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title: Systèmes de coordonnées
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[ES] Estos elementos del curso se apoyan en el capítulo anterior "geometrías-espacio-tiempo",
en el marco intuitivo del espacio y el tiempo de Newton, del teorema de Pitágoras y del dominio
de las funciones trigonométricas.
[FR] Ces éléments de cours s'appuient sur le chapitre précédent "geometries-space-time", dans le
cadre intuitif de l'espace et le temps de Newton, du théorème de pythagore et de la maitrise
des fonctions trigonométriques.
[EN] These elements below lean on the previous chapter "geometries-space-time", in the
Newton's intuitive framework of space and time, of the Pythagorean theorem and with
the mastery of the trigonometric functions.
## Sistema de coordenadas / Système de coordonnées / Coordinate system
[ES] Se percibe que el espacio tiene 3 dimensiones, y el tiempo una sola dimensión, que va del
pasado al futuro
$`\Longrightarrow`$ sistema de coordenadas : 3+1=4 números reales que especifican la posición y fecha
en el espacio y el tiempo de cualquier punto o evento $`M`$.
[FR] L'espace est perçu comme ayant 3 dimensions, et le temps une dimension unique fléché du passé vers le futur
$`\Longrightarrow`$ système de coordonnées : 3+1=4 nombres réels qui précisent la position
et la date dans l'espace et le temps de tout point ou évènement $`M`$.
[EN] Space is perceived as having three dimensions, and time a single dimension, arrowed from the past to the future
$`\Longrightarrow`$ coordinate system : 3+1=4 real numbers which specify the position and the date
in space and time of any point or event $`M`$.
## En mecánica clásica / En mécanique classique / In classical mechanics
y en mecánica cuántica no relativista / et en mécanique quantique non relativiste /
and in non-relativistic quantum mechanics :
[ES] El espacio y el tiempo son independientes, por lo que hay dos sistemas de coordenadas independientes :
[FR] L'espace et le temps sont indépendants, donc il y a deux systèmes de coordonnées indépendants :
[EN] Space and time are independent, so there are two independent coordinate systems :
* Sistema de coordenadas espaciales / système de coordonnées spatiales / spatial coordinate system :
[ES] El espacio euclidiano de la mecánica de Newton tiene tres dimensiones
$`\Longrightarrow`$ 3 números reales son necesarios y suficientes para marcar una posición en el espacio.
[FR] L'espace euclidien de la mécanique de Newton a trois dimensions $`\Longrightarrow`$ 3 nombres réels
sont nécessaires et suffisants pour repérer une position dans l'espace.
[EN] The Euclidean space of Newton's mechanics has three dimensions $`\Longrightarrow`$ 3 real
numbers are necessary and sufficient to locate a position in space.
* Sistema de coordenada temporale / Système de coordonnée temporelle / Time coordinate system :
[ES] El tiempo tiene una dimensión, apuntando del pasado al futuro
$`\Longrightarrow`$ solo un numero real es necesario y suficiente para marcar una fecha en el tiempo.
[FR] Le temps possède une seule dimension $`\Longrightarrow`$ seul un nombre réel
est nécessaire et suffisant pour dater un évènement dans le temps.
[EN] Time has one dimension $`\Longrightarrow`$ only one real
number is necessary and sufficient to date an event in time.
### Coordenadas cartesianas / Coordonnées cartésiennes / Cartesian coordinates (N2-N3-N4)
* **N3-N4** : [ES] marco del espacio y del tiempo de Newton, y de la geometría euclidiana.
[FR] cadre de l'espace temps de Newton, et de la géométrie euclidienne.
[EN] framework of Newton's space and time, and Euclidean geometry.
* **N2-N3-N4** Las coordenadas cartesianas se escriben / les coordonnées cartésiennes s'écrivent / The artesian coordinates write :
$`(x,y,z)`$,
con / avec /with :
$`x\in\mathbb{R}`$, $`y\in\mathbb{R}`$ et $`z\in\mathbb{R}`$.
Coordenadas cartesianas de un punto $`M`$ /coordonnées cartésiennes d'un point $`M`$ / Cartesian coordinates of a point $`M`$ :
$`(x_M,y_M,z_M)`$.
