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title: Les relativités niveau 3
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    - slug: relativity-linear-3
      order: 1
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### Relativistic mechanics (n3) : Collect of course items


--------------------------------------

!!!! *Recopilar elementos de cursos / Collecte d'éléments de cours / Collecting course items*
!!!! 
!!!! No publique, no haga visible.<br>
!!!! Ne pas publier, ne pas rendre visible.<br>
!!!! Do not publish, do not make visible.<br>


#### Informaciónes / Informations


 <details markdown=1>
 <summary>
 ¿Qué es un elemento del curso?<br>
 </summary>
* Este es un **componente básico** para crear un curso, que incluye :<br>
 * una o unas *frases estándar muy cortas*.
 * las *palabras clave* del vocabulario científico y técnico.
 * las *ecuaciones matemáticas*

* Se realiza **en los 3 idiomas [ES] [FR] [EN]** para:
 * Identificar el *vocabulario equivalente* en cada idioma.
 * Identificar *diferencias culturales*, especialmente en escritura matemática
 (ejemplo: $`\wedge`$ o $`\times`$)
 
* Su **rol** :
 * permitirá construir el *curso* eligiendo una *serie de elementos básicos*.
 * *redacción final libre* en cada idioma dentro de cada elemento central.
 * *se puede repetir en varios cursos*.

* **Ventajas** :
 * permite *cursos muy similares* en los 3 idiomas, que se pueden mostrar en paralelo.
 * *sin traducción palabra por palabra*.
 * permite mantener *ejemplos y expresiones lingüísticas específicas de cada cultura*.
</details>

 <details markdown=1>
 <summary>
 Qu'est-ce qu'un élement de cours? 
 </summary>
* C'est un **élément de base** pour construire un cours, comprenant :<br>
 * une ou quelques *phrases très courtes, standards*.
 * les *mots clés* du vocabulaire scientifique et technique.
 * les *équations mathématique*

* Il est **réalisé dans les 3 langues [ES] [FR] [EN]** pour :
 * Identifier le *vocabulaire équivalent* dans chaque langue.
 * Identifier les *différences culturelles*, notamment dans l'écriture mathématique<br>
 (exemple : $`\wedge`$ ou $`\times`$)
 
* Son **rôle** : 
 * permettra de construire le *cours* en choisissant une *suite d'éléments de base*.
 * *rédaction finale libre* dans chaque langue au sein de chaque élément de base.
 * *peut être repris dans plusieurs cours*.

* **Avantages** : 
 * permet des *cours très proches* dans les 3 langues, pouvant être affichés en parallèle.
 * *pas de traduction mot-à-mot*.
 * permet de garder *exemples et expressions linguistiques propres à chaque culture*.
</details>

 <details markdown=1>
 <summary>
 What is a course item?
 </summary>

 * This is a **basic block** to build a course, including: <br>
  * one or a few *very short, standard sentences*.
  * the *key words* of the scientific and technical vocabulary.
  * the *mathematical equations*

* It is **realized in the 3 languages [ES] [FR] [EN]** to:
  * Identify the *equivalent vocabulary* in each language.
  * Identify *cultural differences*, especially in mathematical writing <br>
  (example: $`\wedge`$ or $`\times`$)
 
* His **role** :
  * will allow the *course* to be built by choosing a *series of basic elements*.
  * *free final writing* in each language within each core element.
  * *can be repeated in several courses*.

