--- title: Systèmes de coordonnées published: false visible: false --- [ES] Estos elementos del curso se apoyan en el capítulo anterior "geometrías-espacio-tiempo", en el marco intuitivo del espacio y el tiempo de Newton, del teorema de Pitágoras y del dominio de las funciones trigonométricas.
[FR] Ces éléments de cours s'appuient sur le chapitre précédent "geometries-space-time", dans le cadre intuitif de l'espace et le temps de Newton, du théorème de pythagore et de la maitrise des fonctions trigonométriques.
[EN] These elements below lean on the previous chapter "geometries-space-time", in the Newton's intuitive framework of space and time, of the Pythagorean theorem and with the mastery of the trigonometric functions. ## Sistema de coordenadas / Système de coordonnées / Coordinate system * **N1 ($`\rightarrow`$ N2, N3, N4)**
[ES] Se percibe que el espacio tiene 3 dimensiones, y el tiempo una sola dimensión, que va del pasado al futuro
$`\Longrightarrow`$ sistema de coordenadas : 3+1=4 números reales que especifican la posición y fecha en el espacio y el tiempo de cualquier punto o evento $`M`$.
[FR] L'espace est perçu comme ayant 3 dimensions, et le temps une dimension unique fléché du passé vers le futur
$`\Longrightarrow`$ système de coordonnées : 3+1=4 nombres réels qui précisent la position et la date dans l'espace et le temps de tout point ou évènement $`M`$.
[EN] Space is perceived as having three dimensions, and time a single dimension, arrowed from the past to the future
$`\Longrightarrow`$ coordinate system : 3+1=4 real numbers which specify the position and the date in space and time of any point or event $`M`$. # En mecánica clásica / En mécanique classique / In classical mechanics y en mecánica cuántica no relativista / et en mécanique quantique non relativiste / and in non-relativistic quantum mechanics : * **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
[ES] El espacio y el tiempo son independientes, por lo que hay dos sistemas de coordenadas independientes :
[FR] L'espace et le temps sont indépendants, donc il y a deux systèmes de coordonnées indépendants :
[EN] Space and time are independent, so there are two independent coordinate systems :
* **N2 ($`\rightarrow`$ N3, N4)**
**Sistema de coordenadas espaciales / système de coordonnées spatiales / spatial coordinate system :**
[ES] El espacio euclidiano de la mecánica de Newton tiene tres dimensiones $`\Longrightarrow`$ 3 números reales son necesarios y suficientes para marcar una posición en el espacio.
[FR] L'espace euclidien de la mécanique de Newton a trois dimensions $`\Longrightarrow`$ 3 nombres réels sont nécessaires et suffisants pour repérer une position dans l'espace.
[EN] The Euclidean space of Newton's mechanics has three dimensions $`\Longrightarrow`$ 3 real numbers are necessary and sufficient to locate a position in space. * **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
**Sistema de coordenada temporale / Système de coordonnée temporelle / Time coordinate system :**
[ES] El tiempo tiene una dimensión, apuntando del pasado al futuro $`\Longrightarrow`$ solo un numero real es necesario y suficiente para marcar una fecha en el tiempo.
[FR] Le temps possède une seule dimension $`\Longrightarrow`$ seul un nombre réel est nécessaire et suffisant pour dater un évènement dans le temps.
[EN] Time has one dimension $`\Longrightarrow`$ only one real number is necessary and sufficient to date an event in time. ### Coordenadas cartesianas / Coordonnées cartésiennes / Cartesian coordinates (N2-N3-N4) * **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
[ES] En el marco del espacio y del tiempo de Newton, y de la geometría euclidiana.
[FR] Dans le cadre de l'espace temps de Newton, et de la géométrie euclidienne.
[EN] In the framework of Newton's space and time, and Euclidean geometry.
* **N2 ($`\rightarrow`$ N3, N4)**
Las coordenadas cartesianas se escriben / les coordonnées cartésiennes s'écrivent / The artesian coordinates write :
$`(x,y,z)`$,
con / avec /with : $`x\in\mathbb{R}`$, $`y\in\mathbb{R}`$ et $`z\in\mathbb{R}`$.
Coordenadas cartesianas de un punto $`M`$ /coordonnées cartésiennes d'un point $`M`$ / Cartesian coordinates of a point $`M`$ :
$`(x_M,y_M,z_M)`$.
Escribimos / on écrit / we write :
$`M(x_M,y_M,z_M)`$
Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify ;
$`M(x,y,z)`$. ##### Característica de los sistemas de coordenadas "cartesianos" / Caractéristique des systèmes de coordonnées "cartésiennes" / Characteristic of "Cartesian" coordinate systems * **N2 ($`\rightarrow`$ N3, N4)**
[ES] La distancia $`d_ {12}`$ entre dos puntos $`M_1`$ y $`M_2`$ del espacio, y de coordenadas cartesianas $`(x_1, y_1, z_1)`$ y $`(x_2, y_2, z_2)`$ está dado por el teorema de Pitágoras:
[FR] La distance $`d_{12}`$ entre deux points $`M_1`$ et $`M_2`$ dans l'espace, et de coordonnées cartésiennes $`(x_1, y_1, z_1)`$ et $`(x_2, y_2, z_2)`$ est donné par le théorème de Pythagore :
[EN] The distance $`d_ {12}`$ between two points $`M_1`$ and $`M_2`$ in space, and of Cartesian coordinates $`(x_1, y_1, z_1)`$ and $`(x_2, y_2, z_2)`$ is given by the Pythagorean theorem:

