--- title : Collection d'éléments de cours : vocabulaire et équations published : true visible : no --- !!!! *ATTENTION* : !!!! Ce contenu n'est pas un cours validé ! !!!! Page non répertoriée ## Collection d'éléments de cours : Concepts, vocabulaire et équations ### Analyse vectorielle #### Vecteur Objects mathématiques avec **3 caractéristiques** : *norme*, *direction* et *sens*. En mécanique, **représentation graphique** dans l'espace tridimensionnel :
- des **sègments de droites** indiquant leur *direction*.
- sègments de droite de **longueur** proportionnelle à leur *norme*.
- par une **flèche** indiquant leur *sens*. #### Signification des vecteurs en mécanique. * Les *vecteurs* peuvent représenter des **grandeurs physiques différentes**.
_exemple : vecteur vitesse du point M, et la force qui s’applique sur le point M._ * Les *normes* de vecteurs correspondant à des grandeurs physiques différentes _(exemple : vitesse et force)_ s’expriment dans des **unités différentes** _(respectivement : $`m.s^{-1}`$ et $`N`$)_. Elles *ne peuvent pas être comparées*. #### Vecteurs colinéaires et non colinéaires * Deux **vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** sont **colinéaires** s’ils ont la *même direction* :
Il existe alors un nombre réel $`\alpha`$ tel que l’on peut écrire $`\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$
" $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont colinéaires" $`\Longleftrightarrow \exists \alpha\in\mathbb{R}\quad\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$ * Deux **vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** sont **non colinéaires** s’ils ont des *directions différentes*. Pour tout nombre réel $`\alpha`$ on peut écrire $`\overrightarrow{A}\ne\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$. * "$`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont non colinéaires" $`\Longleftrightarrow \forall\; \alpha\in\mathbb{R}`$$`\quad\overrightarrow{A}\ne\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$ #### Base vectorielle ##### Dans un plan $`\mathcal{P}`$ * Définition :
**2 vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ appartenant à un plan $`\mathcal{P}`$, non nuls, non colinéaires et ordonnés** dans une suite $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ forment une *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de ce plan. * Propriété :
Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ est une base d'un plan $`\mathcal{P}`$, alors tout *vecteur $`\vec{V}`$* de $`\mathcal{P}`$ se décompose de *façon unique* en une **combinaison linéaire** *des vecteurs de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$. * Écriture mathématique :
"$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})`$ est une base de $`\mathcal{P}`$" $`\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2`$$`\quad \overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}`$ ##### Dans un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$ * **n vecteurs ordonnés** dans un *n-upplet $`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$* forment une **base** d'un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$, si *tout vecteur $`\vec{V}`$* de cet espace $`\mathcal{E}`$ se décompose de *façon unique* en une *combinaison linéaire* des vecteurs $`\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n}`$. * "$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base de $`\mathcal{E}`$"$` \quad\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{E}`$$`\quad\exists ! (\alpha_1,\alpha_1,...;\alpha_1)\in\mathbb{R}^n`$$`\quad \overrightarrow{V}=\alpha_1\cdot\overrightarrow{e_1}+\alpha_2\cdot\overrightarrow{e_2}+...+\alpha_n\cdot\overrightarrow{e_n}`$ #### Systèmes de coordonnées / Repère de l’espace * En mécanique classique, **temps et espace** ne sont *pas couplés*. * *Dans l’espace*, la *position d’un point M* est repérée à partir d’un **point O origine** de l’espace par le **vecteur $`\vec{OM}`$** . * L’*espace classique de Newton* a **3 dimensions**. Cela signifie que, à partir de l’origine O de l’espace, la position de tout point M peut-être définie de façon unique par **3 nombres réels**, appelés ** coordonnées** (ou coordonnées spatiales) du point M. * Il y a *plusieurs façons possible de définir les coordonnées spatiales* : On parle de **systèmes de coordonnées**. ![](general-coordinates-systems.jpg)
_Exemples de systèmes de coordonnées._ #### Caractéristiques d’une base / d’un repère ##### Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ / repère normé $`(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ * Les vecteurs de la base ou du repère sont de **norme unité**. * $`||\overrightarrow{a}||=1\; ; \;||\overrightarrow{b}||=1\; ; \;||\overrightarrow{c}||=1`$ . ##### Base orthogonale $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ / repère orthogonal $`(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ * Les vecteurs de la base ou du repère sont **orthogonaux 2 à 2**. * $`\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\; ; \;\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c}\; ; \;\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}`$. ##### Base orthonormée $`(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ / repère orthonormé $`(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ * orthonormé = **ortho**+*normé* :
\- ortho : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \vec{e_i}\perp\vec{e_j}`$.