* **Advantages** :
  * allows *very similar courses* in the 3 languages, which can be displayed in parallel.
  * *no word-for-word translation*.
  * allows to keep *examples and linguistic expressions specific to each culture*.
</details>

------------------

<details markdown=1>
<summary>
¿Cómo contribuir ?<br>
</summary>
* Directamente en el **GitLab M3P2 con su nombre de usuario / contraseña**, haciendo clic en Mejorar este curso
 al final de esta página.
* En el **documento de googledoc** : se especificará.<br>
</details>

<details markdown=1>
<summary>
Comment contribuer ?<br>
</summary>
* Directement sur le **GitLab M3P2 avec votre login / password**, en cliquant sur Améliorer ce cours
 à la fin de cette page.
* Sur le **document googledoc** : à préciser.<br>
</details>

<details markdown=1>
<summary>
How to contribute ? <br>
</summary>
* Directly on ** GitLab M3P2 with your login / password **, by clicking on "Improve this course"
  at the end of this page.
* On the **googledoc document**: to be specified. <br>
</details>

-----------------

<details markdown=1>
<summary>
Depositar un nuevo elemento de curso
</summary>

* **Estructura del elemento a reproducir :**<br>
<br>
Comience escribiendo el código numerado que especifica el tema, aquí :<br>
*RELAT-SPE-xxx* <br>
 (dar un *número entero xxx no presente*, un número que sigue a los números presentes o un número intermedio según la lógica de la progresión educativa).<br>
 
 Por nivel n <br>
 (*indique el nivel n = 1, 2, 3 o 4* donde se encuentra su elemento del curso).<br>
 
 * (YYY): *3 iniciales* para identificarse.
 
 * *Comentario* (no obligatorio)
 
 *[ES] + el texto en su idioma*, o *su traducción automática si es posible* en las otras, especificando (auto-tra).
 
* *[LL] (YYY) + las ecuaciones* que usas.
</details>

<details markdown=1>
<summary>
Déposer un nouvel élément de cours
</summary>
* **Struture de l'élément** à reproduire :<br>
<br>
Commencer par écrire le code numéroté qui précise le thème, ici :<br>
*RELAT-SPE-xxx* <br>
 (donner un *nombre entier xxx non déjà présent*, un nombre à la suite des nombres présents ou un nombre intercalaire selon la logique de la progression pédagogique)<br>
 <br>
Pour le niveau n  <br>
 (*indiquer le niveau n=1, 2, 3 ou 4* ou se situe votre élément de cours)<br>
 <br>
 *(YYY) : 3 initiales* pour t'identifier. <br>
 <br>
*commentaire* (non obligatoire).<br>
 <br>
*[FR] + le texte dans votre langue* ; ou *sa traduction automatique si possible* dans les autres, en précisant (auto-tra). <br>
 <br>
* *[LL] (YYY) + les équations* que vous utilisez.<br>
</details>

<details markdown=1>
<summary>
Submit a new course item
</summary>
* **Structure of the item** to reproduce : <br>
<br>
Start by writing the numbered code that specifies the theme, here : <br>
*RELAT-SPE-xxx* <br>
  (give an *whole number xxx not already present*, a number following the numbers present or an intermediate number according to the logic of the educational progression) <br>
  <br>
  For level n  <br>
  (*indicate level n = 1, 2, 3 or 4* where your course item is located) <br>
  <br>
  *(YYY): 3 initials* to identify you. <br>
  <br>
*comment* (not required). <br>
  <br>
*[EN] + the text in your language*; or *its automatic translation if possible* in the others, specifying (auto-tra). <br>
  <br>
* *[LL] (YYY) + the equations* you use. <br>
</details>

----------------------

<details markdown=1>
  <summary>
 Mejorar, completar, corregir un elemento del curso existente
  </summary>
* Simplemente **dentro del elemento** del curso, escriba **su contribución comenzando con (YYY-LL)**, con: <br>
YYY sus 3 iniciales, y LL su idioma (ES, FR o EN).
<br>
Si solo corrige el texto de una traducción automática en su idioma nativo,
recuerde reemplazar (auto-tra) con sus iniciales (YYY).
</details>

<details markdown=1>
  <summary>
  Améliorer, compléter, corriger un élément de cours existant
  </summary>
 * Simplement **à l'intérieur de l'élément** de cours, écrire **votre contribution en commençant par (YYY-LL)**, avec :<br>
YYY vos 3 initiales, et LL votre langue (ES, FR ou EN).
<br>
Si vous corrigez simplement le texte d'une traduction automatique dans votre langue natale,
pensez à remplacer (auto-tra) par vos initiales (YYY).
</details>
  