Escribimos / on écrit / we write :
$`M(x_M,y_M,z_M)`$
Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify ;
$`M(x,y,z)`$.
##### Característica de los sistemas de coordenadas "cartesianos" / Caractéristique des systèmes de coordonnées "cartésiennes" / Characteristic of "Cartesian" coordinate systems
* **N2-N3-N4** [ES] La distancia $`d_ {12}`$ entre dos puntos $`M_1`$ y $`M_2`$ del espacio, y de coordenadas
cartesianas $`(x_1, y_1, z_1)`$ y $`(x_2, y_2, z_2)`$ está dado por el teorema de Pitágoras:
[FR] La distance $`d_{12}`$ entre deux points $`M_1`$ et $`M_2`$ dans l'espace, et de coordonnées
cartésiennes $`(x_1, y_1, z_1)`$ et $`(x_2, y_2, z_2)`$ est donné par le théorème de Pythagore :
[EN] The distance $`d_ {12}`$ between two points $`M_1`$ and $`M_2`$ in space, and of
Cartesian coordinates $`(x_1, y_1, z_1)`$ and $`(x_2, y_2, z_2)`$ is given by the Pythagorean theorem:
$`d_{12}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}`$
* **N3-N4** [ES]
Un punto $`M(x,y,z)`$ hace un desplazamiento infinitesimal hasta el punto $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,
el Elemento escalar de línea $`dl`$ es :
[FR] Un point $`M(x,y,z)`$ fait un déplacement infinitésimal jusqu'au point $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,
l'élément scalaire de longueur $`dl`$ est :
[EN] A point $`M(x,y,z)`$ makes an infinitesimal displacement up to point $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,
the scalar line element $`dl`$ writes :
$`dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$
* **N3-N4** [ES] elemento vectorial de línea :
[FR] vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$
(http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-02 : Il
faudrait mieux dire et écrire élément vectoriel d'arc?) :
[EN] vector line element or veftor path element :
$`d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{MM'}=dl\,\overrightarrow{e_T}`$,
con / avec / with
* **N3-N4** [FR] Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ varie de façon continue entre les valeurs $`x`$ et $`x+\Delta x`$, le point M parcourt un sègment de droite de longueur $`\Delta l_x = \Delta x`$.
$`\displaystyle dx=\lim_{\Delta x\rightarrow 0 \\ \Delta x>0} \Delta x`$$`\quad\Longrightarrow\quad\text{élément scalaire d'arc : } dl_x=dx`$.
de même : $`dl_y=dy`$ et $`dl_z=dz`$.
Lorsque seule la coordonnées $`x`$ s'accroit de la quantité $`dx>0`$, le vecteur unitaire $`\vec{e_x}`$ qui indique le sens du déplacement s'écrit :
$`\overrightarrow{e_x}=\dfrac{\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x}}{\left| \left| \dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x} \right| \right|}`$.
de même :$`\overrightarrow{e_y}=\dfrac{\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y}}{\left| \left| \dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y} \right| \right|}`$ et
$`\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}}{\left| \left| \dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z} \right| \right|}`$.
Les éléments vectoriels d'arc s'écrivent :
### Coordonnées cylindriques (N3-N4)
Las coordenadas cartesianas se escriben / les coordonnées cartésiennes s'écrivent / The artesian coordinates write :
$`(\rho, \varphi, z)`$,
con / avec /with :
$`\rho\in [0;\infty[`$, $`\varphi\in [0;2\pi[`$ et $`z \in [-\infty;\infty[`$.
Coordenadas cartesianas de un punto $`M`$ /coordonnées cartésiennes d'un point $`M`$ / Cartesian coordinates of a point $`M`$ :
$`(\rho_M, \varphi_M, z_M)`$,
.
Escribimos / on écrit / we write :
$`M(\rho_M, \varphi_M, z_M)`$
Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify ;
$`M(\rho, \varphi, z)`$.
[ES] elemento escalar de línea :
[FR] élément de longueur :
[EN] scalar line element :
$`dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}`$
### Coordonnées sphériques (N3-N4)
$`M=M(\rho, \theta, \varphi)`$
[ES] elemento escalar de línea :
[FR] élément de longueur :
[EN] scalar line element :
$`dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}`$