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Elementos del curso : las sistemas de coordenadas / Eléments de cours : les systèmes de coordonnées / Course elements : the coordinate systems

[ES] :

No es un curso, son simplemente elementos de curso (vocabulario, ecuaciones, ideas) que se pueden utilizar para crear cursos.
Revisar la redacción de las ecuaciones, el vocabulario, proponer modificaciones.
Si podemos tener una presentación y ecuaciones comunes, está bien. Si tenemos alguna diferencia, los estudiantes deberán verla y comprenderla. También es bueno.
Existe un estándar internacional (vocabulario, escritura), disponible en cada idioma. Podemos cumplirlo. Podemos cumplirlo. Si no cumplimos, dejaremos de lado el estándar.
Los elementos están desordenados.
Se indica una estimación del nivel.
El vínculo entre los sistemas de coordenadas y el marco de referencia estará en otra parte.
En tipo marrón y negrita : vocabulario para comprobar, propuestas de las ecuaciones para la parte de síntesis (recordatorio: cada curso consta de 3 partes: principal / resumen / más allá).
Los elementos de cursos están numerados para encontrarlos más fácilmente.

[FR] :

Ce n'est pas un cours, ce sont simplement des éléments de cours (vocabulaire, équations, idées) qui pourront servir à construire des cours.
Vérifier l'écriture des équations, le vocabulaire, proposer des modifications.
Si nous pouvons avoir une présentation et des équations communes, c'est bien. Si nous avons des différences, les étudiants devront les voir et les comprendre. C'est bien aussi.
Il existe une norme (vocabulaire, écriture) internationale, déclinée dans chaque langue. Nous pouvons nous y conformer. Si nous ne nous y conformons pas, nous donneront en apparté la norme.
Les éléments sont donnés dans le désordre.
Une estimation du niveau est indiquée.
Le lien entre systèmes de coordonnées et référentiel sera dans une autre partie.
En caractères marrons et gras : vocabulaire à vérifier, propositions des équations pour la partie synthèse.
Les éléments de cours sont numérotés, pour les retrouver plus facilement.

[EN] :

It is not a course, here are simply course elements (vocabulary, equations, ideas) that can be used to build courses.
Check the writing of the equations, the vocabulary, suggest modifications.
If we can have a common presentation and equations, that's good. If we have any differences, the students will need to see and understand them. That is good too.
There is an international standard (vocabulary, writing), available in each language. We can comply with it. If we don't comply, we'll set aside the standard.
The elements are given out of order.
An estimate of the level is indicated.
The link between coordinate systems and reference frame will be in another part.
In brown and bold type : vocabulary to check, proposals for the equations that will remain in the summary part. (reminder: each course is in 3 parts: main / summary / beyond).
The course elements are numbered, to find them more easily.

$\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}$ $\def\Sopen{\mathscr{S}_{\smile}}$ $\def\Sclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}$ $\def\Ssclosed{\mathscr{S}_{\scriptsize\bigcirc}}$ $\def\PSopen{\mathscr{S}_{\smile}}$ $\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}$

[ES] Estos elementos de cursos se apoyan en el capítulo anterior "geometrías-espacio-tiempo", en el marco intuitivo del espacio y el tiempo de Newton, del teorema de Pitágoras y del dominio de las funciones trigonométricas.
[FR] Ces éléments de cours s'appuient sur le chapitre précédent "geometries-space-time", dans le cadre intuitif de l'espace et le temps de Newton, du théorème de pythagore et de la maitrise des fonctions trigonométriques.
[EN] These elements below lean on the previous chapter "geometries-space-time", in the Newton's intuitive framework of space and time, of the Pythagorean theorem and with the mastery of the trigonometric functions.

15 : N2 ($\rightarrow$ N4)
Origine / axis (with positive coordinate direction) / Unit length

Sistema de coordenadas / Système de coordonnées / Coordinate system

20 : N1 ($\rightarrow$ N2, N3, N4)

[ES] Se percibe que el espacio tiene 3 dimensiones, y el tiempo una sola dimensión, que va del pasado al futuro
$\Longrightarrow$ sistema de coordenadas : 3+1=4 números reales que especifican la posición y fecha en el espacio y el tiempo de cualquier punto o evento $M$.

[FR] L'espace est perçu comme ayant 3 dimensions, et le temps une dimension unique fléché du passé vers le futur
$\Longrightarrow$ système de coordonnées : 3+1=4 nombres réels qui précisent la position et la date dans l'espace et le temps de tout point ou évènement $M$.

[EN] Space is perceived as having three dimensions, and time a single dimension, arrowed from the past to the future
$\Longrightarrow$ coordinate system : 3+1=4 real numbers which specify the position and the date in space and time of any point or event $M$.

[Fr] :
Vos initiales : XXX , institut/université : INSA :
- vocabulaire : ...........................................................
- équations : ..............................................................
- commentaire : .........................................................

[ES] :
Sus iniciales: XXX , instituto/universidad : ... :
\ - vocabulario: .............................................. .............
\ - ecuaciones: .............................................. ................
\ - comentario: .............................................. ...........

[EN] :
Your initials: XXX , institute / university : ...:
\ - vocabulary: .............................................. .............
\ - equations: .............................................. ................
\ - comment: .............................................. ...........

25 : N1 ($\leftarrow$ N2 N3 N4)
Coordenadas geográficas / Coordonnées géographiques / Geographic coordinates

[ES] para construir: planeta Tierra, polo y hemisferio norte, polo y hemisferio sur.
- latitud $\leftrightarrow$ paralelos; longitude $\leftrightarrow$ meridianos; altitud $\leftrightarrow$ nivel del mar o superficie de referencia.
- latitud $l$: $l=0°\leftrightarrow$ ecuador; $l=+90°\leftrightarrow$ polo norte geográfico ; $l=-\,90° \leftrightarrow$ polo sur geográfico.
- Longitud $L$: $L = 0°\,0'\,0''\leftrightarrow$ Greenwich (distrito de Londres, Reino Unido); Enlaces con medición de ángulos en grados con un transportador.
- $1° = 60'$ (minuto de arco); $1 '= 60''$ (segundo de arco).
- una posición se escribe en el orden latitud, longitud, altitud.

[FR] à construire : planète Terre, pôle et hémisphère nord , pôle et hémisphère sud.
- latitude $\leftrightarrow$ parallèles ; longitude $\leftrightarrow$ méridiens ; altitude $\leftrightarrow$ niveau de la mer, ou surface de référence.
- latitude $l$ : $l=0°\leftrightarrow$ équateur ; $l=+90°\leftrightarrow$ pôle nord géographique ; $l=-\,90°\leftrightarrow$ pôle sud géographique.
- Longitude $L$ : $L=0°\,0'\,0''\ \leftrightarrow$ Greenwich (quartier de Londres, UK); - Liens avec mesure des angles en degré avec un rapporteur.
- $1°=60'$ (minute d'arc) ; $1'=60''$ (seconde d'arc).
- une position s'écrit dans l'ordre latitude, longitude, altitude.

[EN] to build: planet Earth, north pole and hemisphere, south pole and hemisphere.
- latitude $\leftrightarrow$ parallels; longitude $\leftrightarrow$ meridians; altitude $\leftrightarrow$ sea level, or reference surface.
- latitude $l$ : $l=0° \leftrightarrow$ equator; $l=+90° \leftrightarrow$ pole true north; $l=-\,90° \leftrightarrow$ geographic south pole.
- Longitude $L$: $L = 0°\,0'\,0'' \leftrightarrow$ Greenwich (London district, UK); - Links with measurement of angles in degrees with a protractor.
- $1° = 60'$ (minute of arc); $1'= 60''$ (arc second).
- a position is written in the order latitude, longitude, altitude.

Ejemplos / Exemples / Examples :
[ES] [EN] :
- UNAL-Manizales : $5°03'22.08N'' \quad 75°29'28.37''O \quad 2132m$
- Univ de Guadalajara : $20°40'25.76N'' \quad 103°21'30.62''O \quad 1557m$
- INSA-Toulouse : $43°34'11.67N'' \quad 1°28'03.85''E \quad 148m$
[FR] :
- Univ de Guadalajara : $20°40'25,76N'' \quad 103°21'30,62''O \quad 1557m$
- UNAL-Manizales : $5°03'22,08N'' \quad 75°29'28,37''O \quad 2132m$
- INSA-Toulouse : $43°34'11,67N'' \quad 1°28'03,85''E \quad 148m$

En mecánica clásica / En mécanique classique / In classical mechanics

y en mecánica cuántica no relativista / et en mécanique quantique non relativiste / and in non-relativistic quantum mechanics :

30 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] El espacio y el tiempo son independientes, por lo que hay dos sistemas de coordenadas independientes :

[FR] L'espace et le temps sont indépendants, donc il y a deux systèmes de coordonnées indépendants :

[EN] Space and time are independent, so there are two independent coordinate systems :

35 : N2 ($\rightarrow$ N3, N4)
Sistema de coordenadas espaciales / système de coordonnées spatiales / spatial coordinate system :

[ES] El espacio euclidiano de la mecánica de Newton tiene tres dimensiones $\Longrightarrow$ 3 números reales son necesarios y suficientes para marcar una posición en el espacio.

[FR] L'espace euclidien de la mécanique de Newton a trois dimensions $\Longrightarrow$ 3 nombres réels sont nécessaires et suffisants pour repérer une position dans l'espace.

[EN] The Euclidean space of Newton's mechanics has three dimensions $\Longrightarrow$ 3 real numbers are necessary and sufficient to locate a position in space.

40 : N3 ($\rightarrow$ N4)
Sistema de coordenada temporale / Système de coordonnée temporelle / Time coordinate system :

[ES] El tiempo tiene una dimensión, apuntando del pasado al futuro $\Longrightarrow$ solo un numero real es necesario y suficiente para marcar una fecha en el tiempo.