\- normé : $`\forall \vec{e_i} \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\} \quad ||\vec{e_i}||=1`$. * orthonormé : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \overrightarrow{e_i}\cdot\overrightarrow{e_j}=\delta_{i\,j}`$
avec le **symbole e Kronecker $`\delta_{i\,j}`$** défini par :
$`\delta_{i\,j}=1`$ si $`i=j\quad`$ et $`\quad\delta_{i\,j}=0`$ si $`i \ne j`$ #### Règle d'orientation de l'espace. * Deux vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ unitaires et non colinéaires forment une base normée $`(\vec{a},\vec{b})`$ d'un plan dans l'espace. * Cette base $`(\vec{a},\vec{b})`$ peut être complétée par un troisième vecteur $`\vec{c}`$, unitaire et perpendiculaire à $`\vec{a}`$ et à $`\vec{b}`$, pour former une base orthonormée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ de l'espace. * * d'un repère orthonormé $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ de l'espace définissent un plan $`\mathcal{P}`$. Le troisdème vecteur $`\vec{c}`$, perpendiculaire à la fois aux vecteurs $`(\vec{a}`$ et $`(\vec{b}`$, possède **une direction** donnée par la *droite normale (perpendiculaire) au plan $`\mathcal{P}`$*. mais il y a **deux sens possibles** pour ce vecteur $`(\vec{c}`$. * Un vecteur $`(\vec{c}`$ perpendiculaire à la fois aux vecteurs $`(\vec{a}`$ et $`(\vec{b}`$ possède **une direction** la *droite normale (perpendiculaire) au plan $`\mathcal{P}`$*, mais il y a **deux sens possibles** pour ce vecteur $`(\vec{c}`$. * Ces deux sens possibles sont distingués par une *règle d’orientation de l’espace* : la **règle des 3 doigts de la main droite** : ![](physics-mechanics-space-orientation-right-hand-rule-direction_L1200_horiz_vert.jpg) * #### Repère orthonormé direct / indirect --------- #### Produit scalaire de 2 vecteurs / Norme d’un vecteur ##### Définition générale, valable dans une base quelconque ##### Norme d’un vecteur unitaire ##### Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires ##### Produit scalaire de 2 vecteurs orthogonaux ##### Caractéristiques des vecteurs de base d’une base orthonormée * Les vecteurs sont unitaires (de norme unité), donc : * Les vecteurs sont orthogonaux 2 à 2, donc : ##### Produit scalaire de 2 vecteurs dans une base orthonormée ##### Norme d’un vecteur dans une base orthonormée ##### Calcul de l’angle entre 2 vecteurs dans une base orthonormée #### Produit vectoriel de 2 vecteurs ##### Produit vectoriel de 2 vecteurs dans une base quelconque ##### Produit vectoriel de 2 vecteurs dans une base orthonormée #### Produit mixte de 3 vecteurs ##### Produit mixte de 2 vecteurs dans une base quelconque ##### Produit mixte de 2 vecteurs dans une base orthonormée #### Dérivée d’un vecteur par rapport au temps FR - Localiser un point dans l’espace tridimensionnel : une origine $`O`$, et trois axes $`Ox`$, $`Oy`$ et $`Oz`$ se coupant en O.
L’ensemble constitue le repère, notation $`(O,x,y,z)`$ Repère orthogonal : les axes sont deux à deux orthogonaux : $`Ox\perp Oy`$, $`Ox\perp Oz`$ et $`Oy\perp Oz`$. #### base, repère de l'espace * base de l'espace * base orthonormée * repère cartésien de l'espace #### vector / vecteur / vector (http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04) FR - vecteur, représentation graphique #### addition et soustraction de vecteurs (vers la statique, que nous ne faisons pas) #### produit scalaire de 2 vecteurs #### produit vectoriel de deux vecteurs #### produit mixte #### Différentielle d'un vecteur * rappel sur la différentielle d'une fonction * différentielle d'un vecteur #### dérivée d'un vecteur par rapport au temps #### Différentielle et dérivée d'un vecteur unitaire #### Homegénéïté des relations vectorielles #### ### Différentielle d'un vecteur ###