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!!!! *COURS EN CONSTRUCTION :*
!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com. Ce cours est *en construction*, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade.
!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
### Équilibre électrostatique dans les diélectriques
#### Code des couleurs et des symboles
* Code des couleurs pour les **signes des charges + et -**, pour les *charges libres* et de *charges de polarisation*.
_Figure 1._
#### Qu'est ce qu'un diélectrique?
* **Milieu diélectrique** = milieu ne possédant *pas de charges libres*.
$`\Longrightarrow\:`$ *charges* **liées entre elles**, au sein de leur groupement
neutre (atomique, moléculaire ou cristallin) d'appartenance.
$`\Longrightarrow\:`$ **pas de courant de conduction** : pas de déplacement de charge
possible sur des distances mésoscopiques ou macroscopiques sous l'action d'un champ
extérieur $`\overrightarrow{E_{ext}}`$
$`\Longrightarrow\:`$ **milieu diélectrique** = **milieu isolant électrique**.
* Comme tout milieu matériel, un *milieu diélectrique* **possède des charges liées**.
au sein des groupements neutres constituant le milieu.
$`\Longrightarrow\:`$ **courant de polarisation possible** : par déplacement de
charge sur une infime distance intra-atomique sous l'action d'un champ extérieur.
$`\Longrightarrow\:`$ à l'*équilibre statique*, présence possible de* **dipôles électriques**
= *séparation des centres des charges négatives et positives* au sein de chaque groupement
neutre.
#### Rappel : qu'est-ce qu'un moment dipolaire électrique $`\overrightarrow{p}`$?
* un **vecteur $`\mathbf{\overrightarrow{p}}`$** qui *caractérise un dipôle électrique*.
* **moment dipolaire électrique $`\mathbf{\overrightarrow{p}=+q\cdot \overrightarrow{NP}}`$** : vecteur $`N`$ est le centre de charge de la charge négative $`-q`$ du dipôle, $`P`$ le centre de sa charge positive $`+q`$.
_Figure 2._
* *unité SI* : **$`\mathbf{C\;m}`$**
*unité usuelle* : le **Debye, de symbole D**, avec
$`1D \simeq 3,336\times 10^{-30}\,C\;m`$,
élément de comparaison : **$`\mathbf{1D \simeq 0,39\;e\;a_0}`$**,
avec *$`- e`$ charge de l'électron* ($`e=1,602\times 10^{-19}\,C)`$ et
*$`a_0`$ rayon de Bohr* de l'atome d'hydrogène (distance moyenne entre l'électron
et le proton : $`a_0 =5,3\times 10^{-11}\,m`$).
* *Intérêt de $`\mathbf{\overrightarrow{p}}`$* : le **champ électrique créé** *à grande distance*
(devant sa taille) par un dipôle électrique *s'exprime simplement* en fonction
de $`\overrightarrow{p}`$ :
_Figure 3._
#### Quels sont les phénomènes à l'origine de moments dipolaires ?
**2 types de moments dipolaires** :
* **moment dipolaire électronique** : infime *décalage du centre de charge ( - ) du nuage électronique par rapport au centre de charge ( + ) des protons* au sein de chaque groupement (atomique, moléculaire, cristallin).
* **moment dipolaire atomique** : le *centre de charge des ions négatifs ne coïncide pas avec le centre de charge des ions positifs* au sein d'un groupement moléculaire ou cristallin dépourvus de centre de symétrie.
*ordre de grandeur* : de** 0 à 10 D**, (pour la *molécule d'eau : $`p_{H2O}=1,84\,D= 6,14\times 10^{-30}\,C\,m`$*$`\;,\; d_{O-H}=9,6\times 10^{-11}\;m`$
#### Qu'est-ce que le vecteur polarisation $`\overrightarrow{P}`$?
* Au sein de la matière les **dipoles** sont contenu dans un *volume de dimension atomique*.
* Un **volume mésoscopique** est un volume :
▪ de *taille grande devant l'échelle atomique* caractéristique des entités élémentaires ou des variations des champs induits, afin de définir des *moyennes spatiales pertinentes*.