[FR] Le temps possède une seule dimension $\Longrightarrow$ seul un nombre réel est nécessaire et suffisant pour dater un évènement dans le temps.

[EN] Time has one dimension $\Longrightarrow$ only one real number is necessary and sufficient to date an event in time.

Coordenadas cartesianas / Coordonnées cartésiennes / Catesian coordinates (N2-N3- N4)

45 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] En el marco del espacio y del tiempo de Newton, y de la geometría euclidiana (no especificamos todo esto en el nivel 2)

[FR] Dans le cadre de l'espace temps de Newton, et de la géométrie euclidienne (on ne précise pas tout cela au niveau 2).

[EN] In the framework of Newton's space and time, and Euclidean geometry (we do not specify all this at level 2).

50 : N2 ($\rightarrow$ N3, N4)

Las coordenadas cartesianas se escriben / les coordonnées cartésiennes s'écrivent / The artesian coordinates write :

$(x,y,z)$, $\mathbf{(x,y,z)}$

con / avec /with :

$x\in\mathbb{R}$, $y\in\mathbb{R}$ et $z\in\mathbb{R}$.

$\mathbf{x\in\mathbb{R}}$, $\mathbf{y\in\mathbb{R}}$, $\mathbf{z\in\mathbb{R}}$

Coordenadas cartesianas de un punto $M$ /coordonnées cartésiennes d'un point $M$ / Cartesian coordinates of a point $M$ :

$(x_M,y_M,z_M)$.

Escribimos / on écrit / we write :

$M(x_M,y_M,z_M)$

Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify :

$M(x,y,z)$, $\mathbf{M(x,y,z)}$

55 : N2 ($\rightarrow$ N3, N4)

[ES] Característica de los sistemas de coordenadas "cartesianos" : la distancia $d_ {12}$ entre dos puntos $M_1$ y $M_2$ del espacio, y de coordenadas cartesianas $(x_1, y_1, z_1)$ y $(x_2, y_2, z_2)$ está dado por el teorema de Pitágoras:

[FR] Caractéristique des systèmes de coordonnées "cartésiennes" : la distance $d_{12}$ entre deux points $M_1$ et $M_2$ dans l'espace, et de coordonnées cartésiennes $(x_1, y_1, z_1)$ et $(x_2, y_2, z_2)$ est donné par le théorème de Pythagore :

[EN] Characteristic of "Cartesian" coordinate systems : the distance $d_ {12}$ between two points $M_1$ and $M_2$ in space, and of Cartesian coordinates $(x_1, y_1, z_1)$ and $(x_2, y_2, z_2)$ is given by the Pythagorean theorem:

$d_{12}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ , $\mathbf{d_{12}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}}$

60 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] Característica de los sistemas de coordenadas "cartesianos" : si un punto $M(x,y,z)$ hace un desplazamiento infinitesimal hasta el punto $M'(x+dx,y+dy,z+dz)$,
el Elemento escalar de línea $dl$ se escribe simplement :

[FR] Caractéristique des systèmes de coordonnées "cartésiennes" : si un point $M(x,y,z)$ fait un déplacement infinitésimal jusqu'au point $M'(x+dx,y+dy,z+dz)$,
l'élément scalaire de longueur $dl$ s'écrit simplement :

[EN] Characteristic of "Cartesian" coordinate systems : if a point $M(x,y,z)$ makes an infinitesimal displacement up to point $M'(x+dx,y+dy,z+dz)$,
the scalar line element $dl$ writes simply :

$dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}$ , $\mathbf{dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}}$

65 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] elemento vectorial de línea :

[FR] élément vectoriel de longueur $\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}$
(http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-02 : Il faudrait mieux dire et écrire élément vectoriel d'arc?) :

[EN] vector line element or veftor path element :

$d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}=dl\,\overrightarrow{e_T}$,

con / avec / with

[ES] con $\overrightarrow{e_T}$ el vector unitario tangente a la trayectoria y dirigido en el sentido del movimiento.

[FR] avec $\overrightarrow{e_T}$ le vecteur unitaire tangent à la trajectoire et dirigé dans le sens du mouvement.

[EN] with $\overrightarrow{e_T}$ the unit vector tangent to the trajectory and oriented in the direction of movement.

$\overrightarrow{e_T}=\dfrac{\overrightarrow{dl}}{||\overrightarrow{dl}||}=\dfrac{\overrightarrow{dr}}{||\overrightarrow{dr}||}$.

70 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] Cuando solo la coordenada $x$ de un punto $M(x,y,z)$ varía continuamente entre los valores $x$ y $x+\Delta x$, el punto M recorre un segmento de longitud $\Delta l_x=\Delta x$. Cuando $\Delta x$ tiende a $0$, la longitud infinitesimal $dl_x$ recorrida para el punto $M$ es :

[FR] Lorsque seule la coordonnées $x$ d'un point $M(x,y,z)$ varie de façon continue entre les valeurs $x$ et $x+\Delta x$, le point M parcourt un sègment de droite de longueur $\Delta l_x = \Delta x$. Lorsque $\Delta x$ tend vers $0$, la longueur infinitésimale $dl_x$ parcourt pour le point $M$ est :

[EN] When only the $x$ coordinate of a point $M(x, y, z)$ varies continuously between the values $x$ and $x + \Delta x$, the point M covers a line segment of length $\Delta l_x = \Delta x$. When $\Delta x$ tends towards $0$, the infinitesimal length $dl_x$ covered by the point $M$ is :

$\displaystyle dx=\lim_{\Delta x\rightarrow 0 \\ \Delta x>0} \Delta x$ $\quad\Longrightarrow\quad dl_x=dx$ , $\mathbf{dl_x=dx}$.

tambien / de même / similarly : $dl_y=dy$ et $dl_z=dz$, $\mathbf{dl_y=dy}$ et $\mathbf{dl_z=dz}$.

75 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] Cuando solo la coordenada $x$ de un punto $M(x,y,z)$ aumenta infinitesimalmente entre los valores $x$ y $x+dx$ ($dx>0$), el vector de desplazamiento $\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x$ del punto $M$ es el vector tangente a la trayectoria en el punto $M$ que se escribe :

[FR] Lorsque seule la coordonnées $x$ d'un point $M(x,y,z)$ s'accroît de façon infinitésimale entre les valeurs $x$ et $x+dx$ ($dx>0$), le vecteur déplacement $\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x$ du point $M$ est le vecteur tangent à la trajectoire au point $M$ qui sc'écrit :

[EN] When only the $x$ coordinate of a point $M(x,y,z)$ increases infinitesimally between the values $x$ and $x+dx$ ($dx>0$), the displacement vector $\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x$ of the point $M$ is the tangent vector to the trajectory at point $M$. It writes :

$\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x}\cdot dx$

[ES] El vector unitario tangente a la trayectoria $\overrightarrow{e_x}$ (que indica la dirección y el sentido de desplazamiento del punto M cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada x se escribe:

[FR] Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $\overrightarrow{e_x}$ (qui indique la direction et le sens de déplacement du point M lorsque seule la coordonnée x croît de façon infinitésimale) s'écrit :

[EN] The unit vector tangent to the trajectory $\overrightarrow{e_x}$ (which indicates the direction of displacement of the point M when only the coordinate x increases in an infinitesimal way) writes :

$\overrightarrow{e_x}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_x}{||\partial\overrightarrow{OM}_x||}$

tambien / de même / similarly :

$\partial\overrightarrow{OM}_y=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y}\cdot dy$, $\quad\overrightarrow{e_y}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_y}{||\partial\overrightarrow{OM}_y||}$
$\partial\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz$, $\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}$

80 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] Los vectores $\overrightarrow{e_x}$, $\overrightarrow{e_y}$ y $\overrightarrow{e_z}$ forman una base ortonormal del espacio. La base $(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x})$ es la base asociada a las coordenadas cartesianas. En coordenadas cartesianas, los vectores de base asociadas a las coordenadas cartesianas mantienen la misma dirección y el mismo sentido sea cual sea la posición del punto $M$.

[FR] Les vecteurs $\overrightarrow{e_x}$, $\overrightarrow{e_y}$ y $\overrightarrow{e_z}$ forment une base orthonormée de l'espace. C'est la base associée aux coordonnées cartésiennes. En coordonnées cartésiennes, les vecteurs de base gardent la même direction et le même sens quelque-soit la position du point $M$.

[EN] The vectors $\overrightarrow{e_x}$, $\overrightarrow{e_y}$ y $\overrightarrow{e_z}$ form an orthonormal basis of space. It is the base associated with Cartesian coordinates. In Cartesian coordinates, the base vectors keep the same direction whatever the position of the point $M$.

$||\overrightarrow{e_x}||=||\overrightarrow{e_y}||=||\overrightarrow{e_z}||=1$
$\overrightarrow{e_x}\perp\overrightarrow{e_y}\quad,\quad\overrightarrow{e_y}\perp\overrightarrow{e_z}\quad,\quad\overrightarrow{e_x}\perp\overrightarrow{e_z}$

$(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$ base ortogonal independiente de la posición de $M$ / base orthogonale indépendante de la position de $M$ / orthogonal basis independent of the position of $M$.