$`d_{12}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}`$ * **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
[ES] Un punto $`M(x,y,z)`$ hace un desplazamiento infinitesimal hasta el punto $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,
el Elemento escalar de línea $`dl`$ es :
[FR] Un point $`M(x,y,z)`$ fait un déplacement infinitésimal jusqu'au point $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,
l'élément scalaire de longueur $`dl`$ est :
[EN] A point $`M(x,y,z)`$ makes an infinitesimal displacement up to point $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,
the scalar line element $`dl`$ writes :

$`dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$ * **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
[ES] elemento vectorial de línea :
[FR] vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$
(http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-02 : Il faudrait mieux dire et écrire élément vectoriel d'arc?) :
[EN] vector line element or veftor path element :
$`d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{MM'}=dl\,\overrightarrow{e_T}`$,
con / avec / with
* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
[ES] Cuando solo la coordenada $`x`$ de un punto $`M(x,y,z)`$ varía continuamente entre los valores $`x`$ y $`x+\Delta x`$, el punto M recorre un segmento de longitud $`\Delta l_x=\Delta x`$. Cuando $`x + \Delta x`$ tiende a $`0`$, la longitud infinitesimal $`dl_x`$ recorrida para el punto $`M`$ es :
[FR] Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ varie de façon continue entre les valeurs $`x`$ et $`x+\Delta x`$, le point M parcourt un sègment de droite de longueur $`\Delta l_x = \Delta x`$. Lorsque $`x+\Delta x`$ tend vers $`0`$, la longueur infinitésimale $`dl_x`$ parcourt pour le point $`M`$ est :
[EN] When only the $`x`$ coordinate of a point $`M(x, y, z)`$ varies continuously between the values $`x`$ and $`x + \Delta x`$, the point M covers a line segment of length $`\Delta l_x = \Delta x`$. When $`x + \Delta x`$ tends towards $`0`$, the infinitesimal length $`dl_x`$ covered by the point $`M`$ is :

$`\displaystyle dx=\lim_{\Delta x\rightarrow 0 \\ \Delta x>0} \Delta x`$ $`\quad\Longrightarrow\quad dl_x=dx`$.

tambien / de même / similarly : $`dl_y=dy`$ et $`dl_z=dz`$. * **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
[ES] Cuando solo la coordenada $`x`$ de un punto $`M(x,y,z)`$ aumenta infinitesimalmente entre los valores $`x`$ y $`x+dx`$ ($`dx>0`$), el vector de desplazamiento $`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x`$ del punto $`M`$ el vector tangente a la trayectoria en el punto $`M`$ que se escribe :
[FR] Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ s'accroît de façon infinitésimale entre les valeurs $`x`$ et $`x+dx`$ ($`dx>0`$), le vecteur déplacement $`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x`$ du point $`M`$ est le vecteur tangent à la trajectoire au point $`M`$ qui sc'écrit :
When only the $`x`$ coordinate of a point $`M(x,y,z)`$ increases infinitesimally between the values $`x`$ and $`x+dx`$ ($`dx>0`$), the displacement vector $`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x`$ of the point $`M`$ is the tangent vector to the trajectory at point $`M`$. It writes :

$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x}\cdot dx`$

[ES] El vector unitario tangente a la trayectoria $`\overrightarrow{e_x}`$ (que indica la dirección y el sentido de desplazamiento del punto M cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada x se escribe:
[FR] Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_x}`$ (qui indique la direction et le sens de déplacement du point M lorsque seule la coordonnée x croît de façon infinitésimale) s'écrit :
[EN] The unit vector tangent to the trajectory $`\overrightarrow{e_x}`$ (which indicates the direction of displacement of the point M when only the coordinate x increases in an infinitesimal way) writes :

$`\overrightarrow{e_x}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_x}{||\partial\overrightarrow{OM}_x||}`$

tambien / de même / similarly :
$`\partial\overrightarrow{OM}_y=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y}\cdot dy`$, $`\quad\overrightarrow{e_y}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_y}{||\partial\overrightarrow{OM}_y||}`$
$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$, $`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$ * **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
[ES] Los vectores $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ forman una **base ortonormal** del espacio. La base $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x})`$ es la **base asociada a las coordenadas cartesianas**. En coordenadas cartesianas, los vectores de base asociadas a las coordenadas cartesianas mantienen la **misma dirección y el mismo sentido sea cual sea la posición del punto $`M`$**.
[FR] Les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la **base associée aux coordonnées cartésiennes**. En coordonnées cartésiennes, les vecteurs de base gardent la **même direction et le même sens quelque-soit la position du point $`M`$**.
[EN] The vectors $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ form an **orthonormal basis** of space. It is the **base associated with Cartesian coordinates**. In Cartesian coordinates, the base vectors keep the **same direction whatever the position of the point $`M`$**.

