--- title : Collection d'éléments de cours : vocabulaire et équations published : true visible : no --- !!!! *ATTENTION* : !!!! Ce contenu n'est pas un cours validé ! !!!! Page non répertoriée ### IMPORTANTE / IMPORTANT [ES] Por favor, *debes agregar* lo que haces en tu universidad, si no está en la lista. Para lo que está escrito en su idioma nativo, *debes borrar y volver a escribir* si usas otras palabras u otras explicaciones. Complete sus ecuaciones habituales si son diferentes de las ya escritas. Escriba sus comentarios entre
ejemplo: [FR] *Il faut rajouter* ce que vous faites dans votre université, si ce n'est pas dans la liste. Pour ce qui est écrit dans votre langue natale, *il faut effacer et écrire de nouveau* si vous utilisez d'autres mots ou d'autres expliactions. Compléter vos équations usuelles si elles sont différentes de celles déjà écrite. Ecrivez vos commentaire entre
exemple : [EN] *You must add* what you do in your university, if it is not in the list. For what is written in your native language, *you must erase and rewrite* if you use other words or other explanations. Complete your usual equations if they are different from those already written. Write your comments between
example: "
" impone un salto a la linea siguente. "
" impose un retour à la ligne. "
" impose a line break. ## Colección de elementos del curso: conceptos, vocabulario y ecuaciones / Collection d'éléments de cours : Concepts, vocabulaire et équations / Collection of Course Elements: Concepts, Vocabulary and Equations ### Vectores, análisis vectorial / Vecteurs, analyse vectorielle / Vectors, vector analysis ##### Vectores en el espacio euclidiano / Vecteurs dans un espace euclidien / Vectors in Euclidean Space [ES] 3 caracteristicas : norma, dirección y sentido ?
[FR] 3 caractéristiques : norme, direction et sens
[EN] 2 characteritics : magnitude (or length) and direction. ATENCIÓN / ATTENTION / BE CAREFUL : [ES] matemáticamente, la palabra "dirección / direction / direction" no tiene el mismo significado en francés y español, y en inglés. [FR] mathématiquement, le mot dirección / direction / direction" n'a pas le même sens en français et espagnol, et en anglais. [EN] mathematically, the word "dirección / direction / direction" does not have the same meaning in French and Spanish, and in English. ##### Significado de los vectores en mecánica / Signification des vecteurs en mécanique / Meaning of vectors in mechanics. * [ES] Los *vectores* pueden representar *diferentes cantidades físicas*.
_ejemplo: vector de velocidad del punto M, y la fuerza que se aplica al punto M._
[FR] Les *vecteurs* peuvent représenter des *grandeurs physiques différentes*.
_exemple : vecteur vitesse du point M, et la force qui s’applique sur le point M._
[EN] The *vectors* can represent *different physical quantities*.
_example: velocity vector of point M, and the force that applies to point M._ * [ES] Las *normas* de vectores correspondientes a diferentes cantidades físicas _(ejemplo: velocidad y fuerza)_ se expresan en *diferentes unidades* _(respectivamente: $`ms^{-1}`$ y $`N`$)_. Ellos *no se pueden comparar*.
[FR] Les *normes* de vecteurs correspondant à des grandeurs physiques différentes _(exemple : vitesse et force)_ s’expriment dans des **unités différentes** _(respectivement : $`m.s^{-1}`$ et $`N`$)_. Elles *ne peuvent pas être comparées*.
[EN] The *norms* of vectors corresponding to different physical quantities _(example: speed and force)_ are expressed in *different units* _(respectively: $`ms^{-1}`$ and $`N`$)_. They *cannot be compared*. ##### Vectores colineales y no colineales / Vecteurs colinéaires et non colinéaires / Collinear and non-collinear vectors * [ES] Dos **vectores $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** son **colineales** si tienen *igual dirección*.
[FR] Deux *vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$* sont **colinéaires** s’ils ont la *même direction* :
[EN] Two **vectors $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** are **collinear** if they lie on the *same line or parallel lines* :

Il existe alors un nombre réel $`\alpha`$ tel que l’on peut écrire $`\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$
" $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont colinéaires" $`\Longleftrightarrow \exists \alpha\in\mathbb{R}\quad\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$ * [ES] Dos **vectores $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** son **colineales** si non tienen *igual dirección*.
[FR] Deux **vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** sont **non colinéaires** s’ils ont des *directions différentes*.
[EN] Two **vectors $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** are **non collinear** if they lie on *non parallel lines* :

Pour tout nombre réel $`\alpha`$ on peut écrire $`\overrightarrow{A} \ne \alpha\cdot\overrightarrow{B}`$.