85 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] La norma del vector $\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}$ es el elemento escalar de linea $dl_x$, entonces el vector $\overrightarrow{e_x}$ se escribe :

[FR] La norme du vecteur $\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}$ est l'élément de longueur $dl_x$, donc le vecteur $\overrightarrow{e_x}$ s'écrit :

[EN] the norm (or length) of the vector $\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}$ is the scalar line element $dl_x$, so the vector $\overrightarrow{e_x}$ writes :

$\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}=dl_x\;\overrightarrow{e_x}=dx\;\overrightarrow{e_x}$

tambien / de même / similarly :

$\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}=dl_y\;\overrightarrow{e_y}=dy\;\overrightarrow{e_y}$
$\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}$

90 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] El elemento vectorial de línea o ?? $\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}$ en coordenadas cartesianas es el vector de desplazamiento del punto $M(x,y,z)$ al punto $M'(x+dx,y+dy,z+dz)$ cuando las coordenadas varían infinitesimalmente de $dx$, $dy$ y $dz$, y se escribe :

[FR] L'élément vectoriel d'arc ou vecteur déplacement élémentaire $\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}$ en coordonnées cartésiennes est le vecteur déplacement du point $M(x,y,z)$ au point $M'(x+dx,y+dy,z+dz)$ quand les coordonnées varient infinitésimalement des quantités $dx$, $dy$ y $dz$, et il s'écrit :

[EN] The vector line element or vector path element $\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}$ in cartesian coordinates is the displacement vector from point $M(x,y,z)$ to point $M'(x+dx,y+dy,z+dz)$ when the coordinates vary infinitesimally in quantities $dx$, $dy$ y $dz$, and it writes :

$\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}$ $=\partial\overrightarrow{OM}_x+\partial\overrightarrow{OM}_y+\partial\overrightarrow{OM}_z$ $=\overrightarrow{dl_x}+\overrightarrow{dl_y}+\overrightarrow{dl_z}$ $=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}$ $=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}$

$\mathbf{d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dl}}$ $\mathbf{=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}}$ $\mathbf{=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}}$

[ES] y su norma es el elemento scalar de linea :
[FR] et sa norme el l'élément de longueur :
[EN] y its norm (or length) is thescalar line element :

$||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{dl_x^2+dl_y^2+dl_z^2}=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}$

$||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{\overrightarrow{dl}\cdot\overrightarrow{dl}}$ $=\left[(dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\cdot (dl_x\;\overrightarrow{e_x}\right.$ $\left.+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}$ $=\left[(dl_x)^2\;(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_x})\right.$ $+(dl_y)^2\;(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_y})$ $+(dl_z)^2\;(\overrightarrow{e_z}\cdot\overrightarrow{e_z})$ $+(2\,dl_x\,dl_y)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_y})$ $+(2\,dl_x\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_z})$ $\left.+(2\,dl_y\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}$ $=\sqrt{(dl_x)^2+(dl_y)^2+(dl_z)^2}$ $=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl$

95 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] Los 3 vectores $\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad$, $\quad\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad$ y $\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}$ son 2 a 2 ortogonales.

[FR] Les 3 vecteurs $\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad$, $\quad\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad$ et $\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}$ sont orthogonaux 2 à 2.

[EN] The 3 vectors $\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad$, $\quad\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad$ and $\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}$ are 2 to 2 orthogonal.

$\Longrightarrow$ :

[ES] El área de un elemento de superficie construido por 2 de estos vectores se expresará simplemente como el producto de sus normas.Y el volumen definido por estos 3 vectores será simplemente el producto de sus estándares.

[FR] L'aire d'un élément de surface construit par 2 de ces vecteurs s'exprimera simplement comme le produit de leurs normes. Et le volume définit par ces 3 vecteurs sera simplement le produits de leurs normes.

[EN] The area of a surface element constructed by 2 of these vectors will be expressed simply as the product of their norms. The volume defined by these 3 vectors will simply be the product of their norms.

100 : **IMPORTANTE / IMPORTANT :
Una elección para hacer / un choix à faire / a choice to make.

[ES] ¿Usas la letra $S$ o la letra $A$ para expresar el área de una superficie? ¿Y qué quieres usar, sabiendo que el estándar es la letra $A$?

[FR] Suivant les recommendations de cette norme, peut-être prendre l'habitude à l'INSA d'utiliser la lettre $A$ au lieu de $S$ pour exprimer l'aire d'une surface? Sinon on peut continuer avec $S$ si l'usage est fort, en expliquant dans une note [FR-ES-EN] que en français on utilise $S$ mais que $A$ est recommandé.

[EN] Do you use the letter $S$ or the letter $A$ to express the area of a surface? And what do you want to use, knowing that the standard is the letter $A$?

http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=121-11-21

[ES] Tenga en cuenta que en el electromagnetismo, el potencial vectorial usa la letra $A$. En el conjunto de ecuaciones encontraremos las áreas $\overrightarrow{dS}$ y el potencial vectorial $A$. Mantenemos $S$?

[FR] Remarque, en électromagnétisme, le potentiel vecteur utilise la lettre $A$. Dans l'ensemble des équations nous rencontrerons des aires $\overrightarrow{dS}$ et le potentiel vecteur $A$. On garde $S$ ?

[EN] Note, in electromagnetism, the vector potential uses the letter $A$. In the set of equations we will meet areas $\overrightarrow{dS}$ and the vector potential $A$. Do we keep $S$?

[ES] Proposición: Anotamos los objetos físicos o matemáticos mediante mayúsculas caligrafiadas. Ejemplo :
- un plano $\mathscr{P}$, una superficie $\mathscr{S}$ de área $S$, un volumen físico $\mathscr{V}$ de volumen (en $m^3$) $\large\tau$?
- una superficie cerrada $\PSclosed$ de área $S$?
- una superficie abierta $\PSopen$ de área $S$?

[FR] Proposition : On note les objects physiques ou mathématiques par des lettres majuscules caligraphiées. Exemple :
- un plan $\mathscr{P}$, une surface $\mathscr{S}$ d'aire $S$, un volume physique $\mathscr{V}$ de volume (en $m^3$) $\large\tau$?
- une surface fermée $\PSclosed$ d'aire $S$?
- une surface ouverte $\PSopen$ d'aire $S$?

[EN] Proposition : We note the physical or mathematical objects by caligraphed capital letters. Example :
- a plane $\mathscr{P}$, a surface $\mathscr{S}$ of area $S$, a physical volume $\mathscr{V}$ of volume (in $m^3$) $\large\tau$?
- a closed surface $\PSclosed$ of area $S$?
- an open surface $\PSopen$ of area $S$?

[ES] Tenemos que elegir de forma independiente para cada idioma, entre estas notaciones :
[FR] Nous devons choisir de façon indépendante pour chaque langue, entre ces notations :
[EN] We have to choose independently for each language, between these notations :

$\overrightarrow{dA}\quad$,$\quad\overrightarrow{d^2A}\quad$, $\quad\overrightarrow{dS}\quad$,$\quad\overrightarrow{d^2S}\quad$

105 : N3 ($\rightarrow$ N4)
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-06.

[ES] Según la dirección elegida, los elementos escalares de superficie $dS$ en coordenadas cartesianas son :

[FR] Selon la direction choisie, les éléments scalaires de surface $dS$ en coordonnées cartésiennes sont :

[EN] According to the chosen direction, the scalar surface elements $dS$ in cartesian coordinates are :

- en un plano $z = cst$ / dans un plan $z = cst$ / in a plane $z = cst$ :
$\quad dS=dS_{xy}=dS_{yx}=dl_x\;dl_y=dx\;dy\quad$ , $\mathbf{dS=dl_x\;dl_y=dx\;dy}$
- en un plano $y = cst$ / dans un plan $y = cst$ / in a plane $y = cst$ :
$\quad dS=dS_{xz}=dS_{zx}=dl_x\;dl_z=dx\;dz\quad$ , $\mathbf{dS=dl_x\;dl_z=dx\;dz}$
- en un plano $x = cst$ / dans un plan $x = cst$ / in a plane $x = cst$ :
$\quad dS=dS_{yz}=dS_{zy}=dl_y\;dl_z=dy\;dz$, $\mathbf{dS=dl_y\;dl_z=dy\;dz}$

http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-07.

110 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] y los elementos vectoriales de superficie $\overrightarrow{dS}$ correspondiente son :
[FR] et les éléments vectoriels de surface $\overrightarrow{dS}$ correspondants sont :
[EN] and the corresponding vector surface elements $\overrightarrow{dS}$ are :

$d\overrightarrow{S_{xy}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_x\land\partial\overrightarrow{OM}_y$ $=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_y}$ $=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_y\;\overrightarrow{e_y})$ $=\pm\; dl_x\;dl_y\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_y})$ $= \pm \; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}$

$d\overrightarrow{S_{xz}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_x\land\partial\overrightarrow{OM}_z$ $=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_z}$ $=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})$ $=\pm\; dl_x\;dl_z\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_z})$ $=\mp\; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}$

$d\overrightarrow{S_{yz}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_y\land\partial\overrightarrow{OM}_z$ $=\pm\;\overrightarrow{dl_y}\land\overrightarrow{dl_z}$ $=\pm\; (dl_y\;\overrightarrow{e_y})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})$ $=\pm\; dl_y\;dl_z\;(\overrightarrow{e_y}\land\overrightarrow{e_z})$ $=\pm\; dy\;dz\;\overrightarrow{e_x}$

115 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] Una superficie $\mathscr{S}$ es una superficie cerrada si es la frontera que separa un volumen interior y un espacio exterior. Cualquier camino que conecte cualquier punto del volumen interior y cualquier punto del espacio exterior pasa necesariamente a través de la superficie cerrada. Ejemplo: la superficie de una pelota.
Una superficie $\mathscr{S}$ es una superficie abierta si no está cerrada. Cualesquiera dos puntos infinitamente cerca uno del otro y ubicados a ambos lados de la superficie, existe un camino que conecta estos dos puntos sin cruzar la superficie. Ejemplo: la superficie de una hoja de papel. (presentar a matemáticos).

[FR] Une surface $\mathscr{S}$ est une surface fermée si elle est la frontière délimitant un volume intérieur et un espace extérieur. Tout chemin reliant un point quelconque dans le volume intérieur et un point quelconque de l'espace extérieur traverse nécessairement la surface fermée. Exemple : la surface d'un ballon.
Une surface $\mathscr{S}$ est une surface ouverte si elle n'est pas fermée. Alors, quelques soient deux points infiniment proches l'un de l'autre et situés de part et d'autre de la surface, il existe un chemin qui lie ces deux points sans traverser la surface. Exemple : la surface d'une feuille de papier. (à soumettre à des mathématiciens).