<details markdown = 1>
   <summary>
   Improve, complete, correct an existing course item
   </summary>
  * Simply **inside the course item**, write **your contribution starting with (YYY-LL)**, with : <br>
YYY your 3 initials, and LL your language (ES, FR or EN).
<br>
If you just correct in your native language the text of an automatic translation, 
remember to replace (auto-tra) with your initials (YYY).
</details>

  
---------------------------------------------------------------------------------

### Point mechanics


#### Fundamentals

*RELAT-SPE-010* :    
[ES] Un espacio-tiempo
[FR] Un espace-temps
[EN] A space-time   

----------------------------

*RELAT-SPE-020* :    
[ES] Un espacio-tiempo minkowskien cuatridimensional  
[FR] Un espace-temps de Minkowski de dimension 4
[EN] A Minkowski's 4-dimensional space-time

minkowskien = pseudo-euclidien

----------------------------

*RELAT-SPE-030* :    
[ES] Coordenadas cartesianas 
[FR] Coordonnées cartésiennes
[EN] Cartesian coordinates  

(cartésiennes? ou pseudo-cartésiennes ?)

----------------------------

*RELAT-SPE-040* :   
[ES] Sistema de referencia
[FR] Référentiel
[EN] Reference frame

----------------------------

*RELAT-SPE-050* :   
[ES] Sistema de referencia galileano 
[FR] Référentiel galiléen
[EN] Galilean reference frame

[FR] Référentiel d'inertie $`\equiv`$ référentiel galiléen.

**Référentiel d'inertie** : référentiel dans lequel tout *corps libre* est au *repos ou*
animé d'un *mouvement rectiligne uniforme*.


-------------------------

*RELAT-SPE-060.5* :    
[ES] transformación de Lorentz   
[FR] transformation de Lorentz   
[EN] Lorentz's transformations   

<!-------------------------------------
Soient $`\mathcal{R}`$ un référentiel Galiléen, et $`\mathcal{R}'`$ un référentiel
en mouvement de translation rectiligne et uniforme de vitesse
$`\overrightarrow{V}_{\mathcal{R}' / \mathcal{R}}=\overrightarrow{V}`$
par rapport à $`\mathcal{R}`$ :
--------------------------------------->

Soit $`\mathcal{R}`$ un référentiel d'inertie.
Soit $`\mathcal{R}'`$ un autre référentiel d'inertie en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à $`\mathcal{R}'`$
avec la vitesse $`\overrightarrow{V}`$ par rapport à $`\mathcal{R}`$ :   
$`\overrightarrow{V}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}} = \overrightarrow{V} = -\overrightarrow{V}_{\mathcal{R}/\mathcal{R}'}`$



<!--(CME-FR : commentaire----------------------------
Il me semble que soit on écrit de prime abord les référentiels sous la forme :    
$`\mathcal{R}(O,x,y,z,t)`$ et $`\mathcal{R'}(O',x',y',z',t')`$
ce qui résulte d'un contenu pédagogique précédent, où l'on sait en particulier que $`(O,x,y,z,t)`$ et $`(O,x,y,z,t)`$
sont des systèmes d'axes cartésiens fixes chacun dans son référentiel,
soit on cite les référentiels $`\mathcal{R}`$ et $`\mathcal{R'}`$, pour ensuite leur choisir des systèmes d'axes cartésiens fixes 
et retrouver les expressions $`\mathcal{R}(O,x,y,z,t)`$ et $`\mathcal{R'}(O',x',y',z',t')`$.   
Vous en pensez quoi?
(xxx-YY) :
...
------------------------------------------------------>

<!--L'espace-temps étant homogène et isotrope-->
Choisissons pour $`\mathcal{R}`$  et $`\mathcal{R}'`$ :   
\- une même unité de temps donnée par deux horloges identiques, chacune au repos dans son référentiel.
\- une même unité de longueur, donnée par deux étalons rigides identiques, chacun immobile dans son référentiel.

