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Les 4 équations de Maxwell
Les équations de Maxwell locales précises les propriétés du champ électromagnétique en tout point de l'espace.
$div \overrightarrow{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}$
$\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$
$div \overrightarrow{B} = 0$
$\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}$
$\rho$ est la densité volumique de charge totale.
$\overrightarrow{j}$ est la densité volumique de courant totale.
Équations de Maxwell et conservation de la charge
Équations de Maxwell et propagation du champ électromagnétique
Équations de Maxwell et énergie électromagnétique
Complément à l'électromagnétisme de Maxwell
Le spectre électromagnétique
Rappel de l'équation d'onde d'un champ vectoriel
équation d'onde simple
$\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{v_{\phi}} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=0$
de solution
équation d'onde amortie
$\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{v_{\phi}} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}= \beta \; \dfrac{\partial \overrightarrow{X}}{\partial t}$
où $\beta$ est le terme d'amortissement
de solution
L'expression de l'opérateur Laplacien vectoriel $\Delta$ en fonction des opérateurs $grad$, $div$ et $rot$ est :
$\Delta =\overrightarrow{grad} \left(div\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\right)$
Equation d'onde pour le champ électromagnétique
(Ou "Etude du Laplacien du champ électromagnétique")
Pour établir l'expression $\;\;\Delta \overrightarrow{E}\;\;$, je calcule
$\;\;\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)\;\;$ puis
$\;\;\overrightarrow{grad} \left(div \overrightarrow{E}\right)\;\;$ à partir des équations
de Maxwell :
-
$
\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)= \overrightarrow{rot} \,\left( -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)$
En physique classique non relativiste, espace et temps sont découplés. Les coordonnées spatiales et la coordonnée temporelle sont indépendantes. L'ordre de dérivation ou intégration entre des coordonnées spatiales et la coordonnés temporelle ne change pas le résultat, donc je peux écrire :
$\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)= -\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\overrightarrow{rot}\overrightarrow{B}\right)$
$\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)= -\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right)$
$\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right) =-\mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}$ -
$
\overrightarrow{grad} \left( div \; \overrightarrow{E} \right) = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right)$
La reconstruction de
$\Delta \;\overrightarrow{E} =\overrightarrow{grad} \left(div\;\overrightarrow{E}\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)$
donne :
$\Delta \;\overrightarrow{E} = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right) + \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}$
ce qui donne par identification au premier terme de l'équation d'onde :
$\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \; \overrightarrow{grad}\left(\rho \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} $