"$`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont non colinéaires" $`\Longleftrightarrow \forall\; \alpha\in\mathbb{R}`$$`\quad\overrightarrow{A} \ne\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$ Fig "mechanics-vectors-collinear.png" ready for use. #### Base vectorial / Base vectorielle / Base of a vector space ##### en un plano $`\mathcal{P}`$ / dans un plan $`\mathcal{P}`$ / in a plane $`\mathcal{P}`$ * Definición / Définition :
[ES] **2 vectores $`\vec{a}`$ y $`\vec{b}`$ pertenecientes a un plano $`\mathcal{P}`$, no nulos, no colineales y ordonados** en una secuencia $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ forman una *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de este plano.
[FR] **2 vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ appartenant à un plan $`\mathcal{P}`$, non nuls, non colinéaires et ordonnés** dans une suite $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ forment une *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de ce plan.
[EN] ... * Propiedad / Propriété :
[ES] Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ es una base de un plano $`\mathcal{P}`$, entonces cualquier *vector $`\vec{V}`$* de $`\mathcal{P}`$ se descompone *de forma única* en una **combinación lineal** *de los vectores de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$.
[FR] Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ est une base d'un plan $`\mathcal{P}`$, alors tout *vecteur $`\vec{V}`$* de $`\mathcal{P}`$ se décompose de *façon unique* en une **combinaison linéaire** *des vecteurs de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$.
[EN] ... * Écriture mathématique :
"$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})`$ est une base de $`\mathcal{P}`$" $`\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2`$$`\quad \overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}`$ Fig "mechanics-vector-base-plane_L1200.gif" ready for use. ##### en un espacio vectorial $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ / dans un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$ / in a vector space $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$ ( [ES] En matemáticas, una secuencia es un conjunto ordenado de elementos, llamados sus "términos". y que están indexados por números naturales.
  [FR] En mathématiques, une suite est un ensemble ordonné d'éléments, appelés ses "termes" et qui sont indexées par les entiers naturels.(le terme "n-uplet" n'est pas bon ...)
  [EN] In mathematics, a sequence is an ordered set of elements, called its "terms" and which are indexed by natural numbers.) * [ES] *$`n`$ vectores ordenados** en una *secuencia $`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$* forman una base de un espacio vectorial $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ si cualquier vector de este espacio se descompone de manera única en una combinación lineal de los vectores $`\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n}`$.
[FR] **$`n`$ vecteurs ordonnés** dans une *suite $`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$* forment une **base** d'un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$, si *tout vecteur $`\vec{V}`$* de cet espace $`\mathcal{E}`$ se décompose de *façon unique* en une *combinaison linéaire* des vecteurs $`\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n}`$.
[EN] $`n`$ vectors ordered in a *sequence $`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$* form a basis of a vector space $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$ if any vector of this space decomposes in a unique way into a linear combination of the vectors $`\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n}`$. * "$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base de $`\mathcal{E}`$"$` \quad\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{E}`$$`\quad\exists ! (\alpha_1,\alpha_1,...;\alpha_1)\in\mathbb{R}^n`$$`\quad \overrightarrow{V}=\alpha_1\cdot\overrightarrow{e_1}+\alpha_2\cdot\overrightarrow{e_2}+...+\alpha_n\cdot\overrightarrow{e_n}`$ #### Sistemas de coordenadas / Systèmes de coordonnées - Repère de l’espace / IMPORTANTE / IMPORTANT [ES] No veo en español o inglés la distinción entre "sistema de coordenadas" y lo que llamamos en Francia el "repère" asociado. ¿Me equivoco? Si esta diferencia existe entre los tres idiomas, será importante explicarla en el curso.
Definir un "repère" me parece importante para hacer la distinción entre "repère" y marco de referencia...
[FR] Je ne vois pas en espagnol ou en anglais la distinction entre "système de coordonnées" et le repère associés. Je me trompe ? Si cette différence existent entre les trois langues, l'expliciter dans le cours sera important.
Définir la notion de repère me parait important pour faire la différence entre repère et référentiel... [EN] I don't see in Spanish or English the distinction between "coordinate system" and what we call in France the associated "repère". I am wrong? f this difference exists between the three languages, explaining it in the course will be important.
To define a "repère" seems to me important to me to make the distinction between "repère" and reference frame... * [ES] En mecánica clásica (no relativista), *el tiempo y el espacio no* están *acoplados*.
[FR] En mécanique classique (non relativiste) , *temps et espace* ne sont *pas couplés*.
[EN] In classical mechanics (not relativistic), *time and space* are *not coupled*. * [ES] *En el espacio*, la *posición de un punto M* se identifica a partir de un **punto O origen** del espacio por el **vector $`\overrightarrow{OM}`$**.