$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x})`$ base ortogonal independiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale indépendante de la position de $`M`$ / orthogonal basis independent of the position of $`M`$. * **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
[ES] La norma del vector $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ es el elemento escalar de linea $`dl_x`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_x}`$ se escribe :
[FR] La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ est l'élément de longueur $`dl_x`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$ s'écrit :
[EN] the norm (or length) of the vector $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ is the scalar line element $`dl_x`$, so the vector $`\overrightarrow{e_x}`$ writes :

$`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}=dl_x\;\overrightarrow{e_x}=dx\;\overrightarrow{e_x}`$

tambien / de même / similarly :
$`\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}=dl_y\;\overrightarrow{e_y}=dy\;\overrightarrow{e_y}`$
$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ * **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
[ES] Los 3 vectores $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$, $`\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}`$ y $`\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ son 2 a 2 ortogonales.
[FR] Les 3 vecteurs $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$, $`\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}`$ et $`\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2.
[EN] The 3 vectors $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$, $`\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}`$ and $`\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ are 2 to 2 orthogonal. * **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=121-11-21
[ES] ¿Usas la letra $`S`$ o la letra $`A`$ para expresar el área de una superficie? ¿Y qué quieres usar, sabiendo que el estándar es la letra $`A`$?
[FR] Suivant les recommendations de cette norme, peut-être prendre l'habitude à l'INSA d'utiliser la lettre $`A`$ au lieu de $`S`$ pour exprimer l'aire d'une surface? Sinon on peut continuer avec $`S`$ si l'usage est fort, en expliquant dans une note [FR-ES-EN] que en français on utilise $`S`$ mais que $`A`$ est recommandé.
[EN] Do you use the letter $`S`$ or the letter $`A`$ to express the area of a surface? And what do you want to use, knowing that the standard is the letter $`A`$?

http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-06.
[ES] Según la dirección elegida, los **elementos escalares de superficie** en coordenadas cartesianas son :
[FR] Selon la direction choisie, les **éléments scalaires de surface** en coordonnées cartésiennes sont :
[EN] According to the chosen direction, the **scalar surface elements** in Cartesian coordinates are :

$`dA_{xy}=dl_x\;dly=dx\;dy\:`$, $`\:dA_{xz}=dl_x\;dlz=dx\;dz\:`$, $`\:dA_{yz}=dl_y\;dlz=dy\;dz`$

http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-07.
[ES] y los **elementos vectoriales de superficie** correspondiente son :
[FR] et les **éléments vectoriels de surface** correspondants sont :
[EN] and the corresponding **vector surface elements** are :

$`d\overrightarrow{dA_{xy}}=\pm\partial\overrightarrow{OM}_x\land\partial\overrightarrow{OM}_y`$ $`\pm\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_y}`$ $`=\pm (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_y\;\overrightarrow{e_y})`$ $`=\pm dl_x\;dl_y\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_y})`$ $`= \pm dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$

$`d\overrightarrow{dA_{xz}}=\pm\partial\overrightarrow{OM}_x\land\partial\overrightarrow{OM}_z`$ $`\pm\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_z}`$ $`=\pm (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$ $`=\pm dl_x\;dl_z\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_z})`$ $`=\mp dx\;dy\;\overrightarrow{e_y}`$

$`d\overrightarrow{dA_{yz}}=\pm\partial\overrightarrow{OM}_y\land\partial\overrightarrow{OM}_z`$ $`\pm\overrightarrow{dl_y}\land\overrightarrow{dl_z}`$ $`=\pm (dl_y\;\overrightarrow{e_y})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$ $`=\pm dl_y\;dl_z\;(\overrightarrow{e_y}\land\overrightarrow{e_z})`$ $`=\pm dy\;dz\;\overrightarrow{e_x}`$
### Coordenadas cilíndricas / Coordonnées cylindriques / Cylindrical coordinates (N3-N4) Las coordenadas cartesianas se escriben / les coordonnées cartésiennes s'écrivent / The artesian coordinates write :
$`(\rho, \varphi, z)`$,
con / avec /with : $`\rho\in [0;\infty[`$, $`\varphi\in [0;2\pi[`$ et $`z \in [-\infty;\infty[`$.
Coordenadas cartesianas de un punto $`M`$ /coordonnées cartésiennes d'un point $`M`$ / Cartesian coordinates of a point $`M`$ :
$`(\rho_M, \varphi_M, z_M)`$,
.
Escribimos / on écrit / we write :
$`M(\rho_M, \varphi_M, z_M)`$ Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify ;
$`M(\rho, \varphi, z)`$. [ES] elemento escalar de línea :
[FR] élément de longueur :
[EN] scalar line element :
$`dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}`$ ### Coordenadas esféricas / Coordonnées sphériques / Spherical coordinates (N3-N4) $`M=M(\rho, \theta, \varphi)`$ [ES] elemento escalar de línea :
[FR] élément de longueur :
[EN] scalar line element :
$`dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}`$ ### Coordenadas curvilíneas generalizadas / Coordonnées curvilignes généralisées / Generalized curvilinear coordinates (N4)