Assignons à chaque référentiel un système spatial d'axes cartésiens qui lui est fixe,   
\- $`(O,x,y,z)`$ pour $`\mathcal{R}`$   
\- $`(O',x',y',y')`$ pour $`\mathcal{R}'`$   
un axe temporel,   
\- $`t`$ pour $`\mathcal{R}`$   
\- $`t'`$ pour $`\mathcal{R}'`$     
tels que, afin uniquement de faciliter les calculs,   
\- la direction et le sens des axes $`Ox`$ et $`O'x'`$ soit celle du mouvement de $`\mathcal{R}'`$ par rapport à $`\mathcal{R}`$      
\- les origines des axes $`O`$ et $`O'`$ coïncident aux origines des temps des deux référentiels :    
$`O=O'\quad\Longleftrightarrow\quad t=t'=0`$


*RELAT-SPE-060.10* : 
(CME-FR)

Soit $`M`$ un point quelconque de l'espace, de coordonnées cartésiennes $`(x,y,z)`$ dans $`\mathcal{R}`$.

La transformation de Lorentz est la loi de transformation des coordonnées de tout point $`M`$ entre $`\mathcal{R}`$ et $`\mathcal{R}`$ :

$`\left\{\begin{array}{l}
t'=\dfrac{t-\dfrac{Vx}{c^2}}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}} \\
x'=\dfrac{x-Vt}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}} \\
y'=y\\   
z'=z 
\end{array}\right.`$

*RELAT-SPE-060.15* : 
(CME-FR)
<!--(CME-FR : commentaire----------------------------
Le facteur de Lorentz aura été largement introduit dans les niveaux 1 et 2.
Nous pourrions le réutiliser ici plus directement
----------------------------------------------------->

Soit $`M`$ un point quelconque de l'espace, de coordonnées cartésiennes $`(x,y,z)`$ dans $`\mathcal{R}`$.

La transformation de Lorentz est la loi de transformation des coordonnées de tout point $`M`$ entre $`\mathcal{R}`$ et $`\mathcal{R}`$.   
Exprimée en fonction du facteur de Lorentz $`\gamma`$, elle s'écrit :

$`\left\{\begin{array}{l}
t'=\gamma\;\left(t-\dfrac{Vx}{c^2}\right) \\
x'=\gamma\;\left(x-Vt)\right) \\
y'=y\\   
z'=z 
\end{array}\right.`$

avec $`\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}}=\left(1-\dfrac{V^2}{c^2}\right)^{-1/2}`$


<!---------------------------

Soit $`\mathcal{R}=(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ un référentiel Galiléen

Soit $`M`$ un point quelconque de l'espace, de coordonnées cartésiennes $`(x,y,z)`$ dans $`\mathcal{R}`$ :   
$`\overrightarrow{OM}(t)=x(t)\;\overrightarrow{e_x} + y(t)\;\overrightarrow{e_x} + z(t)\;\overrightarrow{e_x}`$

Soit $`\mathcal{R}'=(O', \overrightarrow{e_x'},\overrightarrow{e_y'},\overrightarrow{e_z'},t')`$  
un référentiel en mouvement de translation rectiligne uniforme de vitesse
$`\overrightarrow{V}`$ par rapport à $`\mathcal{R}`$ :   
$`\overrightarrow{V}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}} = \overrightarrow{V} = -\overrightarrow{V}_{\mathcal{R}/\mathcal{R}'}`$