[FR] *Dans l’espace*, la *position d’un point M* est repérée à partir d’un **point O origine** de l’espace par le **vecteur $`\overrightarrow{OM}`$**.
[EN] *In space*, the *position of a point M* is marked from a **point origin O** of the space by the **vector $`\overrightarrow{OM}`$**.
* [ES] El *espacio clásico* de Newton tiene **3 dimensiones**. Esto significa que, desde el origen O del espacio, la posición de cualquier punto M se puede definir de forma única mediante **3 números reales $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )`$**, llamados ** coordenadas ** (o coordenadas espaciales) del punto M. Escribimos $`M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$.
[FR] L’*espace classique de Newton* a **3 dimensions**. Cela signifie que, à partir de l’origine O de l’espace, la position de tout point M peut-être définie de façon unique par **3 nombres réels $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )`$** , appelés **coordonnées** (ou coordonnées spatiales) du point M. On écrit $`M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$.
[EN] The Newton's *classical space* has **3 dimensions**. This means that, from the origin O of space, the position of any point M can be uniquely defined by **3 real numbers $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )`$**, called **coordinates** (or spatial coordinates) of point M. We write $`M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$. * [ES] Si no nos referimos a un punto particular en el espacio, sino a un cualquier punto que puede estar en cualquier lugar del espacio, entonces sus coordenadas son variables reales, y simplemente escribimos $`M=M(\alpha, \beta, \gamma)`$.
[FR] Si nous ne faisons pas référence à un point particulier de l'espace, mais à un point quelconque pouvant se situer n'importe où dans l'espace, alors ses coordonnées sont des variables réelles, et nous écrivons simplement $`M=M(\alpha, \beta, \gamma)`$.
[EN] If we are not referring to a particular point in space, but to any point that can be located anywhere in space, then its coordinates are real variables, and we simply write $`M=M(\alpha, \beta, \gamma)`$. * [ES] Hay *varias formas posibles de definir unas coordenadas espaciales*: Hablamos de ** sistemas de coordenadas**.
[FR] ]Il y a *plusieurs façons possible de définir des coordonnées spatiales* : On parle de **systèmes de coordonnées**.
[EN] There are *several possible ways to define spatial coordinates*: We speak of ** coordinate systems**. ![](general-coordinates-systems.jpg)
_Exemples de systèmes de coordonnées._ #### Caractéristiques d’une base / d’un repère ##### Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ / repère normé $`(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ * Les vecteurs de la base ou du repère sont de **norme unité**. * $`||\overrightarrow{a}||=1\; ; \;||\overrightarrow{b}||=1\; ; \;||\overrightarrow{c}||=1`$ . ##### Base orthogonale $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ / repère orthogonal $`(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ * Les vecteurs de la base ou du repère sont **orthogonaux 2 à 2**. * $`\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\; ; \;\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c}\; ; \;\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}`$. ##### Base orthonormée $`(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ / repère orthonormé $`(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ * orthonormé = **ortho**+*normé* :
\- ortho : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \vec{e_i}\perp\vec{e_j}`$.
\- normé : $`\forall \vec{e_i} \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\} \quad ||\vec{e_i}||=1`$. * orthonormé : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \overrightarrow{e_i}\cdot\overrightarrow{e_j}=\delta_{i\,j}`$
avec le **symbole e Kronecker $`\delta_{i\,j}`$** défini par :
$`\delta_{i\,j}=1`$ si $`i=j\quad`$ et $`\quad\delta_{i\,j}=0`$ si $`i \ne j`$ #### Règle d'orientation de l'espace. * Deux vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ unitaires et non colinéaires forment une base normée $`(\vec{a},\vec{b})`$ d'un plan dans l'espace. * Cette base $`(\vec{a},\vec{b})`$ peut être complétée par un troisième vecteur $`\vec{c}`$, unitaire et perpendiculaire à $`\vec{a}`$ et à $`\vec{b}`$, pour former une base orthonormée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ de l'espace. * * d'un repère orthonormé $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ de l'espace définissent un plan $`\mathcal{P}`$. Le troisdème vecteur $`\vec{c}`$, perpendiculaire à la fois aux vecteurs $`(\vec{a}`$ et $`(\vec{b}`$, possède **une direction** donnée par la *droite normale (perpendiculaire) au plan $`\mathcal{P}`$*. mais il y a **deux sens possibles** pour ce vecteur $`(\vec{c}`$. * Un vecteur $`\vec{c}`$ perpendiculaire à la fois aux vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ possède **une direction** la *droite normale (perpendiculaire) au plan $`\mathcal{P}`$*, mais il y a **deux sens possibles** pour ce vecteur $`\vec{c}`$. * Ces deux sens possibles sont distingués par une *règle d’orientation