[EN] A surface $\mathscr{S}$ is a ** closed surface ** if it is the border delimiting an interior volume and an exterior space. Any path connecting any point in the interior volume and any point inside the outer space necessarily crosses the closed surface. Example: the surface of a ball.
A surface $\mathscr{S}$ is an open surface if it is not closed. So, whatever two points infinitely close to each other and located on either side of the surface, there exists a path that connects these two points without crossing the surface. Example: the surface of a sheet of paper. (to be submitted to mathematicians).

120 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] Cálculo integral del área $S$ de una superficie cerrada macroscópica $\Sclosed$ :
[FR] Calcul intégral de l'aire $S$ d'une surface fermée $\Sclosed$ macroscopique :
[EN] Integral calculus of the area $S$ of a macroscopic closed surface $\Sclosed$ :

$S=\displaystyle\oiint_{\Ssclosed} dS$, $\mathbf{S=\displaystyle\oiint_{\Ssclosed} dS}$

[ES] Cálculo integral del área $S$ de una superficie abierta macroscópica $\Sopen$ :
[FR] Calcul intégral de l'aire $S$ d'une surface ouverte $\Sopen$ macroscopique :
[EN] Integral calculus of the area $S$ of a macroscopic open surface $\Sopen$ :

$S=\displaystyle\iint_{\PSopen} dS$, $\mathbf{S=\displaystyle\iint_{\PSopen} dS}$

[ES] Esta diferencia en la escritura es muy importante. Por ejemplo en electromagnetismo :
[FR] Cette différence d'écriture est très importante. Par exemple en électromagnétisme :
[EN] This difference in writing is very important. For example in electromagnetism :

$\displaystyle\forall \Sclosed\quad \oiint_{\Ssclosed} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}=0\quad$, en general $\displaystyle\iint_{\Sopen} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}\,\ne\, 0$

$\mathbf{\displaystyle\forall \Sclosed \quad \oiint_{\Ssclosed} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}=0\quad}$, en general $\mathbf{\displaystyle \iint_{\Sopen} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}\,\ne\, 0}$.

125 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] Vector de posición (o vector de posición) de un punto $M(x,y,z)$ en coordenadas cartesianas :
[FR] Vecteur position d'un point $M(x,y,z)$ en coordonnées cartésiennes :
[EN] Position vector of a point $M(x,y,z)$ in Cartesian coordinates:

$\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}$

$\mathbf{\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}}$

130 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] Elemento de volumen $d\large\tau$ en coordenadas cartesianas :
[FR] Élément de volume $d\large\tau$ en coordonnées cartésiennes :
[EN] Volume element $d\large\tau$ in cartesian coordinates:

$d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz$ , $d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz$

Coordenadas cilíndricas / Coordonnées cylindriques / Cylindrical coordinates (N3-N4)

[FR] Contrairement à ce qui se fait actuellement à l'INSA (UNAL? UdG?) il serait bien ici d'utiliser la notation $(\rho, \varphi, z)$ au lieu de $(\rho, \theta, z)$. L'avantage est que ainsi l'angle $\varphi$ à la même définition en coordonnées cylindriques et sphériques (c'est donc plus simple et compréhensible pour l'étudiant), et nous rejoignons la norme : https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 (à vérifier)

135 : N3 ($\rightarrow$ N4)

Las coordenadas cilíndricas se escriben / les coordonnées cylindriques s'écrivent / The cylindrical coordinates write :

$(\rho, \varphi, z)$ , $\mathbf{(\rho, \varphi, z)}$

con / avec /with :

$\rho\in [0;\infty[$, $\varphi\in [0;2\pi[$ et $z \in [-\infty;\infty[$ , $\mathbf{\rho\in [0;\infty[}$, $\mathbf{\varphi\in [0;2\pi[}$ et $\mathbf{z \in [-\infty;\infty[}$

Coordenadas cilíndricas de un punto $M$ /coordonnées cylindriques d'un point $M$ / cylindrical coordinates of a point $M$ :

$(\rho_M, \varphi_M, z_M)$,

Escribimos / on écrit / we write :

$M(\rho_M, \varphi_M, z_M)$

Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify :

$M(\rho, \varphi, z)$ , $\mathbf{M(\rho, \varphi, z)}$

140 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] elemento escalar de línea :
[FR] élément scalaire de longueur :
[EN] scalar line element :

$dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}$ , $\mathbf{dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}}$

145 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] Cuando solo la coordenada $\rho$ de un punto $M(\rho, \varphi, z)$ varía continuamente entre los valores $\rho$ y $\rho+\Delta \rho$, el punto $M$ recorre un segmento de longitud $\Delta l_{\rho}=\Delta \rho$. Cuando $\Delta \rho$ tiende a $0$, la longitud infinitesimal $dl_{\rho}$ recorrida para el punto $M$ es :

[FR] Lorsque seule la coordonnées $\rho$ d'un point $M(\rho, \varphi, z)$ varie de façon continue entre les valeurs $\rho$ et $\rho+\Delta \rho$, le point $M$ parcourt un sègment de droite de longueur $\Delta l_{\rho}=\Delta \rho$. Lorsque $\Delta \rho$ tend vers $0$, la longueur infinitésimale $dl_{\rho}$ parcourue pour le point $M$ est :

[EN] When only the $\rho$ coordinate of a point $M(\rho, \varphi, z)$ varies continuously between the values $\rho$ and $\rho+\Delta \rho$, the point $M$ covers a line segment of length $\Delta l_{\rho}=\Delta \rho$. When $\Delta \rho$ tends towards $0$, the infinitesimal length $dl_{\rho}$ covered by the point $M$ is :

$\displaystyle d\rho=\lim_{\Delta \rho\rightarrow 0 \\ \Delta \rho>0} \Delta \rho$ $\quad\Longrightarrow\quad dl_{\rho}=d\rho$, $\mathbf{dl_{\rho}=d\rho}$.

tambien / de même / similarly : $dl_z=dz$ , , $\mathbf{dl_z=dz}$.

[ES] Cuando solo la coordenada $\varphi$ de un punto $M(\rho, \varphi, z)$ varía continuamente entre los valores $\varphi$ y $\varphi +\Delta \varphi$, el punto $M$ recorre un arco de circulo de longitud $\Delta l_{\varphi}=\rho\:\Delta \varphi$. Cuando $\Delta \varphi$ tiende a $0$, la longitud infinitesimal $dl_{\varphi}$ recorrida para el punto $M$ es :

[FR] Lorsque seule la coordonnées $\varphi$ d'un point $M(\rho, \varphi, z)$ varie de façon continue entre les valeurs $\varphi$ et $\varphi +\Delta \varphi$, le point $M$ parcourt un arc de cercle de longueur $\Delta l_{\varphi}=\rho\;\Delta \varphi$. Lorsque $\Delta \varphi$ tend vers $0$, la longueur infinitésimale $dl_{\varphi}$ parcourue pour le point $M$ est :

[EN] When only the $\varphi$ coordinate of a point $M(\rho, \varphi, z)$ varies continuously between the values $\varphi$ and $\varphi+\Delta \varphi$, the point $M$ covers an arc of circle of length $\Delta l_{\varphi}=\rho\,\Delta \varphi$. When $\Delta \varphi$ tends towards $0$, the infinitesimal length $dl_{\varphi}$ covered by the point $M$ is :

$\displaystyle d\varphi=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0 \\ \Delta \varphi>0} \Delta\varphi$ $\quad\Longrightarrow\quad dl_{\phi}=\rho\,d\varphi$ , , $\mathbf{dl_{\varphi}=\rho\,d\varphi}$.

150 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] Cuando solo la coordenada $\rho$ de un punto $M(\rho, \varphi, z)$ aumenta infinitesimalmente entre los valores $\rho$ y $\rho+d\rho$ ($d\rho>0$) para llegar al punto $M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)$, el vector de desplazamiento $\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}$ del punto $M$ es el vector tangente a la trayectoria en el punto $M$, dirigido en la dirección del movimiento, que se escribe :

[FR] Lorsque seule la coordonnées $\rho$ d'un point $M(\rho, \varphi, z)$ s'accroît de façon infinitésimale entre les valeurs $\rho$ et $\rho+d\rho$ ($d\rho>0$) pour atteindre le point $M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)$, le vecteur déplacement $\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}$ du point $M$ est le vecteur tangent à la trajectoire au point $M$, dirigé dans le sens du mouvement, qui s'écrit :

[EN] When only the $\rho$ coordinate of a point $M(x,y,z)$ increases infinitesimally between the values $\rho$ and $\rho+d\rho$ ($d\rho>0$) to reach the point $M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)$, the displacement vector $\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}$ of the point $M$ is the tangent vector to the trajectory at point $M$ oriented in the direction of the movement. It writes :

$\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \rho}\cdot d\rho$

[ES] El vector unitario tangente a la trayectoria $\overrightarrow{e_{\rho}}$ (que indica la dirección y el sentido de desplazamiento del punto $M$ cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada $\rho$ se escribe:

[FR] Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $\overrightarrow{e_{\rho}}$ (qui indique la direction et le sens de déplacement du point $M$ lorsque seule la coordonnée $\rho$ croît de façon infinitésimale) s'écrit :

[EN] The unit vector tangent to the trajectory $\overrightarrow{e_{\rho}}$ (which indicates the direction of displacement of the point $M$ when only the coordinate $\rho$ increases in an infinitesimal way) writes :

$\overrightarrow{e_{\rho}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}||}$

tambien / de même / similarly :

$\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \varphi}\cdot d\varphi$, $\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}||}$
$\partial\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz$, $\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}$

155 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] La norma del vector $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}$ es el elemento escalar de linea $dl_{\rho}$, entonces el vector $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}$ se escribe :

[FR] La norme du vecteur $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}$ est l'élément de longueur $dl_{\rho}$, donc le vecteur $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}$ s'écrit :

