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| electromagnetism- | false | false |
Equations de Maxwell
Les équations de Maxwell locales précises les propriétés du champ électromagnétique en tout point de l'espace.
$div \overrightarrow{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}$
$\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$
$div \overrightarrow{B} = 0$
$\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}$
$\rho$ est la densité volumique de charge totale.
$\overrightarrow{j}$ est la densité volumique de courant totale.
! Note :
! $\rho$ est la densité volumique de charge totale
de solution
Rappel de l'équation d'onde d'un champ vectoriel
$\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{v_{\phi}} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=0$
de solution générale ...
Equation d'onde pour le champ électromagnétique
(Ou "Etude du Laplacien du champ électromagnétique")
$\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right) =-\mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}$
- $
\overrightarrow{grad} \left( div \; \overrightarrow{E} \right) = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right)$
La reconstruction de
$\Delta \;\overrightarrow{E} =\overrightarrow{grad} \left(div\;\overrightarrow{E}\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)$
donne :
$\Delta \;\overrightarrow{E} = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right) + \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}$
ce qui donne par identification au premier terme de l'équation d'onde :
$\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \; \overrightarrow{grad}\left(\rho \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} $