des configurations spatiales des "morceaux" est unique et équiprobable
(hypothèse à débattre), les 5 présentées sont équivalentes.
* 3 nous "semblent" désordonnées.
* 1 représente en bous le verre non brisé
* 1 représente une sorte de configutation non reconnaissable, mais ordonnée.
Sur le rôle des ... interactions, contraintes physique, ici si on considère que
l'axe verticale est l'altitude. Les morceaux brisées ne sont "pas lancés en l'air",
mais "repose sur le sol".
* 3 configurations ont la même énergie potentielle, presque minimale (hypothèses simplificatrices).
* l'autre configuration est le verre non cassé
Combien de configutations ?
(Idée :
Il y aura des contre-exemples en physique des matériaux au niveau 3 ou 4,
qui montreront que ce terme d'ordre peut être trompeur).
une autre avec un verre réel et l'expression interlinguistique :
[FR] "casser le verre en mille morceaux" ...
[ES] "rompe en mil pedacitos, o ... rompiendo el vidrio en mil pedazos"
[EN] "shattered into a thousand pieces"
1000 morceaux : équivalents des 5 ou 8 morceaux des exemples 2D dessinés
Puis ensuite ...
118 éléments chimiques : : équivalents des 5 ou 8 morceaux des exemples 2D dessinés, ou des milles morceaux.
Montrer, dès ce niveau 0, que le dénombrement dépend de la résolution, mais pas la seconde
loi de la thermo... que ce soit avec des mots de tous les jours à ce niveau 1.
### [BR-ENT1&2-50] On aura besoin de l'hypothèse ergodique
Même si on ne la nomme pas au niveau 1, et peut-être simplement la cité au niveau 2 dans un aparté "au-delà" ?
Dans cette deuxième figure, il faut que je montre qu'entre chaque tirage, la carte
tirée est remise dans le jeu pour le prochain tirage.
Enfin, on précisera tout cela dans les niveaux. Mais déjà ce sera utile si l'internaute
souhaite faire des études statistiques et qu'il n'a qu'un seul jeu de carte...