[EN] the norm (or length) of the vector $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}$ is the scalar line element $dl_{\rho}$, so the vector $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}$ writes :

$\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}} =d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}$ , $\mathbf{\overrightarrow{dl_{\rho}}=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}}$

tambien / de même / similarly :

$\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}$ , $\mathbf{\overrightarrow{dl_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}}$

[ES] La norma del vector $\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}$ es el elemento escalar de linea $dl_{\varphi}$, entonces el vector $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ se escribe :

[FR] La norme du vecteur $\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}$ est l'élément de longueur $dl_{\varphi}$, donc le vecteur $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ s'écrit :

[EN] the norm (or length) of the vector $\partial\overrightarrow{OM}_{varphi}=\overrightarrow{dl_{varphi}}$ is the scalar line element $dl_{\varphi}$, so the vector $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ writes :

$\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}} =\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}$ , $\mathbf{\overrightarrow{dl_{\varphi}}=\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}}$

160 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] El elemento vectorial de línea o ?? $\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}$ en coordenadas cilíndricas es el vector de desplazamiento del punto $M(\rho, \varphi, z)$ al punto $M'(\rho+ d\rho, \varphi + d\varphi, z+ dz)$ cuando las coordenadas varían infinitesimalmente de $d\rho$, $d\varphi$ y $dz$, y se escribe :

[FR] L'élément vectoriel d'arc ou vecteur déplacement élémentaire $\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}$ en coordonnées cylindriques est le vecteur déplacement du point $M(\rho, \varphi, z)$ au point $M'(\rho+ d\rho, \varphi + d\varphi, z+ dz)$ quand les coordonnées varient infinitésimalement des quantités $d\rho$, $d\varphi$ et $dz$, et il s'écrit :

[EN] The vector line element or vector path element $\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}$ in Cylindrical coordinates is the displacement vector from point $M(\rho, \varphi, z)$ to point $M'(\rho+ d\rho, \varphi + d\varphi, z+ dz)$ when the coordinates vary infinitesimally in quantities $d\rho$, $d\varphi$ and $dz$, and it writes :

$\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}$ $=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}+\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}+\partial\overrightarrow{OM}_z$ $=\overrightarrow{dl_{\rho}}+\overrightarrow{dl_{\varphi}}+\overrightarrow{dl_z}$ $=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}$ $=d\rho\;\overrightarrow{e_x}+\rho\;d\varphi\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}$

$\mathbf{d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dl}}$ $\mathbf{=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}}$ $\mathbf{=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}+\rho\;dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dz\;\overrightarrow{e_z}}$

[ES] y su norma es el elemento scalar de linea :
[FR] et sa norme el l'élément de longueur :
[EN] y its norm (or length) is thescalar line element :

$||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{dl_x^2+dl_y^2+dl_z^2}=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}$

165 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] Los vectores $\overrightarrow{e_{\rho}}$, $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ y $\overrightarrow{e_z}$ forman una base ortonormal del espacio. La base $(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})$ es la base asociada a las coordenadas cilíndricas. En coordenadas cilíndricas, los vectores de base asociadas cambian de direcciónes cuando el punto $M$ se mueve.

[FR] Les vecteurs $\overrightarrow{e_{\rho}}$, $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ y $\overrightarrow{e_z}$ forment une base orthonormée de l'espace. C'est la base associée aux coordonnées cylindriques. En coordonnées cylindriques, les vecteurs de base associés changent de direction lorsque le point $M$ se déplace.

[EN] The vectors $\overrightarrow{e_{\rho}}$, $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ y $\overrightarrow{e_z}$ form an orthonormal basis of space. It is the base associated with cylindrical coordinates. In cylindrical coordinates, the base vectors change of direction when the point $M$ moves.

$||\overrightarrow{e_{\rho}}||=||\overrightarrow{e_{\varphi}}||=||\overrightarrow{e_z}||=1$
$\overrightarrow{e_{\rho}}\perp\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}\perp\overrightarrow{e_z}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\rho}}\perp\overrightarrow{e_z}$

$(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$ base cartesiana directa $\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})$ base cilíndrica asociada directa.
$(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$ base cartésienne directe $\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})$ base cylindrique associée directe.
$(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$ direct Cartesian base $\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})$ direct associated cylindrical base.

$(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})$ base ortogonal dependiente de la posición de $M$ / base orthogonale dépendante de la position de $M$ / orthogonal basis dependent of the position of $M$.

170 : N3 ($\rightarrow$ N4)

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM}(t)\quad\Longrightarrow\quad\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{e_{\rho}} = \overrightarrow{e_{\rho}}(t) \\ \overrightarrow{e_{\varphi}} = \overrightarrow{e_{\varphi}}(t) \\ \overrightarrow{e_z} = \overrightarrow{cst} \\ \end{array} \right.$

175 : N3 ($\rightarrow$ N4)
Método 1 para el cálculo de / Méthode 1 pour le calcul de / Method 1 for the calculation of :
$\dfrac{d e_r}{dt}$ , $\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}$.

$\overrightarrow{e_z}=\overrightarrow{cst}\Longrightarrow\dfrac{d e_z}{dt}=0$

$\overrightarrow{e_\rho}(t)=cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}$$\;+\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}$

$\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=- sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}$$\;+\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}$

en la base cartesiana / dans la base cartésienne / in the Cartesian base $(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$ :

$\overrightarrow{e_{\rho}}(t)= \left| \begin{array}{l} cos\,\varphi(t) \\ sin\,\varphi(t) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$ , $\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)= \left|\begin{array}{l} -\,sin\,\varphi(t) \\ cos\,\varphi(t) \\ 0 \\ \end{array}\right.$

[ES] ? En el marco de referencia $\mathcal{R}(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)$ del observador, es decir cuando la origen del espacio $O$ es fija y los tres vectores base verifican

[FR] Dans le référentiel $\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)$ de l'observateur, c'est à dire dans le référentiel où le repère cartésien $(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$ est fixe, donc tel que l'origine $O$ est fixe et les trois vecteurs de base vérifient

[EN] In the reference frame $\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)$ of the observer, i.e.when the origin $O$ is fixed and the three base vectors satisfy

$\dfrac{d\overrightarrow{e_x}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_y}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=0$ :

recordando / en se rappelant / reminding : $(fg)'=f'g+fg'$

$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}= \left| \begin{array}{l} cos\,\varphi(t) \,]\\ sin\,\varphi(t)\, ] \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$ $\quad = \left| \begin{array}{l} \dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\ \\ \dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\ \\ \dfrac{d\,0}{dt} \\ \end{array} \right.\quad$

y recordando / et en se rappelant / and reminding : $(f \circ g)'=(f' \circ g)\,g'$ ,

$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}= \left| \begin{array}{l} -\;sin\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\ \\ cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\ \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$ $=\dfrac{d\varphi}{dt}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}$

$\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}$

tambien / de même / similarly :

$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}= \left| \begin{array}{l} \dfrac{d\,[-\,sin\,\varphi(t)]}{dt} \\ \\ \dfrac{d\cos\,\varphi(t)}{dt} \\ \\ \dfrac{d\;0}{dt} \\ \end{array} \right.\quad$ $\quad= \left| \begin{array}{l} -\,cos\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\ -\,sin\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$ $\quad\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}$

$\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}$

180 : N3 ($\rightarrow$ N4)
Método 2 para el cálculo de / Méthode 2 pour le calcul de / Method 2 for the calculation of :
$\dfrac{d e_{\rho}}{dt}$ , $\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}$

$\overrightarrow{e_{\rho}}=cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}$ $\;+\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}$$\;+\;0\;\overrightarrow{e_z}$ $=\overrightarrow{e_{\rho}}(\varphi)$
$\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}$ $\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}\;+\;0\;\overrightarrow{e_z}$ $=\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\varphi)$

$\overrightarrow{e_{\rho}}=\overrightarrow{e_{\rho}}(\varphi)$ et $\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\varphi)$ $\quad\Longrightarrow\quad$ pour une variation infinitésimale $d\varphi$, $\overrightarrow{e_{\rho}}$ et $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ varient de :

$d\overrightarrow{e_{\rho}}=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\cdot d\varphi$
$d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}\cdot d\varphi$

con / avec / with

$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}= \left|\begin{array}{l} \dfrac{d\;cos\,\varphi}{d\varphi} \\ \\ \dfrac{d\;sin\,\varphi}{d\varphi} \\ \\ \dfrac{d\;0}{d\varphi} \\ \end{array} \right.\quad$ $=\left|\begin{array}{l} -\,sin\,\varphi \\ cos\,\varphi \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$ $=\overrightarrow{e_{\varphi}}$

$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}= \left|\begin{array}{l} \dfrac{d\;(-\,sin\,\varphi}{d\varphi} \\ \\ \dfrac{d\;cos\,\varphi}{d\varphi} \\ \\ \dfrac{d\;0}{d\varphi} \\ \end{array} \right.\quad$ $=\left|\begin{array}{l} -\,cos\,\varphi \\ -\,sin\,\varphi \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$ $=-\,\overrightarrow{e_{\rho}}$

$\varphi=\varphi(t)\quad\Longrightarrow\quad$ pour unè variation infinitésimale $dt$ , $\varphi$ varie de :

$d\varphi=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt$

$\Longrightarrow\quad$ pour une variation infinitésimale $dt$, $\overrightarrow{e_{\rho}}$ et $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ varient de :

$d\overrightarrow{e_{\rho}}\quad=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt$$\quad=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot \dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\quad=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$

$d\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt$ $\quad=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot \dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}\quad=-,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot \overrightarrow{e_{\rho}}`$

$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}=\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}$

$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot \overrightarrow{e_{\rho}}$

$\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=\overrightarrow{0}$

181 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] Expresión general del vector de velocidad instantánea en coordenadas cilíndricas :
[FR] Expression générale du vecteur vitesse instantanée en coordonnés cylindriques :
[EN] General expression of the instantaneous velocity vector in cylindrical coordinates :

