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title: Définir les outils mathématiques de niveau 3 : proposition 1
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#### Proposition 1

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#### Définir les outils mathématiques requis au niveau 3

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avec une **première classification pour ordonner un peu** le brainstorming (numération, géométrie, etc).
Elle *ne présage pas des titres de chapitres*.

N'hésitez pas à créer une nouvelle classification si nécessaire.

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Les *outils mathémétiques de niveaux 1 et 2* **$`+`$** :

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  NUMERATION, OPERATIONS ET FONCTIONS USUELLES
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! *Numération, opérations et fonction usuelles*

* nombre imaginaire $`i`$   
  Ensemble des nombres imaginaires purs $`\mathbb{I}`$   
  Ensemble des nombres complexes purs $`\mathbb{C}`$ : $`c=a+i\,b`$

* fonction puissance $`y^x`$ 
* fonction exponentielle $`e^x`$    
  Euler $`e^{\,i\theta}=\cos\theta+ i\sin\theta`$     
  $`\cos\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}+e^{\,-i\theta}{2}`$   
  $`\sin\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}-e^{\,-i\theta}{2i}`$

* $`e^0=1 \quad , \quad`$
$`e^{\,i\frac{\pi}{2}=i\quad , \quad`$
$`e^{\,i\pi}=-1\quad , \quad`$, ...

* fonction logatithme $`\mathbf{log_p\,x}`$   
  fonction logatithme $`\mathbf{log_10\,x}`$ en relation à la fonction puissance $`10^x`$   
  fonction logatithme népérien $`\mathbf{Log\,x=ln\,x}`$ en relation à la fonction puissance $`exp(x)=e^x`$   



  * *Projection orthogonale*, relation avec la fonction $`\cos`$
  * *produit scalaire de deux vecteurs*


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  ENSEMBLES  ET  LOGIQUE
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! *Ensembles et logique*



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  GÉOMÉTRIE  ET  COORDONNÉES
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! *Géométrie et coordonnées*

* Règle d'orientation de l'espace   
  Systèmes de coordonnées, bases et repères directs ou indirect

* Coordonnées, bases vectorielles et repères associées   
  bases et repères orthogonaux, normés, orthonormés, directs et indirects

* Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques   
  * avec repères et bases vactorielle associés    
  * éléments infinitésimaux de longueur, de surface, de volume    
  * expressions des opérateurs $`\overrightarrow{grad}`$, $`div`$ et $`\overrightarrow{rot}`$


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  VECTEURS, OPERATEURS ET ANALYSE VECTORIELLE
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! *Vecteurs et opérateurs, analyse vectorielle*

* Produit vectoriel $`\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}`$ (notation $`\wedge`$ ou $`\times`$ )
* Produit mixte $`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})`$

* Opérateurs $`\overrightarrow{grad}`$, $`div`$ et $`\overrightarrow{rot}`$ (notation $`\overrightarrow{rot}`$ ou $`\overrightarrow{curl}`$ )
  et notation avec $`\overrightarrow{\nabla}`$ (coordonnées cartésiennes)

* Opérateurs Laplacien scalaire et vectoriel $`\Delta`$ et $`\overrightarrow{\Delta}`$
* L'opérateur d'Alembertien $`\Box=\Delta-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\delta^2}{\delta t^2}`$



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MATRICES
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! *Matrices*

* Matrices $`(n,m)`$ : $`\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix}`$ 
* Calcul matriciel
* Déterminant d'une matrice carrée : 
  $`\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}`$  


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  ÉQUATIONS
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! *Équations*

* *Équations du second degré :* **$`a\,x^2 + b\,x + c = 0`$**

* Savoir *poser en équations un problème qui relève du système d'équations*      
**$`\left\{\begin{array}{c} a_1\,x + b_1\,y = c_1 \\ a_2\,x + b_2\,y = c_2  \end{array}\right.`$**   
*et le résoudre* (de façon non matricielle).

* Savoir *poser en équations un problème qui relève du système d'équations*    
**$`\left\{\begin{array}{c} a_1\,x + b_1\,y + c_1\,z = d_1 \\ a_2\,x + b_2\,y + c_2\,z = d_2 \\ a_3\,x + b_3\,y + c_3\,z = d_3 \end{array}\right.`$**   
et voir que la résolution (de façon non matricielle) est simple mais fastidieuse.


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Essai d'une commande latex :

$`\begin{align*}
  x &= a + (b + a) \\
    &= 2a + b.
\end{align}*`$
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