--- title: Définir les outils mathématiques de niveau 2 : proposition 1 published: true routable: true visible: false lessons: - slug: define-g12-mathematical-tools-p1 order: 3 - slug: define-234-mathematical-tools-p1 order: 1 --- #### Proposition 1 -------------------------------------------------------- #### Définir les outils mathématiques requis au niveau 2 -------------------------------------------------------- Pour l'instant, juste une **liste de besoins dans une première classification** pour ordonner un peu le brainstorming (numération, géométrie, etc). Elle **ne présage pas des titres de chapitres*. Ne présage pas du programme de mathématique, mais **permettra de définir un programme "outils mathématiques et concepts physiques"**, qui sera construit avec les mathématiciens. Ce thème "Outils mathématiques" sera nécessaire, puisqu'il sera *commun à tous les thèmes des sciences expérimentales*. Lorsqu'un outil ou concept sera utilisé dans le cours d'un thème particulier, il sera toujours possible d'afficher des éléments d'"Outils mathématiques" dans un mode parallèle. N'hésitez pas à créer une nouvelle classification si nécessaire. ------------------------------------------------------------- Les *outils mathémétiques de niveau 1* **$`+`$** : ! *Numération, opérations et fonction usuelles* * ensembles de nombres * des entiers naturels **$`\mathbb{N}`$** (et $`\mathbb{N}^*`$) * des entiers relatifs **$`\mathbb{Z}`$** (et $`\mathbb{Z}^*`$) * des nombres réels **$`\mathbb{R}`$** (et $`\mathbb{R}^*,\mathbb{R}_+,\mathbb{R}_-, \mathbb{R}_+^*`$,...) * des nombres rationnels et irrationnels ? (pas de liens directs en physique, plutôt programme math N2 ou N3?) * factorielle d'un nombre entier nature * fonction exponentielle **$`exp(x)=e^x`$** * **$`log_p\,n`$**, définie comme : si $`q=p^n`$, alors $`\log_p(q)=n`$, où $`n,p,q`$ sont des entiers et $`p,q`$ positifs. (besoin pour introduire des éléments de physique importants) * introduction à **$`i`$** tel que **$`i^2=-1`$** (comme artifice de calcul) RÉAGIR : ... (XXX-YY) ----------- (CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisme : * *Fonctions trigonométriques* $`\sin`$ , $`\arcsin`$ , $`\cos`$ , $`\arcsin`$ , $`\tan`$ , $`\arctan`$ * Les *relations de trigonométrie* : * **$`\sin(a+b)=\sin\,a\;\cos\,b + \sin\,b\;\cos\,a`$** * **$`\sin(a-b)=\sin\,a\;\cos\,b - \sin\,b\;\cos\,a`$** * **$`\cos(a+b)=\cos\,a\;\cos\,b - \sin\,b\;\sin\,a`$** * **$`\cos(a-b)=\cos\,a\;\cos\,b + \sin\,b\;\sin\,a`$** et *savoir retrouver les autres* * L'identité remarquable : **$`(a+b)(a-b)=a^2-b^2`$** RÉAGIR : ... (XXX-YY) --------------------- (XXX-YY) ... RÉAGIR : ... (XXX-YY) ------------------ ! *Ensembles et logique* (CME-FR) * *complémentaire d'un ensemble* $`A`$ dans $`E`$*, noté **$`\mathbf{\complement_E A}`$** * Utilisation de **$`\forall`$** , **$`\exists`$** , **$`\displaystyle\lim_{x\longrightarrow x_0}`$** RÉAGIR : ... (XXX-YY) --------------------- (XXX-YY) ... RÉAGIR : ... (XXX-YY) ------------------ ! *Géométrie et coordonnées* (CME-FR) * Règles d'orientation d'un plan : *sens direct* (sens inverse des aiguilles d'une montre) et *sens inverse* (sens des aiguilles d'une montre) * Coordonnées *cartésiennes (2D et 3D)* Repère et base cartésiens (2D) composantes vectorielles d'un vecteur (en 2D) * Coordonnées *polaires* : 2D $`(\rho,\varphi)`$ et 3D $`(\rho,\varphi, z)`$ Savoir positionner un point * Coordonnées *sphériques* : 2D $`(\theta,\varphi)`$ et 3D $`(r,\theta,\varphi)`$ difference avec longitude, latitude, altiture des coordonnées géographiques * *Projection orthogonale (2D)*, en relation avec les fonctions sinus et cosinus et le produit scalaire RÉAGIR : ... (XXX-YY) --------------------- (XXX-YY) ... RÉAGIR : ... (XXX-YY) ------------------ ! *Vecteurs et analyse vectorielle* (CME-FR) * *Représentation* intuitive *géométrique des vecteurs* (longueur, direction et sens) ou alors dès le niveau 1? * *Addition et soustraction géométriques de vecteurs* ou alors dès le niveau 1? * composantes d'un vecteur dans une base quelconque, orthogonale, orthonormée 2D *Dans une base euclidienne (2D)*: * *produit scalaire de 2 vecteurs* en relation avec l'opération de projection orthogonale sur un axe : **$`\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\lVert \overrightarrow{u} \rVert \cdot \lVert \overrightarrow{v} \rVert \cdot \cos\theta`$** * pour deux vecteurs unitaires et orthogonaux **$`\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}=\delta_1^2`$** * pour deux vecteurs exprimés dans une base orthonormée **$`\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=u_x\,v_x+u_y\,v_y`$** * Norme d'un vecteur et expression dans un base orthonormée, en relation avec Pythagore **$`\lVert\overrightarrow{u}\rVert=\sqrt{u_x^2+u_y^2}=\sqrt{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}}$** * Expression de l'angle en radian **$`\theta=\dfrac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{\lVert \overrightarrow{u} \rVert \cdot \lVert \overrightarrow{v}\rVert }`$** ! *Étude de fonctions* * *Fonction réelle à une variable réelle* **$`f(x)`$** * Notion de *dérivée en un point* **$`f'(x_o)`$** en relation avec la notion de tangente. * Fonction dérivée **$`f'(x)`$** * *Tableau de variation, tableau de signe, tracé, représentation graphique, recherche d'extrémum (à partir de la dérivée) * dérivée seconde dès ce niveau ? (méca, équilibre), ou alors seulement dans les parties "au-delà" ? * notion de primitive et d'intégrale simple dès ce niveau ?, ou alors seulement dans les parties "au-delà" ? RÉAGIR : ... (XXX-YY) --------------------- (XXX-YY) ... RÉAGIR : ... (XXX-YY) ------------------ ! *Équations* * *Équations du second degré :* **$`a\,x^2 + b\,x + c = 0`$** * Savoir *poser en équations un problème qui relève du système d'équations* **$`\left\{\begin{array}{c} a_1\,x + b_1\,y = c_1 \\ a_2\,x + b_2\,y = c_2 \end{array}\right.`$** *et le résoudre* (de façon non matricielle, mais par substitution, combinaison). * Savoir *poser en équations un problème qui relève du système d'équations* **$`\left\{\begin{array}{c} a_1\,x + b_1\,y + c_1\,z = d_1 \\ a_2\,x + b_2\,y + c_2\,z = d_2 \\ a_3\,x + b_3\,y + c_3\,z = d_3 \end{array}\right.`$** et voir que la résolution (de façon non matricielle) est simple mais fastidieuse. RÉAGIR : ... (XXX-YY) --------------------- (XXX-YY) ... RÉAGIR : ... (XXX-YY) ------------------ Statistique à deux variables : droite d'ajustement (méthode des moindres carrés) Probabilités : union, intersection (déjà niveau 3) arbre de probabilité, tableau, (XXX-YY) ... RÉAGIR : ... (XXX-YY) --------------------- (XXX-YY) ... RÉAGIR : ... (XXX-YY) --------------------- (XXX-YY) ... RÉAGIR : ... (XXX-YY) ------------------