$\overrightarrow{v}(t)=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}\quad=\dfrac{d}{dt}\left[\,\rho(t)\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}(t)\,+\,z(t)\cdot\overrightarrow{e_z}\,\right]$

$\quad=\dfrac{d\rho(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}(t)\;+\;\rho(t)\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}(t)}{dt}\;+\; \dfrac{dz(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{e_z}$

$\quad=\dfrac{d\rho}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}\;+\;\rho\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}\;+\;\dfrac{dz}{dt}\cdot\overrightarrow{e_z}$

$\quad=\dfrac{d\rho}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}\;+\;\rho\cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \cdot \overrightarrow{e_{\varphi}} \;+\;\dfrac{dz}{dt}\cdot\overrightarrow{e_z}$

$\mathbf{\overrightarrow{v}(t)=\dfrac{\overrightarrow{dl}}{dt}=\dfrac{d\rho}{dt}\;\overrightarrow{e_{\rho}}\;+\;\rho\; \dfrac{d\varphi}{dt} \;\overrightarrow{e_{\varphi}} \;+\;\dfrac{dz}{dt}\;\overrightarrow{e_z}}$

182 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] En la mecánica clásica, las interacciones entre cuerpos materiales se traducen en términos de fuerza $\vec{F}$ y conducen a una aceleración $\vec{a}$ de cada cuerpo en interacción proporcional a la inversa de su masa de inercia $m_I$ : $\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}$ (o $\vec{F}=m_I\;\vec{a}$ , ver capítulo mecánico). Como el vector de aceleración es la segunda derivada temporal del vector de posición, es posible que necesitemos conocer la segunda derivada temporal de los vectores base para el estudio del movimiento.

[FR] En mécanique classique, les interactions entre les corps matériels se traduisent en terme de force $\vec{F}$, et conduisent à une accélération $\vec{a}$ de chaque corps en interaction proportionnelle à l'inverse de sa masse d'inertie $m_I$ : $\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}$ (ou $\vec{F}=m_I\;\vec{a}$ , voir chapitre mécanique). Dans l'étude du mouvement, nous aurons besoin d'étendre l'étude à la dérivée seconde des vecteurs de base. Comme le vecteur accélaration est la dérivée seconde du vecteur position, nous pourrions avoir besoin de connaître la dérivée seconde par rapport au temps des vecteurs de base pour l'étude du mouvement.

[EN] In classical mechanics, the interactions between material bodies are expressed in terms of force $\vec{F}$ , and lead to an acceleration of each interacting body proportional to the inverse of its mass of inertia $m_I$ : $\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}$ (or $\vec{F}=m_I\;\vec{a}$ , see mechanical chapter). As the acceleration vector is the second time derivative of the position vector, when studying the motion we might need to know the second time derivative of the base vectors.

$\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt^2}\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}\right)\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\right)$ $\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\varphi}{dt}\right)\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\, +\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\dfrac{d}{dt}\left(\overrightarrow{e_{\varphi}}\right)$

$\quad=\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}$$\quad=\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \left( -\,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot e_{\rho}\right) $ $\quad=\dfrac{d^2\,\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}} \,-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\rho}$

$\mathbf{\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt^2}=-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\rho}\,+\,\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}$

[ES] ¡Atención! No confunda $\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}$ y $\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 $ (dar un ejemplo).

[FR] Attention ! Ne pas confondre $\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}$ et $\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 $ (donner un exemple).

[EN] Look out ! Do not confuse $\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}$ and $\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 $ (give an example).

$\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt^2}\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}\right)\quad=\dfrac{d}{dt}\left(-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}\right)$ $\quad=-\,\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right) \cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,- \,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot \dfrac{d}{dt} \left( \overrightarrow{e_{\rho}} \right)$ $\quad=-\,\dfrac{d^2\varphi}{dt^2} \cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,-\, \dfrac{d\varphi}{dt} \cdot \dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}$ $\quad=-\,\dfrac{d^2\varphi}{dt^2} \cdot \overrightarrow{e_{\rho}}\,-\,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot \left( \dfrac{d\varphi}{dt} \cdot e_{\varphi} \right) $ $\quad=-\,\dfrac{d^2\,\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\varphi}$

$\mathbf{\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt^2} =-\,\dfrac{d^2\,\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\varphi}}$

$\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_z}}{dt^2} \quad = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\,\overrightarrow{e_z}}{dt} \right) \quad = \dfrac{d\,\overrightarrow{0}}{dt} \quad = \overrightarrow{0}$

$\mathbf{\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_z}}{dt^2}=\overrightarrow{0}}$

185 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] La norma del vector $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}$ es el elemento escalar de linea $dl_{\rho}$, entonces el vector $\overrightarrow{e_{\rho}}$ se escribe :

[FR] La norme du vecteur $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}$ est l'élément de longueur $dl_{\rho}$, donc le vecteur $\overrightarrow{e_{\rho}}$ s'écrit :

[EN] the norm (or length) of the vector $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}$ is the scalar line element $dl_{\rho}$, so the vector $\overrightarrow{e_{\rho}}$ writes :

$\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}} =\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}$

tambien / de même / similarly :

$\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}$

$\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}} =\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}$

190 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] Los 3 vectores $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad$, $\quad\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad$ y $\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}$ son 2 a 2 ortogonales.

[FR] Les 3 vecteurs $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad$, $\quad\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad$ et $\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}$ sont orthogonaux 2 à 2.

[EN] The 3 vectors $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad$, $\quad\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad$ and $\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}$ are 2 to 2 orthogonal.

$\Longrightarrow$ :

[ES] ¡Atención! El área de un elemento de superficie construido por 2 de estos vectores no es el producto de sus normas. Tambien el volumen definido por estos 3 vectores no será simplemente el producto de sus normas.

[FR] Attention ! L'aire d'un élément de surface construit par 2 de ces vecteurs n'est' pas le produit de leurs normes. Et le volume définit par ces 3 vecteurs n'est le produit de leurs normes.

[EN] Warning! The area of a surface element constructed by 2 of these vectors is not the product of their norms. And the volume defined by these 3 vectors is not the product of their norms.

195 : N3 ($\rightarrow$ N4)
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-06.

[ES] Según la dirección elegida, los elementos escalares de superficie $dA$ en coordenadas cartesianas son :
[FR] Selon la direction choisie, les éléments scalaires de surface $dA$ en coordonnées cartésiennes sont :
[EN] According to the chosen direction, the scalar surface elements $dA$ in Cartesian coordinates are :

$dA_{\rho\varphi}=dl_{\rho}\;dl\varphi=d\rho\cdot\rho\;d\varphi\quad$, $\quad dA_{\rho z}=dl_{\rho}\;dlz=d\rho\;dz\quad$, $\quad dA_{\varphi z}=dl_{\varphi}\;dlz=\rho\,d\varphi\;dz$

http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-07.
[ES] y los elementos vectoriales de superficie $\overrightarrow{dA}$ correspondiente son :
[FR] et les éléments vectoriels de surface $\overrightarrow{dA}$ correspondants sont :
[EN] and the corresponding vector surface elements $\overrightarrow{dA}$ are :

$d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}\land\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}$ $=\overrightarrow{dl_{\rho}}\land\overrightarrow{dl_{\varphi}}$ $= (dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})\land(dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})$ $=dl_{\rho}\;dl_{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})$ $=d\rho\;\rho\,d{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})$

$d\overrightarrow{A_{\varphi z}}=\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}\land\partial\overrightarrow{OM}_z$ $=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\land\overrightarrow{dl_z}$ $= (dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})\land (dl_z\;\overrightarrow{e_z})$ $=dl_{\varphi}\;dl_z\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})$ $=\rho\,d\varphi\;dz\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})$

$d\overrightarrow{A_{z \rho}}=\partial\overrightarrow{OM}_z\land\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}$ $=\overrightarrow{dl_z}\land\overrightarrow{dl_{\rho}}$ $=(dl_z\;\overrightarrow{e_z})\land(dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})$ $=dl_z\;dl_{\rho}\;(\overrightarrow{e_z}\land\overrightarrow{e_{\rho}})$. $=dz\;d\rho\;(\overrightarrow{e_z}\land\overrightarrow{e_{\rho}})$.

[ES] :

[FR] Base cartésien de référence $(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$ directe $\Longrightarrow$ base cylindrique $(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})$ directe $\Longrightarrow$ :

[EN] :

$\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}}=+\,\overrightarrow{e_z}$ $\Longrightarrow d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=+\,d\rho\;\rho\,d{\varphi}\,\overrightarrow{e_z})$.
$\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_z}=-\,\overrightarrow{e_{\varphi}}$ $\Longrightarrow d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=+\,d\rho\;\rho\,d{\varphi}\,\overrightarrow{e_z})$.

[ES] :
[FR] Base cartésien de référence $(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$ indirecte $\Longrightarrow$ base cylindrique $(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})$ indirecte $\Longrightarrow$ :
[EN] :

$\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}}=-\,\overrightarrow{e_z}$. $\Longrightarrow d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=-\,d\rho\;\rho\,d{\varphi}\,\overrightarrow{e_z})$.

Coordenadas esféricas / Coordonnées sphériques / Spherical coordinates (N3-N4)

200 : N3

[ES] En una parte "más allá" (inserte en verde en la parte principal, o desarrollo cultural en la parte "más allá" del curso), responder a la siguiente pregunta :
¿Por qué en coordenadas esféricas, elegir un ángulo $\theta$ definido desde un polo y que varía de $0$ a $\pi$? ¿Por qué no tomar el ángulo conocido de latitud $l$ de las coordenadas geográficas, definidas desde el ecuador y que varían de $-\pi/2 $ à $+\pi/2$?
Porque el cálculo integral del volumen o de la área de la esfera con un angle $l$ variando de $-\pi/2$ a $+\pi/2 $ daría un resultado igual a cero .