▪ de *taille quasi-ponctuelle devant l'échelle de description macroscopique* de la matière, de façon que les *moyennes spatiales définies* et mesurées *varient continuement*
_Figure 4 : Volume mésoscopique, contient N entités élémentaires, avec N grand (>10 000)_
* Le **vecteur polarisation $`\mathbf{\overrightarrow{P}}`$** :
▪ caractérise l'*état de polarisation dans chaque volume mésoscopique $`\Delta\tau`$*.
▪ c'est le *vecteur densité de moment dipolaire* :
**$`\mathbf{\displaystyle\overrightarrow{P}=\dfrac{1}{\Delta\tau}\sum_{i\in\Delta\tau}\overrightarrow{p_i}}`$**
* *unité SI* : **$`\mathbf{C\;m^2}`$**
* Au sein d'un diélectrique :
▪ **$`\mathbf{\overrightarrow{P}=\overrightarrow{cst}}`$** $`\Longrightarrow`$ *polarisation uniforme*.
▪ **$`\mathbf{\overrightarrow{P}}`$ varie** continument $`\Longrightarrow`$ *polarisation non uniforme*.
#### En absence d'un champ électrique extérieur, un diélectrique contient-il des dipôles?
* Les groupements atomiques, moléculaires ou cristallins possèdent **souvent des moments dipolaires électriques permanents $`\mathbf{\overrightarrow{p_i}}`$**.
_Figure 5._
#### En absence d'un champ électrique extérieur, un diélectrique est t-il polarisé électriquement ?
* En général, les **dipôles élémentaires** ont **chacun** une **orientation aléatoire**
**$`\mathbf{\Longrightarrow\;\overrightarrow{P}}`$**$`\;=\dfrac{1}{\Delta\tau}\sum_{i\in\Delta\tau}\overrightarrow{p_i}`$**$`\mathbf{\;=\overrightarrow{0}}`$**
_Figure 6._
#### Comment un champ électrique extérieur $`\overrightarrow{E}`$ polarise un diélectrique?
* Un **champ électrique uniforme** à l'échelle d'un dipôle électrique
$`\Longrightarrow\;`$ *couple non nul* qui **tend à orienter le dipôle en direction du champ**.
$`\Longrightarrow\;`$ *force résultante nulle* sur le dipôle.
* L'application d'un **champ électrique extérieur $`\mathbf{\overrightarrow{E_{ext}}}`$** dans un **volume mésoscopique** $`\Delta\tau`$
$`\Longrightarrow\;`$ *création de dipôles* d'orientation moyenne en direction de $`\overrightarrow{E_{ext}}`$
ou $`\Longrightarrow\;`$ *réorientation des dipôles préexistants* vers une direction moyenne selon $`\overrightarrow{E_{ext}}`$
* L'application d'un **champ électrique extérieur stationnaire**
$`\Longrightarrow\;`$ un *transitoire non mesurable*.
$`\Longrightarrow\;`$ établissement d'un **équilibre** où le diélectrique a une **polarisation non nulle**
_Figure 7._
#### Comment un champ électrique $`\overrightarrow{E}`$ dans un diélectrique créé des moments dipolaires électriques $`\overrightarrow{p}`$ ?
*3 processus fondamentaux de polarisation :*
* **Polarisation électronique** :
Le champ électrique induit des moments dipolaires électroniques.
* **Polarisation atomique** :
Le champ électrique induit des moments dipolaires atomiques.
* **Polarisation d'orientation** :
Si le matériau contient des moments dipolaires permanents, mais dont les orientations aléatoires ne présentent aucune direction privilégiée, le matériau est alors non polarisé électriquement $`\vec{P}=0`$. En exerçant un couple sur chaque moment dipolaires permanent, un champ extérieur peut amener les dipôles à s'orienter préférentiellement en direction du champ. Le matériau se polarise ainsi électriquement sous l'effet du champ électrique extérieur.