de l’espace* : la **règle des 3 doigts de la main droite** : ![](physics-mechanics-space-orientation-right-hand-rule-direction_L1200_horiz_vert.jpg) * #### Repère orthonormé direct / indirect --------- #### Producto escalar de dos vectores, y norma de un vector / Produit scalaire de 2 vecteurs, et norme d’un vecteur / ##### valable dans une base $`(\vec{a},\vec{b})`$ quelconque d'un plan $`\mathcal{P}`$ $`\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})`$ $`\Longrightarrow`$ commutativité : $`\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})\in\mathcal{P}^2\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{U}`$ $`\Longrightarrow`$ associativité : $`\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})\in\mathcal{P}^3`$ $`\quad\overrightarrow{U}\cdot(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}+\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{W}`$ $`\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{U}=U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b}`$
$`\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{V}=V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b}`$
$`\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=(U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b})\cdot (V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b})`$
$` = U_a\,V_a\,(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a})+U_a\,V_b\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})`$ $`+U_b\,V_a\,(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})+U_b\,V_b\,(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b})`$
$`= U_a\,V_a\,\overrightarrow{a}^2 + U_b\,V_b\,\overrightarrow{b}^2 + (U_a\,V_a+U_b\,V_a)\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})`$ ##### Norma de un vector / norme d'un vecteur / ... $`||\overrightarrow{U}||=\sqrt{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{U}}=\overrightarrow{U}^{\frac{1}{2}}`$ ##### Vector unitario / Vecteur unitaire / "$`\overrightarrow{U}`$ est unitaire" $`\quad\Longleftrightarrow\quad ||\overrightarrow{U}||=1`$ ##### Producto escalar de dos vectores colineales / Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires / "$`\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{V}`$ sont colinéaires" $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{0,\pi\}`$ $`\quad\Longleftrightarrow\quad cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{-1,+1\}`$ "$`\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{V}`$ sont colinéaires" $`\quad\Longrightarrow\quad ...`$ "$`\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{V}`$ sont colinéaires"`$ $`\Longrightarrow\left|\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=+||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\,si\,\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=0\\ \overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=-||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\,si\, \widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=\pi`$ $` \underline{\overrightarrow{B}}^{\,0}_{\,ref}=\left|\begin{array}{l} +\,B_{ref}^0\,cos\,\theta_{ref} \\ 0 \\ +\,B_{ref}^0\,sin\,\theta_{ref} \end{array}\right.\quad , \quad `$ $` \underline{\overrightarrow{B}}^{\,0}_{\,trans}=\left|\begin{array}{l} -\,B_{trans}^0\,cos\,\theta_{trans} \\ 0 \\ +\,B_{trans}^0\,sin\,\theta_{trans} \end{array}\right. `$ , ##### Producto escalar de dos vectores ortogonales /Produit scalaire de 2 vecteurs orthogonaux / ##### Caractéristiques des vecteurs de base d’une base orthonormée * Les vecteurs sont unitaires (de norme unité), donc : * Les vecteurs sont orthogonaux 2 à 2, donc : ##### Produit scalaire de 2 vecteurs dans une base orthonormée ##### Norme d’un vecteur dans une base orthonormée ##### Calcul de l’angle entre 2 vecteurs dans une base orthonormée #### Produit vectoriel de 2 vecteurs ##### Produit vectoriel de 2 vecteurs dans une base quelconque ##### Produit vectoriel de 2 vecteurs dans une base orthonormée #### Produit mixte de 3 vecteurs ##### Produit mixte de 2 vecteurs dans une base quelconque ##### Produit mixte de 2 vecteurs dans une base orthonormée #### Dérivée d’un vecteur par rapport au temps FR - Localiser un point dans l’espace tridimensionnel : une origine $`O`$, et trois axes $`Ox`$, $`Oy`$ et $`Oz`$ se coupant en O.
L’ensemble constitue le repère, notation $`(O,x,y,z)`$ Repère orthogonal : les axes sont deux à deux orthogonaux : $`Ox\perp Oy`$, $`Ox\perp Oz`$ et $`Oy\perp Oz`$. #### base, repère de l'espace * base de l'espace * base orthonormée * repère cartésien de l'espace #### vector / vecteur / vector (http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04) FR - vecteur, représentation graphique #### addition et soustraction de vecteurs (vers la statique, que nous ne faisons pas) #### produit scalaire de 2 vecteurs #### produit vectoriel de deux vecteurs #### produit mixte #### Différentielle d'un vecteur * rappel sur la différentielle d'une fonction * différentielle d'un vecteur #### dérivée d'un vecteur par rapport au temps #### Différentielle et dérivée d'un vecteur unitaire #### Homegénéïté des relations vectorielles #### ### Différentielle d'un vecteur ###