[FR] Dans une partie "au-delà" (insert en vert dans la partie principale, ou développement culturel dans la partie "au-delà" du cours), répondre à la question suivante :
Pourquoi en coordonnées sphériques, choisir un angle $\theta$ défini à partir d'un pôle et variant de $0$ à $\pi$ ? Pourquoi ne pas reprendre l'angle de latitude $l$ des coordonnées géographique, défini à partir de l'équateur et qui varie de $-\pi/2$ à $+\pi/2$ ?
Parce que la calcul intégrale du volume ou de la surface de la sphère en faisant varier $l$ de $-\pi/2$ à $+\pi/2$ donnerait chaque fois un résultat égal à zéro.

[EN] In a "beyond" part (insert in green in the main part, or cultural development in the "beyond" part of the course), answer the following question :
Why in spherical coordinates, to choose an angle $\theta$ defined from a pole and varying from $0$ to $\pi$? Why not take the well-known angle of latitude $l$ from the geographic coordinates, defined from the equator and which varies from $-\pi/2$ to $+\pi/2 $? < br> Because the integral calculation of the volume or area of the sphere by varying $l$ from $-\pi/2$ to $+\pi/2$ would each time give a result equal to zero.

205 : N3 ($\rightarrow$ N4)

Las coordenadas esféricas se escriben / les coordonnées sphériques s'écrivent / The spherical coordinates write :
$(r, \theta, \varphi)$,
con / avec /with :
$r\in [0;\infty[$, $\theta\in[0,\pi]$ et $\varphi\in [0;2\pi[$.
Coordenadas esféricas de un punto $M$ / Coordonnées sphériques d'un point $M$ / Spherical coordinates of a point $M$ :
$(r_M, \theta_M, \varphi_M)$,
Escribimos / on écrit / we write :
$M(r_M, \theta_M, \varphi_M)$
Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify ;
$M(r, \theta, \varphi)$, $\mathbf{M=M(\rho, \theta, \varphi)}$

210 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] elemento escalar de línea :
[FR] élément scalaire de longueur :
[EN] scalar line element :

$dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}$ , $\mathbf{dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}}$

215 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] Vector de posición (o vector de posición) de un punto $M(x,y,z)$ en coordenadas esféricas :
[FR] Vecteur position d'un point $M(r,\theta,\varphi)$ en coordonnées sphériques :
[EN] Position vector of a point $M(x,y,z)$ in spherical coordinates:

$\overrightarrow{OM}=r\;\overrightarrow{e_r}$ , $\mathbf{\overrightarrow{OM}=r\;\overrightarrow{e_r}}$

220 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] Elemento de volumen $d\large\tau$ en coordenadas esféricas :
[FR] Élément de volume $d\large\tau$ en coordonnées sphériques :
[EN] Volume element $d\large\tau$ in spherical coordinates:

$d{\large\tau} =\rho^2\;sin\,\theta\;dr\;d\theta\;d\varphi$ , $\mathbf{d{\large\tau} =\rho^2\;sin\,\theta\;dr\;d\theta\;d\varphi}$.

225 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] Cuando solo la coordenada $r$ de un punto $M(r, \theta, \varphi)$ varía continuamente entre los valores $r$ y $r+\Delta r$, el punto $M$ recorre un segmento de longitud $\Delta l_r=\Delta r$. Cuando $\Delta r$ tiende a $0$, la longitud infinitesimal $dl_r$ recorrida para el punto $M$ es :

[FR] Lorsque seule la coordonnées $r$ d'un point $M(r, \theta, \varphi)$ varie de façon continue entre les valeurs $r$ et $r+\Delta r$, le point $M$ parcourt un sègment de droite de longueur $\Delta l_r=\Delta r$. Lorsque $\Delta r$ tend vers $0$, la longueur infinitésimale $dl_r$ parcourue pour le point $M$ est :

[EN] When only the $r$ coordinate of a point $M(r, \theta, \varphi)$ varies continuously between the values $r$ and $r+\Delta r$, the point $M$ covers a line segment of length $\Delta l_r=\Delta r$. When $\Delta r$ tends towards $0$, the infinitesimal length $dl_r$ covered by the point $M$ is :

$\displaystyle dr=\lim_{\Delta r\rightarrow 0 \\ \Delta r>0} \Delta r$ $\quad\Longrightarrow\quad dl_r=dr$ , $\mathbf{dl_r=dr}$

[ES] Cuando solo la coordenada $\theta$ de un punto $M(r, \theta, \varphi)$ varía continuamente entre los valores $\theta$ y $\theta +\Delta \theta$, el punto $M$ recorre un arco de circulo de longitud $\Delta l_{\theta}=r\:\Delta \theta$. Cuando $\Delta \theta$ tiende a $0$, la longitud infinitesimal $dl_{\theta}$ recorrida para el punto $M$ es :

[FR] Lorsque seule la coordonnées $\theta$ d'un point $M(r, \theta, \varphi)$ varie de façon continue entre les valeurs $\theta$ et $\theta +\Delta \theta$, le point $M$ parcourt un arc de cercle de longueur $\Delta l_{\theta}=r\;\Delta \theta$. Lorsque $\Delta \theta$ tend vers $0$, la longueur infinitésimale $dl_{\theta}$ parcourue pour le point $M$ est :

[EN] When only the $\theta$ coordinate of a point $M(r, \theta, \varphi)$ varies continuously between the values $\theta$ and $\theta+\Delta \theta$, the point $M$ covers an arc of circle of length $\Delta l_{\theta}=r\,\Delta \theta$. When $\Delta \theta$ tends towards $0$, the infinitesimal length $dl_{\theta}$ covered by the point $M$ is :

$\displaystyle d\theta=\lim_{\Delta \theta\rightarrow 0 \\ \Delta \theta>0} \Delta\theta$ $\quad\Longrightarrow\quad dl_{\theta}=r\,d\theta$ , $\mathbf{dl_{\theta}=r\,d\theta}$
[ES] Cuando solo la coordenada $\varphi$ de un punto $M(r, \theta, \varphi)$ varía continuamente entre los valores $\varphi$ y $\varphi +\Delta \varphi$, el punto $M$ recorre un arco de circulo de longitud $\Delta l_{\varphi}=r\;sin\,\theta\;\Delta \varphi$. Cuando $\Delta \varphi$ tiende a $0$, la longitud infinitesimal $dl_{\varphi}$ recorrida para el punto $M$ es :

[FR] Lorsque seule la coordonnées $\varphi$ d'un point $M(r, \theta, \varphi)$ varie de façon continue entre les valeurs $\varphi$ et $\varphi +\Delta \varphi$, le point $M$ parcourt un arc de cercle de longueur $\Delta l_{\varphi}=r \;sin\,\theta\;\Delta \varphi$. Lorsque $\Delta \varphi$ tend vers $0$, la longueur infinitésimale $dl_{\varphi}$ parcourue pour le point $M$ est :

[EN] When only the $\varphi$ coordinate of a point $M(r, \theta, \varphi)$ varies continuously between the values $\varphi$ and $\varphi+\Delta \varphi$, the point $M$ covers an arc of circle of length $\Delta l_{\varphi}=r \;sin\,\theta\;\Delta \varphi$. When $\Delta \varphi$ tends towards $0$, the infinitesimal length $dl_{\varphi}$ covered by the point $M$ is :

$\displaystyle d\varphi=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0 \\ \Delta \varphi>0} \Delta\varphi$ $\quad\Longrightarrow\quad dl_{\varphi}=r\;sin\,\theta\;d\varphi$ , $\mathbf{dl_{\varphi}=r\;sin\,\theta\;d\varphi}$

230 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] Los vectores $\overrightarrow{e_r}$, $\overrightarrow{e_{\theta}}$ y $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ forman una base ortonormal del espacio. La base $(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})$ es la base asociada a las coordenadas esféricas. En coordenadas esféricas, los vectores de base asociadas cambian de direcciónes cuando el punto $M$ se mueve.

[FR] Les vecteurs $\overrightarrow{e_r}$, $\overrightarrow{e_{\theta}}$ et $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ forment une base orthonormée de l'espace. La base $(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})$ est la base associée aux coordonnées sphériques. En coordonnées sphériques, les vecteurs de base associés changent de direction lorsque le point $M$ se déplace.

[EN] The vectors $\overrightarrow{e_r}$, $\overrightarrow{e_{\theta}}$ and $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ form an orthonormal basis of space. The base $(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})$ is the base associated with spherical coordinates. In spherical coordinates, the base vectors change of direction when the point $M$ moves.

$||\overrightarrow{e_r}||=||\overrightarrow{e_{\theta}}||=||\overrightarrow{e_{\varphi}}||=1$

$\overrightarrow{e_r}\perp\overrightarrow{e_{\theta}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\theta}}\perp\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}\perp\overrightarrow{e_r}$

$(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$ base cartesiana directa $\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})$ base esférica asociada directa.
$(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$ base cartésienne directe $\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})$ base sphérique associée directe.
$(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$ direct Cartesian base $\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})$ direct associated spherical base.

$\overrightarrow{e_r}=sin\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}$$\;+\;sin\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}$$\;+\;cos\,\theta\;\overrightarrow{e_z}$

$\overrightarrow{e_{\theta}}=cos\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}$$\;+\;cos\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}$$\;-\;sin\,\theta\;\overrightarrow{e_z}$

$\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}$$\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}$

235 : N3 ($\rightarrow$ N4)
Método 1 para el cálculo de / Méthode 1 pour le calcul de / Method 1 for the calculation of :
$\dfrac{d e_r}{dt}$ , $\dfrac{d e_{\theta}}{dt}$ , $\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}$

$(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})$ base ortogonal dependiente de la posición de $M$ / base orthogonale dépendante de la position de $M$ / orthogonal basis dependent of the position of $M$.