#### Quel est la relation entre le champ électrique $`\overrightarrow{E}`$ et la polarisation induite $`\overrightarrow{P} ?`$
* La polarisation induite $`\overrightarrow{P}`$ est une fonction de $`\overrightarrow{E}`$ **$`\quad\mathbf{\overrightarrow{P} = \overrightarrow{P}(\overrightarrow{E})}`$**
* Si le **milieu** est **linéaire (L)**
**$`\Longrightarrow\; \mathbf{||\overrightarrow{P}|| \propto ||\overrightarrow{E}||}`$** : les normes des vecteurs $`\overrightarrow{P}`$ et $`\overrightarrow{E}`$ varient proportionnellement. $
* Si le **milieu** est **homogène et isotrope (HI)**
**$`\Longrightarrow\; \mathbf{\overrightarrow{P} // \overrightarrow{E}}`$** : les vecteurs $`\overrightarrow{P}`$ et $`\overrightarrow{E}`$ ont même direction.
* Si le **milieu** est **linéaire, homogène et isotrope (LHI)**
**$`\Longrightarrow\; \mathbf{\overrightarrow{P} \propto \overrightarrow{E}}`$** : les vecteurs $`\overrightarrow{P}`$ et $`\overrightarrow{E}`$ sont proportionnels.
#### Qu'est-ce que la susceptibilité électrique d'un milieu ?
* Pour un **milieu** *homogène, isotrope et linéaire* **(LHI)**, la **susceptibilité électrique** notée **$`\chi`$** est le rapport de proportionnalité entre $`\overrightarrow{P}`$ et $`\epsilon_0\,\overrightarrow{E}`$
$`\chi=\dfrac{\overrightarrow{P}}{\epsilon_0\,\overrightarrow{E}}\,`$**$`\Longrightarrow\;\mathbf{\overrightarrow{P}=\epsilon_0\,\chi\, \overrightarrow{E}}`$**
* *unité SI* : **sans unité** (scalaire pur)
#### Un diélectrique polarisé reste-il neutre dans son volume?
##### La polarisation est uniforme
* *Polarisation uniforme* **$`\Longrightarrow\mathbf{\overrightarrow{P}(\overrightarrow{r})=\overrightarrow{const}}`$**
$`\Longrightarrow`$ pas de variation de $`\overrightarrow{P}`$ d'un volume mésoscopique $`\Delta\tau`$ à un autre.
$`\Longrightarrow`$ pas de variation de $`\overrightarrow{P}`$ si le volume mésoscopique $`\Delta\tau`$ considéré se déplace d'une fraction de sa longueur.
* Pour simplifier, considère le **dipôle électrique moyen** de moment dipolaire **$`\mathbf{\overrightarrow{p} = q^+\;\overrightarrow{d}}`$** dans le diélectrique. Ce dipôle électrique est électriquement **neutre**.
* Dans tout *volume mésoscopique $`\Delta\tau`$*, les **dipôles internes**, situés entièrement à l'intérieur de $`\Delta\tau`$, ont une *charge total nulle*. Les **dipôles frontières**, situés de par et d'autre de la surface frontière de $`\Delta\tau`$, ont l'une de leur charge à l'intérieur de $`\Delta\tau`$ et l'autre à l'extérieur, et sont donc *susceptibles de rompre la neutralité* $`\rho=0`$ caractérisant $`\Delta\tau`$.
_Figure 8._
* *Pour chaque face* de $`\Delta\tau`$, les *dipôles frontières* ont leurs centres **localisés dans un volume $`\mathbf{dS\cdot d\cdot\cos\,\theta}`$** où $`\theta`$ est l'angle que fait l'axe du dipôle avec la normale à la surface.
_Figure 9._
* Pour *deux faces opposées*, une polarisation uniforme implique que statistiquement **autant de charges positives que de charges négatives** *des dipôles frontières* **sont maintenues dans $`\Delta\tau`$**. Ce résultats se généralise sur les 6 faces, le volume **$`\Delta\tau`$ est neutre**.
