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title: Définir les outils mathématiques de niveau 4 : proposition 1
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#### Proposition 1

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#### Définir les outils mathématiques requis au niveau 4

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Pour l'instant, juste une **liste de besoins dans une première classification** pour ordonner un peu le brainstorming (numération, géométrie, etc).
Elle **ne présage pas des titres de chapitres*.

Ne présage pas du programme de mathématique, mais **permettra de définir un programme "outils mathématiques et concepts physiques"**, qui sera construit avec les mathématiciens.

Ce thème "Outils mathématiques" sera nécessaire, puisqu'il sera *commun à tous les thèmes des sciences expérimentales*. Lorsqu'un outil ou concept sera utilisé dans le cours d'un thème particulier, il sera toujours possible d'afficher des éléments d'"Outils mathématiques" dans un mode parallèle.

N'hésitez pas à créer une nouvelle classification si nécessaire.

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  NUMERATION ET OPERATIONS
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! *Numération et opérations*



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  ENSEMBLES
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! *Les ensembles*



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  GEOMETRIES ET COORDONNEES
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! *Géométries et coordonnées*

(CME-FR) 

* Coordonnées curvilignes généralisées, et 
* coordonnées non orthogonales, non normées
* *base naturelle* (locale) **$`\overrightarrow{a_i}`$** d'un système de coordonnées $`x^i`$    
$`\overrightarrow{a_i}=\displaystyle\lim_{\delta x^i \rightarrow 0} \dfrac{\delta\overrightarrow{s}}{\delta x^i}`$,    
$`\left(\overrightarrow{e_i}=\dfrac{\overrightarrow{a_i}}{\lVert \overrightarrow{a_i} \rVert}\right)`$
* *base duale* **$`\overrightarrow{a_i^{&#42;}}=\overrightarrow{a^i}`$** 
  * $`\longrightarrow`$ espace de Fourier, cristallographie
  * $`\longrightarrow`$ espaces non euclidien ($`\longrightarrow`$ riemannien $`\longrightarrow`$ relativités)
* coordonnées contravariantes **$`u^i`$** et covariantes **$`u_i`$** d'un vecteur **$`\overrightarrow{u}=u^i\,\overrightarrow{a_i} =u_i\,\overrightarrow{a^i}`$**
  * $`\longrightarrow`$ produit scalaire **$`\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=u^i\,v_j = u_i\,v^j`$**
* invariant local $`ds`$, métrique locale associée à des coordonnées 

à finir

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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  SCALAIRES-VECTEURS-TENSEURS ; ANALYSE VECTORIELLE ET TENSORIELLE
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! *Scalaires-vecteurs-tenseurs ; analyse vectorielle et tensorielle*

(CME-FR)
Défintion du Laplacien vectoriel    
**$`\Delta\overrightarrow{E}=\overrightarrow{grad}(div\,\overrightarrow{E})-\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E})`$**   
et expression en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)


(CME-FR)
* Tenseurs $`t`$ d'ordre $`n`$ (besoin jusqu'à ordre 4, pour l'élasticité et la rigidité en mécanique), dans un espace euclidien et en coordonnées cartésiennes.      
 Si $`\overrightarrow{e_i} \overbrace{\longrightarrow}^^{(a)} \overrightarrow{e_j'}`$ avec $`(a)`$ matrice de passage entre deux bases cartésiennes :   
   * ordre 1 : $`t'=\pm a_i\,t_i`$ ; $`(t')=(a)(t)`$ (attention à la définition de (a)
   * ordre 2 : $`t'=\pm a_i\,a_j\,t_{ij}`$ ; $`(t')=(a)(t)(a)^t`$ (attention à la définition de (a)
   * ordre 3 : $`t'=\pm a_i\,a_j\,a_k\,\,t_{ijk}`$ 
   * ordre 4 : $`t'=\pm a_i\,a_j\,a_k\,a_l\,\,t_{ijkl}`$   
avec signe $`\pm`$ selon tenseur polaire ou axial, et (a) change ou non sens de la base.

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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MATRICES
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! *Matrices*

(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation

* *Calcul d'une matrice inverse*
* *Diagonalisation* d'une matrice carrée
* Calcul des *valeurs et vecteurs propres* d'une matrice carrée
* *Trace* d'une matrice
* *signature* d'une matrice

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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EQUATIONS DIFFERENTIELLES
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RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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<!------------------------------------------------------------------------------
AUTRES
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(XXX-YY)
...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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