--- title: Ampere's theorem : application published: false visible: false --- $`\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}`$ !!!! *COURS EN CONSTRUCTION :*
!!!! *Non publié, non visible, NON VALIDÉ*
!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques. ! *Thème* :
! *N3 : Magnétostatique / Application du théorème d'Ampère, forme intégrale et forme locale*
! Guide pour établir les 3 parties : main, overview, beyond
! ! (_suit le thème : Magnétostatique : Démonstration du théorème d'Ampère, forme intégrale et forme locale._) Théorème d'Ampère : application ### Que dit le théorème d'Ampère ? ### Quand l'utiliser et quel intérêt ? Le théorème d'Ampère permet un **calcul simple de $`\overrightarrow{B}`$** créé dans tout l'espace lorsque la *distribution spatiale de courant* est *hautement symétrique et invariante* : les distributions usuelles sont un courant constant dans : - un fil infini. - un solénoïde infini. - une nappe de courant. - une bobine toroïdale. ### Forme intégrale ou forme locale? ##### Intérêt et difficultés propres de la forme intégrale * Calcul du champ magnétique **$`\overrightarrow{B}`$** à partir de la *distribution macroscopique des courants* ( I ou $`\overrightarrow{j}`$) :

$`\Longrightarrow`$ **toujours valable** :
\- *même lors d'une modélisation 2D* des courants (le profil du courant selon une direction spatiale est négligée (souvent une épaisseur).
\- *même lors d'une modélisation 1D* des courants (le profil du courant selon deux directions spatiales est négligée (souvent une section).

$`\Longrightarrow`$ permet d'établir les **relations de continuité de $`\overrightarrow{B}`$** *à la traversée d'une densité surfacique de courant* (2D) :
\- discontinuité de la composante de $`\overrightarrow{B}`$ tangentielle à la surface.
\- continuité de la composante de $`\overrightarrow{B}`$ perpendiculaire à la surface. * Nécessite de **bien visualiser dans l'espace** la distribution de courant, pour choisir :
\- le *bon contour* pour le calcul de la *circulation de $`\overrightarrow{B}`$*.
\- la *bonne surface associée* pour le calcul *flux de $`\overrightarrow{j}`$*. ##### Intérêt et difficultés propres de la forme locale * Reproduit le **profil de $`\overrightarrow{B}`$** dans l'espace par intégration à partir des *variations locale $`\dfrac{\partial B_i}{\partial \alpha_j}`$* en chaque point de l'espace, $`\displaystyle\overrightarrow{B}=\sum_{i=1}^3 B_i\,\overrightarrow{e_{\alpha i}}`$ étant exprimé dans un repère orthonormé $`(\overrightarrow{e_{\alpha1}}, \overrightarrow{e_{\alpha2}},\overrightarrow{e_{\alpha3}})`$

$`\Longrightarrow`$ chaque composante $`B_i`$ est **connue à une constante d'intégration près**.

$`\Longrightarrow`$ Il faut **lever l'indétermination des constantes** d'intégration par la connaissance de $`\overrightarrow{B}`$ en certains points grâce à des *considérations de symétries* (exemple $`\overrightarrow{B}=0`$) ou de *continuité de $`\overrightarrow{B}`$ dans une modélisation 3D* des courants. * $`\Longrightarrow`$ l'utilisation de la **forme locale du théorème d'Ampère** sera *réservée à une modélisation 3D* des courants. ### Quelles sont les différentes étapes ? ##### Déterminer $`\overrightarrow{B}`$ en connaissant les courants. Nous sommes en magnétostatique. Il faudrait préciser :
Déterminer $`\overrightarrow{B}`$ statique en connaissant les courants constants. * **ETAPE 1** : *Décrire mathématiquement la distribution spatiale de courants* à l'origine du champ magnétique $`\overrightarrow{B}`$, avec le vecteur densité volumique de courant $`\overrightarrow{j}`$ (modèle 3D).

*Parfois simplifier le modèle représentatif* :
\- passage *3D vers 2D*, en négligeant de façon justifiée une dimension spatiale, et en utilisant le vecteur densité surfacique de courant $`\overrightarrow{j_S}`$.
\- passage de *3D vers 1D*, en négligeant de façon justifiée deux dimensions spatiales, et en utilisant les éléments vectoriels de courant $`I\cdot\overrightarrow{dl}`$.
\- *autre* : ...
Cette étape, indispensable dans le cadre d'un projet, est souvent déjà réalisée dans les énoncés d'exercices ou de problèmes de magnétostatique. * Le théorème d'Ampère remplace un calcul direct qui serait très complexe, mais il exige pour cela d'obtenir des **informations initiales** *sur le champ magnétique* attendu.
Ces informations **résultent des symétries et invariances** *de la distribution de courant*.

$`\Longrightarrow`$ **ETAPE 2** : *Etude des symétries et invariances.*

C'est une étape *commune aux formes intégrale et locale* du thèorème d'Ampère. * **ETAPE 3** : *choix de la forme* du théorème d'Ampère et *énoncé mathématique*. * **ETAPE 4** : * **ETAPE 5** : ##### Déterminer les courants en connaissant $`\overrightarrow{B}`$