* **Polarisation uniforme $`\Longrightarrow`$ diélectrique neutre en volume**
**$`\mathbf{\overrightarrow{P}=\overrightarrow{const}`$$`\quad\Longrightarrow\quad\rho=0}`$**.
##### La polarisation est non uniforme
* *Polarisation non uniforme* **$`\Longrightarrow\overrightarrow{P}`$ est fonction de la position $`\overrightarrow{r}`$**
$`\Longrightarrow`$ variation de $`\overrightarrow{P}`$ d'un volume mésoscopique $`\Delta\tau`$ à un autre.
$`\Longrightarrow`$ variation de $`\overrightarrow{P}`$ si le volume mésoscopique $`\Delta\tau`$ considéré se déplace d'une fraction de sa longueur.
* Pour *deux faces opposées* d'un volume cubique mésoscopique :
\- le **nombre de dipôles frontières** dans le volume $`dS\cdot d\cdot\cos\,\theta`$ *peut différer*.
\- à densités de dipôles équivalentes, les **caractéristiques moyennes des dipôles frontières** *peuvent varier* d'une face à l'autre.
$`\Longrightarrow`$ les charges d'un type donné (+ ou -) maintenues dans $`\Delta\tau`$ sur une face ne compensent pas les charges de type opposé maintenues dans $`\Delta\tau`$ sur la face opposée.
_Figures 10 : La répartition des charges, à l'intérieur ou à l'extérieur du volume mésoscopique, des dipôles frontières sur deux faces opposées ne permet pas de garder la neutralité initiale._
_Figure 11 : Les volumes qui contiennent les dipôles frontières ne sont pas égaux, le nombre de dipôles frontières, le dipôles friontière moyen varient d'une face à l'autre._
* **Polarisation non uniforme $`\Longrightarrow`$ une densité volumique de charge non nulle apparait**
**$`\overrightarrow{P}`$ non uniforme $`\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{\rho\ne0}`$**.
* Etudions le flux des charges créé par les dipôles sur $`\Delta S_1`$, l'une des 6 faces de $`\Delta\tau`$. Prenons la surface noté 1 sur les figures suivantes. Le dipôle frontière moyen à cette face s'écrit $`\vec{p_1}=d_1\cdot\vec{d_1}`$ et est présent en densité $`N_1`$. Ces dipôles frontières sont contenus dans le volume $`\delta\tau_1=\Delta S\;d_1\;cos\,\theta_1`$.
* Les dipôles dans la moitié droite de $`\delta\tau_1`$ (voir figure 12) maintiennent leur charge négative $`\Delta Q_{out}^1`$ hors de $`\Delta\tau`$, et l'on a :
$`\Delta Q_{out}^-=q_1^-\;N_1\;\Delta S\;\dfrac{d_1}{2}\;cos\,\theta_1`$.
* Les dipôles dans la moitié gauche de $`\delta\tau_1`$ (voir figure 13) maintiennent leur charge positive $`\Delta Q_{out}^1`$ dans $`\Delta\tau`$, et l'on a :
$`\Delta Q_{out}^+=-\,q_1^+\;N_1\;\Delta S\;\dfrac{d_1}{2}\;cos\,\theta_1`$.
_Figures 12 et 13._
* Le bilan net des charges qui ont quittées $`\Delta\tau`$ sur cette face 1 est :
$`\Delta Q_{out}^+ + \Delta Q_{out}^- = -\,q_1^+\;N_1\;\Delta S\;d_1\;cos\,\theta_1`$.
Cela apparaît égal au produit scalaire $`\vec{P_1}\cdot \vec{dS_1}`$.
(les 6 faces $`dS_i`$ qui forment la frontière du volume $`\Delta\tau`$ ont leurs vacteurs représentatifs $`\vec{dS_i}`$ orientés conventionnellement de l'intérieur vers l'extérieur).
_Figures 14 et 15._
* Ce raisonnement peut se reproduire pour chacune des 5 autres faces du volume $`\Delta\tau`$.