Choisissons le repère cartésien fixe $`(O',\overrightarrow{e_x '},\overrightarrow{e_y '},\overrightarrow{e_z '},t')`$ de $`\mathcal{R}'`$ 
tel que :   
\_ les points origines $`O`$ et $`O'`$ soient confondus à l'origine des temps   
\- une même unité de mesure des longueurs pour $`\mathcal{R}`$  et $`\mathcal{R}'`$   
\- les vecteurs de base $`(\overrightarrow{e_x '},\overrightarrow{e_y '},\overrightarrow{e_z})`$ tels que    
$`\quad\overrightarrow{e_x'}=\overrightarrow{e_x}\;\;,\;\;\overrightarrow{e_y'}=\overrightarrow{e_y}\;\;,\;\;\overrightarrow{e_z'}=\overrightarrow{e_z}`$.

------------------------------------>

--------------------------------------------------------------

*CLAPTMEC-FU-070* :   
[ES] teorema de la suma de velocidades    
[FR] théorème d'addition des vitesses    
[EN] theorem of addition of velocities    


$`\left\{\begin{array}{l}
dt'=dt \\
\\
\dfrac{dx'}{dt'}=\dfrac{dx}{dt}-V_x \\
\\
\dfrac{dy'}{dt'}=\dfrac{dy}{dt}-V_y \\ 
\\
\dfrac{dz'}{dt'}=\dfrac{dz}{dt}-V_z 
\end{array}
\right.`$
$`\quad\Longrightarrow\quad`$
$`\left\{\begin{array}{l}
v_x'=v_x-V_x \\
v_y'=v_y-V_y \\
v_z'=v_z-V_z \\
\end{array}
\right.`$


$`\overrightarrow{v}_{M / \mathcal{R'}} = \overrightarrow{v}_{M / \mathcal{R}}-\overrightarrow{v}_{\mathcal{R'} / \mathcal{R}}`$

$`\overrightarrow{v}_{M / \mathcal{R'}} = \overrightarrow{v}_{M / \mathcal{R}}+\overrightarrow{v}_{\mathcal{R} / \mathcal{R'}}`$



*RELAT-SPE-080* :    
[ES] teorema de la invariancia de aceleraciones    
[FR] théorème de l'invariance des accélérations    
[EN] theorem of the invariance of accelerations    






#### Cinematics

... / ...


#### Dynamics

... / ...




#### Relativité restreinte

-------------------------

##### 100 - Référentiel d'inertie (ou référentiel galiléen)

--------------------------

*RELAT-SPE-200* corps libre

(CME-FR)

[ES] (auto-trad.)

[FR] Corps qui n'est soumis à aucune interaction, i.e. sur lequel ne s'exerce aucune force.

!!!! *Attention : un corps soumis à un ensemble de forces dont la résultante est nulle 
!!!! n'est pas un corps libre.

!! *Pour aller plus loin: c'est une idéalisation. À développer ...

[EN] (auto-trad.)

--------------------------

*RELAT-SPE-210* mouvement rectiligne uniforme

(CME-FR)

[ES] (auto-trad.)

[FR]    
(n2) Un mouvement rectiligne uniforme est le mouvement d'un corps dont dont la trajectoire
est une droite (= rectiligne) parcourue dans un sens donné et dont la vitesse ne dépend pas du temmps.   
(n3) Un **mouvement rectiligne uniforme** est le mouvement d'un corps dont le
*vecteur vitesse instantanée* *$`\overrightarrow{v}(t)`$* est *indépendant du temps* :   
**$`\overrightarrow{v}(t)=\overrightarrow{cst}`$**

[EN] (auto-trad.)

--------------------------

*RELAT-SPE-220* référentiel d'inertie

[FR] Référentiel d'inertie $`\equiv`$ référentiel galiléen.

**Référentiel d'inertie** : référentiel dans lequel tout *corps libre* est au *repos ou*
soit animé d'un *mouvement rectiligne uniforme*.


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##### 100 - Transformation des coordonnées entre deux référentiels d'inertie


*RELAT-SPE-100* : Transformations de Lorentz

*RELAT-SPE-100.1* :