--- title: Definir las herramientas matemáticas de nivel 3 : proposición 1 published: true routable: true visible: false lessons: - slug: define-234-mathematical-tools-p1 order: 2 --- $`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$ $`\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}`$ -------------------------------------------------------- #### Proposición 1 -------------------------------------------------------- #### Definir las herramientas matemáticas necesarias para el nivel 3 -------------------------------------------------------- con una **primera clasificación para ordenar** la lluvia de ideas (nconteo, geometría, etc.). *No presagia títulos de capítulo*. No dude en crear una nueva clasificación si es necesario. ------------------------------------------------------------- Las *herramientas matemáticas de los niveles 1 y 2* **$`+`$** : ! *Numeración, operaciones y funciones comunes * (CME-FR) Buen dominio, con ejercicios de automatización. * número imaginario **$`i`$** Conjunto de los números imaginarios puros *$`\mathbb{I}`$* : **$`c=i\,b`$** Conjunto de los números complejos $`\mathbb{C}`$ : **$`c=a+i\,b= |c|\,e^{\,i\,\theta}`$**, con **$`|c|=\sqrt{a^2 + b^2}`$** y **$`\theta\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)`$** **$`c=a+i\,b= \mathcal{Re}(c)+i\,\mathcal{Im}(c)`$** * función potencia $`y^x`$ * funcion exponencial **$`e^x`$** Euler **$`e^{\,i\theta}=\cos\theta+ i\sin\theta`$** **$`\cos\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}+e^{\,-i\theta}}{2}`$** ** $`\sin\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}-e^{\,-i\theta}}{2i}`$** * **$`e^0=1 \quad , \quad`$** **$`e^{\,i\frac{\pi}{2}}=i\quad , \quad`$** **$`e^{\,i\pi}=-1\quad , \quad`$**, ... * función logaritmo **$`log_p\,x`$** propiedades de la función de registro, incluyendo la transformación de un producto en una suma : **$`log_p\,xy=log_p\,x+log_p\,y`$** función logaritmo **$`log_{10}\,x`$** en relación con la función potencia $`10^x`$ función logaritmo natural **$`Log\,x=ln\,x`$** en relación con $`exp(x)=e^x`$ * notaciones reales y notación compleja : **$`\overrightarrow{U}=U_0\,\cos(k\,x-\omega t+\varphi)\overrightarrow{e}`$** **$`\overrightarrow{\underline{U}}=U_0\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t+\varphi)}\overrightarrow{e}`$** **$`\;=\underline{U_0}\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t)}\overrightarrow{e}`$** **$`\overrightarrow{U}=\mathcal{Re}(\overrightarrow{\underline{U}})`$** RESPONDER / COMENTAR : (XXX'-YY') ... --------------------- (XXX-YY) ... RESPONDER / COMENTAR : (XXX'-YY') ... ------------------ ! *Conjuntos y lógica* por hacer RESPONDER / COMENTAR : (XXX'-YY') ... --------------------- (XXX-YY) ... RESPONDER / COMENTAR : (XXX'-YY') ... ------------------ ! *Geometría y coordenadas* (CME-FR) Buen dominio, con ejercicios de automatización. * Regla de *orientación del espacio* Sistemas de coordenadas, bases y r??? *directos o indirectos* * *Coordenadas, bases vectoriales y ??? asociados* Bases y ???, *ortogonales, normalizadas, ortonormales, directos e indirectos* * *Coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas* * con *??? y bases asociadas* * *elementos infinitesimales* de longitud, área, volumen * expresiones de *operadores **$`\overrightarrow{grad}`$**, **$`div`$** et **$`\overrightarrow{rot}`$** * *matriz de cambio de base ortonormal directo*: * $`\overrightarrow{e_i}\longrightarrow \overrightarrow{e_j}'`$ : $`(a)`$ * $`\overrightarrow{e_j}'\longrightarrow \overrightarrow{e_i}'`$ : **$`(a')=(a)^t = (a)^{-1}`$** RESPONDER / COMENTAR : (XXX'-YY') ... --------------------- (XXX-YY) ... RESPONDER / COMENTAR : (XXX'-YY') ... ------------------ ! *Vectores y operadores, análisis de vectores* (CME-FR) Buen dominio, con ejercicios de automatización. *En una