* Le bilan net des charges qui se maintiennent en dehors de $`\Delta\tau`$ s'écrit :
$`\Delta Q_{out}^+ + \Delta Q_{out}^- = \displaystyle\sum_{i=1}^6 {\vec{P_i}\cdot \vec{dS_i}}`$.
Ce bilan somme la charge total de tous les dipôles forntières de $`\Delta\tau`$ maintenue à l'extérieur. La loi de conservation de la charge impose que le volume $`\Delta\tau`$ initialement neutre se charge de la quantité opposée. $`\Delta\tau`$ est donc caractérisé par une densité volumique de charge $`\rho`$ égale à l'opposé de la divergence du vecteur polarisation :
$`\rho=-\,div\,\overrightarrow{P}`$.
_Figures 16 et 17._
* Pour revenir au cas précédent, la divergence d'une polarisation uniforme est nulle. Nous en déduisons un fait et une relation très importante :
**En tout point d'un matériau diélectrique, la densité volumique de charges liées ( de charge de polarisation) $`\mathbf{\rho_{pol}}`$ est égale à la divergence du vecteur polarisation en ce point.**
**$`\mathbf{\rho_{pol}=-\,div\,\overrightarrow{P}}`$**
_Figures 18 et 19._
### Y-at-il une densité surfacique de charge $`\sigma`$ en surface d'un diélectrique de polarisation $`\overrightarrow{P}`$ uniforme ?
* Pour cherche réponse à cette question, modélisons un volume cubique mésoscopique $`\Delta\tau`$ situé dans un matériau polarisé électriquement uniformément, mais à l'interface avec un milieu non polarisable. Nous faisons de plus l'hypothèse que le vecteur polarisation s'annule abruptement à cette interface. les charges liées dans le volume diélectrique $`\Delta\tau`$ ne peuvent sortir du diélectrique.
_Figure 20 : interface abrupte entre un matériau diélectrique polarisé uniformément et un milieu non polarisable._
_Figures 21 et 22._
_Figures 23 et 24._
_Figures 25 et 26._
_Figures 27 et 28._
* Á la *surface d'un diélectrique de polarisation $`\mathbf{\vec{P}}`$* apparaît une
densité surfacique de charges liées, dites
**densité surfacique de charge de polarisation $`\mathbf{\sigma_{pol}}`$** telle que :
**$`\mathbf{\sigma_{pol} = \overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{u}_{surf}}`$**,
où $`\overrightarrow{u}_{surf}`$ est le vecteur unitaire perpendiculaire à la surface et orienté de l'intérieur vers l'extérieur du diélectrique.
#### Que se passe-t-il à l'interface entre un diélectrique et un conducteur?
C'est la cas lorsqu'un **matériau diélectrique** est inséré *entre les plaques d'un condensateur*.
Soit la **surface plane d'un diélectrique en contact avec la surface d'un conducteur** *portant à sa surface une **densité surfacique de charges libres $`\sigma_{lib}`$** (C'est le cas présenté sur la figure 30, pour une densité surfacique de charges libres positives dans le conducteur $`\sigma_{lib}>0`$.
Bien que l'étude des propriétés physiques anistropes soit du niveau supérieur à cause du concept mathématique de tenseur qu'il faut acquériri et maîtriser, nous commencerons par ce cas pour mieux comprendre intuitivement ce qui se passe.
##### Diélectrique anisotrope
* **Diélectrique anisotrope**
$`\Longrightarrow`$ il existe des *directions de plus facile polarisation*.
$`\Longrightarrow`$ Les **dipôles électriques** induits sont orientés autour d'une **direction voisine, mais non parallèle au champ électrique $`\vec{E}`$** créé par la surface chargée du conducteur.
* Le vecteur polarisation $`\vec{P}`$ suit la direction moyenne des moments dipolaires électriques.
**$`\mathbf{\vec{P}}`$** n'est **pas parallèle à $`\mathbf{\vec{E}}`$**
* Une **densité surfacique de charges de polarisation, $`\sigma_{pol}`$, apparaît à l'interface** côté diélectrique telle que :
$`\quad \sigma_{pol} = -\,\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{u}`$,
Le signe - sur la figure vient du fait que le vecteur unitaire $`\overrightarrow{u}`$ perpendiculaire à la surface est orienté vers l'intérieur du diélectrique. (Attention ! le signe - doit être rajouté sur les figures 29 à 32).