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM}(t)\quad\Longrightarrow\quad\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{e_r} = \overrightarrow{e_r}(t) \\ \overrightarrow{e_{\theta}} = \overrightarrow{e_{\theta}}(t) \\ \overrightarrow{e_{\varphi}} = \overrightarrow{e_{\varphi}}(t) \\ \end{array} \right.$

$\overrightarrow{e_r}(t)=sin\,\theta(t)\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}$$\;+\;sin\,\theta(t)\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}$$\;+\;cos\,\theta(t)\;\overrightarrow{e_z}$

$\overrightarrow{e_{\theta}}(t)=cos\,\theta(t)\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}$$\;+\;cos\,\theta(t)\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}$$\;-\;sin\,\theta(t)\;\overrightarrow{e_z}$

$\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=- sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}$$\;+\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}$

en la base cartesiana / dans la base cartésienne / in the Cartesian base $(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$ :

$\overrightarrow{e_r}(t)= \left| \begin{array}{l} sin\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \\ sin\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t) \\ cos\,\theta(t) \\ \end{array} \right.\quad$ , $\quad\overrightarrow{e_{\theta}}(t)= \left|\begin{array}{l} cos\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \\ cos\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t) \\ -\,sin\,\theta(t) \\ \end{array}\right.\quad$ , $\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)= \left|\begin{array}{l} -\,sin\,\varphi(t) \\ cos\,\varphi(t) \\ 0 \\ \end{array}\right.$

[EN] In the reference frame $\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)$ of the observer, i.e.when the origin $O$ is fixed and the three base vectors satisfy

$\dfrac{d\overrightarrow{e_x}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_y}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=0$ :

recordando / en se rappelant / reminding : $(fg)'=f'g+fg'$

$\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}= \left| \begin{array}{l} \dfrac{d}{dt} [\,sin\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \,]\\ \\ \dfrac{d}{dt} [\, sin\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t)\, ] \\ \\ \dfrac{d}{dt} [\, cos\,\theta(t)\, ] \\ \end{array} \right.\quad$ $\quad = \left| \begin{array}{l} \dfrac{d\,sin\,\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;+\;sin\,\theta\cdot \dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\ \\ \dfrac{d\,sin\,\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\;sin\,\theta\cdot \dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\ \\ \dfrac{d\,cos\,\theta}{dt} \\ \end{array} \right.\quad$

y recordando / et en se rappelant / and reminding : $(f \circ g)'=(f' \circ g)\,g'$ ,

$\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}= \left| \begin{array}{l} cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;-\; sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\ \\ cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\; sin\,\theta \cdot cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\ \\ -\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt} \\ \end{array} \right.\quad$

$\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}= \dfrac{d\theta}{dt}\cdot \left| \begin{array}{l} cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ -\,sin\,\theta \\ \end{array} \right.$ $\;+\; sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \left| \begin{array}{l} -\,sin\,\varphi \\ cos\,\varphi \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$

$\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}+sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}$

$\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}+sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}$

tambien / de même / similarly :

$\dfrac{d\overrightarrow{e_\theta}}{dt}= \left| \begin{array}{l} \dfrac{d}{dt} [\,cos\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \,]\\ \\ \dfrac{d}{dt} [\, cos\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t)\, ] \\ \\ \dfrac{d}{dt} [-\, sin\,\theta(t)\, ] \\ \end{array} \right.\quad$ $\quad = \left| \begin{array}{l} \dfrac{d\,cos\,\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;+\;cos\,\theta\cdot \dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\ \\ \dfrac{d\,cos\,\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\;cos\,\theta\cdot \dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\ \\ -\,\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt} \\ \end{array} \right.\quad$

$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}= \left| \begin{array}{l} -\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;-\; cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\ \\ -\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\; cos\,\theta \cdot cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\ \\ -\,cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt} \\ \end{array} \right.\quad$

$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}= \dfrac{d\theta}{dt}\cdot \left| \begin{array}{l} -\,sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ -\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ -\,cos\,\theta \\ \end{array} \right.$ $\;+\; cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \left| \begin{array}{l} -\,sin\,\varphi \\ cos\,\varphi \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$

$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}+cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}$

$\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}+cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}$

$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}= \left| \begin{array}{l} \dfrac{d\,[-\,sin\,\varphi(t)]}{dt} \\ \dfrac{d\cos\,\varphi(t)}{dt} \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$ $\quad= \left| \begin{array}{l} -\,cos\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\ -\,sin\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$

$\quad\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}$

$\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}$

avec $\overrightarrow{e_{\rho}}$ vecteur de la base cylindrique / con $\overrightarrow{e_{\rho}}$ vector de la base cilíndrica / with $\overrightarrow{e_{\rho}}$ vector of cylindrical base : $(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\phi}}, \overrightarrow{e_z})$.

240 : N3 ($\rightarrow$ N4)
Método 2 para el cálculo de / Méthode 2 pour le calcul de / Method 2 for the calculation of :
$\dfrac{d e_r}{dt}$ , $\dfrac{d e_{\theta}}{dt}$ , $\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}$

$\overrightarrow{e_r}=sin\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}$ $\;+\;sin\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}$$\;+\;cos\,\theta\;\overrightarrow{e_z}$ $=\overrightarrow{e_r}(\theta, \varphi)$
$\overrightarrow{e_{\theta}}=cos\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}$ $\;+\;cos\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}$ $\;-\;sin\,\theta\;\overrightarrow{e_z}$ $=\overrightarrow{e_{\theta}}(\theta, \varphi)$
$\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}$ $\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}$ $=\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\theta, \varphi)$

$d\overrightarrow{e_r}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi$
$d\overrightarrow{e_{\theta}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi$
$d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi$

$\theta=\theta(t)$ , $\varphi=\varphi(t)\quad\Longrightarrow\quad$ pour un même $dt$ infinitésimal, $\theta$ et $\varphi$ varient de :

$d\theta=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt$ et $d\varphi=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt$

$\Longrightarrow\quad$ pour un même $dt$ infinitésimal :

$d\overrightarrow{e_r}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt$
$d\overrightarrow{e_{\theta}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt$
$d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt$

$\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}$
$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}$
$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}$

$\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}= \left|\begin{array}{l} \dfrac{\partial}{\partial\theta}(sin\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ \dfrac{\partial}{\partial\theta}(sin\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\ \dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta) \\ \end{array} \right.\quad$ $=\left|\begin{array}{l} cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ -\,sin\,\theta \\ \end{array} \right.\quad$ $=\overrightarrow{e_{\theta}}$

$\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}= \left|\begin{array}{l} \dfrac{\partial}{\partial\varphi}(sin\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ \dfrac{\partial}{\partial\varphi}(sin\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\ \dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta) \\ \end{array} \right.\quad$ $=\left|\begin{array}{l} -\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$ $=sin\,\theta\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}$

$\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}= \left|\begin{array}{l} \dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ \dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\ \dfrac{\partial}{\partial\theta}(-\,sin\,\theta) \\ \end{array} \right.\quad$ $=\left|\begin{array}{l} -\,sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ -\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ -\,cos\,\theta \\ \end{array} \right.\quad$ $=-\,\overrightarrow{e_r}$

$\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}= \left|\begin{array}{l} \dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ \dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta\cdot sin\,\varphi)] \\ \dfrac{\partial}{\partial\varphi}(-\,sin\,\theta) \\ \end{array} \right.\quad$ $=\left|\begin{array}{l} -\,cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$ $=cos\,\theta\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}$

$\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}= \left|\begin{array}{l} \dfrac{\partial}{\partial\theta}(-\,sin\,\varphi) \\ \dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\varphi) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$ $= \left|\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$ $=\overrightarrow{0}$

$\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}= \left|\begin{array}{l} \dfrac{\partial}{\partial\varphi}(-\,sin\,\varphi) \\ \dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\varphi) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$ $= \left|\begin{array}{l} -\,cos\,\varphi \\ -\,sin\,\varphi \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$ $=-\,\overrightarrow{e_{\rho}}$

$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}$ $=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\cos\,\theta\,\overrightarrow{e_{\varphi}}$

$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}$ $=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{0}\,-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}$

245 : N3 ($\rightarrow$ N4)

[ES] Expresión general del vector de velocidad instantánea en coordenadas esféricas :
[FR] Expression générale du vecteur vitesse instantanée en coordonnés sphériques :
[EN] General expression of the instantaneous velocity vector in spherical coordinates :

$\overrightarrow{v}(t)=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left[\,r(t)\cdot\overrightarrow{e_r}(t)\,\right]$$\quad=\dfrac{dr(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r(t)}\;+\;r(t)\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}(t)}{dt}$ $\quad=\dfrac{dr}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\;+\;r\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}$ $\quad=\dfrac{dr}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\;+\;r\cdot\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}\,+\,r \cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\sin\,\theta\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}$

$\mathbf{\overrightarrow{v}(t)=\dfrac{\overrightarrow{dl}}{dt}=\dfrac{dr}{dt}\;\overrightarrow{e_r}\;+\;r\,\dfrac{d\theta}{dt}\,\overrightarrow{e_{\theta}}\,+\,r \;\dfrac{d\varphi}{dt}\;\sin\,\theta\;\overrightarrow{e_{\varphi}}}$

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Elementos del curso : las sistemas de coordenadas / Eléments de cours : les systèmes de coordonnées / Course elements : the coordinate systems

Sistema de coordenadas / Système de coordonnées / Coordinate system

En mecánica clásica / En mécanique classique / In classical mechanics

Coordenadas cartesianas / Coordonnées cartésiennes / Catesian coordinates (N2-N3- N4)

Coordenadas cilíndricas / Coordonnées cylindriques / Cylindrical coordinates (N3-N4)

Coordenadas esféricas / Coordonnées sphériques / Spherical coordinates (N3-N4)

Coordenadas curvilíneas generalizadas / Coordonnées curvilignes généralisées / Generalized curvilinear coordinates (N4)

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