base euclidiana (3D)*: * Producto escalar **$`\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}`$** (notation $`\wedge`$ ou $`\times`$ ) * Producto vectorial **$`\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}`$** (notation $`\wedge`$ ou $`\times`$ ) * Producto mixto **$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})`$** * Operadores **$`\overrightarrow{grad}`$**, **$`div`$** y **$`\overrightarrow{rot}`$** (notación $`\overrightarrow{rot}`$ ou $`\overrightarrow{curl}`$ ) y notación con nabla (coordenadas cartesianas) : **$`\overrightarrow{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial}{\partial y} \overrightarrow{e_y}\dfrac{\partial}{\partial z}\overrightarrow{e_z}`$** * Operador escalar laplaciano (coordenadas cartesianas) **$`\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}`$** **$`\;=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{\nabla}`$** * Operador escalar de Alembert (coordenadas cartesianas) * **$`\Box=\Delta-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\delta^2}{\delta t^2}`$** (para las ondas) * **$`\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{grad}\,V)=0`$**, en relación con $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}=0\quad\Longrightarrow\quad \exists V\;,\;\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\,V`$ * **$`div\,(\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{A}) =0`$**, en relación con $`div\,\overrightarrow{B}=0 \quad\Longrightarrow\quad \exists \overrightarrow{A}\;,\;\overrightarrow{B}=\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{A}`$ RESPONDER / COMENTAR : (XXX'-YY') ... --------------------- (XXX-YY) ... RESPONDER / COMENTAR : (XXX'-YY') ... ------------------ ! *Matrices* (CME-FR) Buen dominio, con ejercicios de automatización. * Matrices $`(n,m)`$ : **$`\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix}`$** * Suma de matrices **$`(n,m) + (n,m)`$** * Producto de matrices **$`(n,m)\cdot (m,p) dot`$** * Matriz transpuesta de una matriz cuadrada * Cálculo matricial * Determinante de una matriz cuadrada: **$`\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}`$** RESPONDER / COMENTAR : (XXX'-YY') ... --------------------- (XXX-YY) ... RESPONDER / COMENTAR : (XXX'-YY') ... ------------------ ! *Funciones - Cálculo diferencial e integral* (CME-FR) * Pasaje de la notación $`f'(x_0)`$ a **$`\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x_0}`$** Pasaje de la notación $`f'(x)`$ a **$`\dfrac{df}{dx}`$** ... de $`f^{(n)}(x_0)`$ a **$`\left.\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}\right|_{x_0}`$** de $`f^{(n)}(x)`$ a **$`\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}`$** * función derivada y función primitiva. * integral simple * indefinida **$`\displaystyle\int f(x)\,dx`$** * definida **$`\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx`$** * integral múltiple (variables independientes) * **$`\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy`$** * **$`\displaystyle\iiint f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz`$** * diferencia entre : * **$`\displaystyle\int f(x)\,dx`$** et **$`\oint f(x)\,dx`$** * **$`\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy`$** et **$`\oiint f(x,y)\,dx\,dy`$** RESPONDER / COMENTAR : (XXX'-YY') ... --------------------- (XXX-YY) ... RESPONDER / COMENTAR : (XXX'-YY') ... ------------------ ! *Ecuaciones* (CME-FR) *Resolución de sistemas de ecuaciones lineales* por *método de la Matriz* RESPONDER / COMENTAR : (XXX'-YY') ... --------------------- (XXX-YY) ... RESPONDER / COMENTAR : (XXX'-YY') ... ------------------ ! Ecuaciones diferenciales* * por hacer RESPONDER / COMENTAR : (XXX'-YY') ... --------------------- (XXX-YY) ... RESPONDER / COMENTAR : (XXX'-YY') ... ------------------ (XXX-YY) ... RESPONDER / COMENTAR : (XXX'-YY') ...