* La **densité surfacique totale de charges $`\sigma`$** à l'interface s"écrit maintenant :
**$`\mathbf{\sigma=\sigma_{lib}+\sigma_{pol}}`$**.
_Figure 29._
##### Diélectrique isotrope
Les même phénomènes se réalisent, avec les différences suivantes :
* le moment dipolaire moyen $`\vec{p}`$, le vecteur polarisation $`\vec{P}`$ sont maintenant parallèles à la direction de $`\vec{E}`$.
* le moment dipolaire moyen $`\vec{p}`$, le vecteur polarisation $`\vec{P}`$ sont maintenant parallèles à la direction de $`\vec{E}`$.
_Figure 30._
### Qu'est-ce que le vecteur induction électrique $`\overrightarrow{D}`$ ?
Il est définit par :
* **Vecteur induction $`\overrightarrow{D}`$ : $`\mathbf{\overrightarrow{D}=\epsilon_0\,\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}}`$**
##### Cas d'un diélectrique anisotrope
_Figure 31._
##### Cas d'un diélectrique isotrope
_Figure 32._
### Qu'est-ce que la permittivité relative $`\epsilon_r`$ d'un diélectrique ?
Pour un *milieu linéaire, homogène et isotrope (LHI)* , la **permittivité relative** est le nombre réel
$`\epsilon_r`$ qui vérifie :
**$`\mathbf{\overrightarrow{D}=\epsilon_0\,\epsilon_r\,\overrightarrow{E}}`$**
##### Lien entre permittivité relative et susceptibilité électrique
Pour un *milieu linéaire, homogène et isotrope (LHI)* : $`\overrightarrow{P}=\epsilon_0\,\chi\,\overrightarrow{E}`$
Donc :
$`\overrightarrow{D}=\epsilon_0\,\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}`$
$`\overrightarrow{D}=\epsilon_0\,\overrightarrow{E}+\epsilon_0\,\chi\,\overrightarrow{E}`$
$`\overrightarrow{D}=\epsilon_0\,(1+\chi)\,\overrightarrow{E}`$
$`\overrightarrow{D}=\epsilon_0\,\epsilon_r\,\overrightarrow{E}`$
ce qui donne
**$`\mathbf{\epsilon_r=1+\chi}`$**
#### Que deviens le théorème de Gauss dans un diélectrique ?
##### Le théorème de Gauss en fonction de $`\overrightarrow{E}`$ :
$`div\;\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho_{tot}}{\epsilon_0}`$
avec $`\rho_{tot}=\rho_{lib}+\rho_{pol}`$: densité volumique de charge totale.
Nous précisons cela en écrivant :
**$`\mathbf{div\;\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho_{lib}+\rho_{pol}}{\epsilon_0}}`$**
En remarquant que $`\rho_{pol}=-div\;\overrightarrow{E}`$ je peux réécrire :
$`div\;\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho_{lib}-div\;\overrightarrow{P}}{\epsilon_0}`$
$`\epsilon_0\;div\;\overrightarrow{E}=\rho_{lib}-div\;\overrightarrow{P}`$
$`\epsilon_0\;div\;\overrightarrow{E}+div\;\overrightarrow{P}=\rho_{lib}`$
**$`\mathbf{div\left(\epsilon_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}\right)=\rho_{lib}}`$**
##### Le théorème de Gauss en fonction de $`\overrightarrow{D}`$ :
Identifiant $`\epsilon_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}`$ au vecteur induction électrique $`\overrightarrow{D}`$, le **théorème de Gauss exprimé avec l'induction électrique** s'écrit :
**$`\mathbf{div\;\overrightarrow{D}=\rho_{lib}}`$**
L'avantage de cette expression est que n'apparait seulement que la densité de charges libres, qui ont été amenées par un courant de conduction mesurable.