7.6 KiB
| title | published | visible |
|---|---|---|
| Ondes électromagnétiques dans la matière | true | false |
(en construction)
###Propagation dans les milieux L.H.I.
####Principe général de la propagation d'un signal électromagnétique dans un matériau
Equations de propagation dans un milieu
L'équation de propagation des champs électrique et magnétique d'une onde se propageant
dans un milieu fait intervenir la densité de charge $\rho$ et la densité de courant
de charge $\vec{j}$ du milieu. Pour le champ électrique, les variations temporelles
et spatiales de $\vec{E}$ sont ainsi liées à $\rho$ et $\vec{j}$ de la façon
suivante :
$\Delta\vec{E}\left(M,t\right)-\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}\vec{E}\left(M,t\right)}{\partial t^{2}}$
$=\dfrac{1}{\varepsilon_{0}}\;grad\left(\rho\left(M,t\right)\right)+\mu_{0}\dfrac{\partial\vec{j}\left(M,t\right)}{\partial t}$
r, le passage de l'onde dans le milieu va nécessairement perturber l'équilibre électrostatique
des charges présentes dans celui-ci et contribuer ainsi localement à leur mouvement
et/ou à leur accumulation. Afin de résoudre les équations de propagation, il est donc
nécessaire de connaître les relations de dépendance de $\rho$ et $\vec{j}$ à $\vec{E}$
et $`\vec{B}$. Dans ces conditions seulement, il sera possible d'obtenir la forme exacte
de l'onde électromagnétique qui se propage dans le milieu en question.
Notion d'échelle mésoscopique
La dépendance du mouvement des charges à l'onde é.m. qui se propage ne peut pas être
déterminée expérimentalement à l'échelle microscopique. A cette échelle en effet,
on passe sur de très courtes distances d'une situation où le point considéré est
proche d'un noyau (de charge positive) à celle où il est plutôt proche d'un électron
(de charge négative). Cela signifie que les champs électriques et magnétiques locaux
$\vec{E}_{\textrm{local}}$ et $\vec{B}_{\textrm{local}}$ fluctuent de façon très
abrupte lorsque l'on considère le problème à l'échelle atomique. Il n'est donc pas
possible d'en évaluer l'orientation et l'amplitude, ni même de déterminer
$\rho_{\textrm{local}}$ et $\vec{j}_{\textrm{local}}$. Pour décrire le système,
il faut donc travailler à une échelle intermédiaire entre l'échelle microscopique
et l'échelle macroscopique : on la définira comme l'échelle mésoscopique. Les grandeurs
étudiées seront alors des moyennes spatiales des grandeurs locales réalisées sur des
volumes mésoscopiques. La dimension caractéristique de ces volumes est de l'ordre de
3 à 10 nm. A cette échelle, on s'affranchit des fluctuations rapides de densité de
charge (et donc de champ électrique) liées à la structure de l'atome dont la dimension
caractéristique est inférieure à l'Angström ($10^{-10}\,m)$.
Ainsi :
$\vec{E}=\langle \vec{E}_{\textrm{local}}\rangle_{3 - 10~\textrm{nm}}$ et
$\vec{B}=\langle \vec{B}_{\textrm{local}}\rangle_{3 - 10~\textrm{nm}}$
Suite au choix de cette échelle, on doit nécessairement se limiter aux ondes é.m.
dont les champs ne varient que très peu sur des distances de 3 à 10 nm, i.e. $\lambda\gg 3$
nm, soit $\lambda\geq$ 300 nm. En considérant une vitesse de phase égale à $c$,
cela signifie qu'on doit se limiter à des fréquences $\nu \leq 10^{15}$ Hz. Cette
condition sera vérifiée dans la suite du cours et nous permettra de définir des relations
"macroscopiques" entre $\rho$, $\vec{j}$, $\vec{E}$ et $\vec{B}$.
Décomposition d'un signal électromagnétique périodique en une somme d'OPPM (série de Fourier)
Tant que l'on reste dans un régime linéaire pour le comportement du milieu vis à
vis des champs électrique et magnétique des ondes qui s'y propagent, on peut considérer
que si plusieurs ondes vérifient les équations de propagation, alors tout signal représenté
comme la combinaison linéaire de ces ondes vérifie lui aussi les équations de propagation.
Or, tout signal périodique peut être décomposer en une somme de fonctions sinusoïdales
selon l'équation suivante (en notation complexe avec $T$ la période):
$f(u)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_{n}(f)\cdot e^{2i\pi\frac{n}{T}u}$
De ce fait, on pourra se limiter dans la suite du cours à l'étude des signaux é.m. les plus simples, c'est-à-dire les OPPMs.
Notion de vitesse de groupe
Lorsque l'on étudie la propagation d'un paquet d'ondes (ensemble d'OPPMs caractérisant
un signal réel par exemple) dans un milieu, chacune d'entre elles est caractérisée par
sa pulsation $\omega$, donc par son nombre d'onde $k$ et par une certaine vitesse
de phase $v_\varphi$ qui en découle. Pour des pulsations différentes, la vitesse
de phase peut varier. De ce fait, les ondes du paquet ne se déplacent pas toutes à
la même allure et le paquet se disperse dans le temps en fonction de la distance
parcourue dans le milieu. On peut définir une vitesse de propagation du paquet d'onde,
appelée vitesse de groupe $v_g$, qui tient compte de cette dispersion et qui se
détermine de la façon suivante :
$v_g = \dfrac{\omega}{k}.$
La vitesse de groupe est une des grandeurs caractéristiques de la propagation des ondes dans un milieu comme nous allons le voir par la suite.
Propriétés des milieux
Afin de résoudre l'équation de propagation des champs, il est nécessaire d'introduire
d'abord quelques notions sur le comportement des milieux soumis à des champs électrique
et magnétique. Nous allons nous intéresser à l'interaction de trois principaux types
de milieu avec $\vec{E}$ et $\vec{B}$.
Milieux conducteurs : conductivité
Les milieux conducteurs sont définis comme les milieux contenant des charges électriques
libres de se déplacer. Ils comprennent donc les métaux qui sont de bons conducteurs,
les solutions ioniques et les plasmas (gaz ionisés). Les conducteurs sont caractérisés
par une densité de charges libres $\rho_{\textrm{libre}}$ (en $C.m^{-3}$), et par
une conductivité $\sigma$ (en $\Omega.m$^{-1}$).
Lorsque ces charges libres sont soumises à un champ électrique, elles se mettent
en mouvement et génèrent une densité volumique de courant de charges libre $\overrightarrow{j}_{lib}$
caractérisée par la loi d'Ohm locale :
$\vec{j}_{\textrm{lib}}=\sigma \vec{E}$
Cette relation reste valide si le champ électrique varie avec le temps. La réponse à un champ électrique tend à annuler la cause : la séparation des charges positives et négatives dans des directions opposées vis à vis du champ électrique appliqué génère un champ électrique induit opposé et dont l'amplitude augmente jusqu'à annuler totalement le champ initial. Le conducteur revient alors à l'équilibre électrostatique. Ce retour à l'équilibre est relativement rapide dans le cas des très bons conducteurs et on peut considérer alors qu'une onde é.m. ne peut pas y pénétrer car le champ électrique moyen y est maintenu nul constamment (voir le modèle du métal parfait en fin de chapitre).
Milieux diélectriques : polarisation
Les milieux diélectriques (ou isolants) sont caractérisés par la présence de charges
dites de polarisation ou liées (par opposition aux charges libres). Sous l'influence
d'un champ électrique, ces charges peuvent se déplacer sur des distances limitées
(électron en interaction forte avec un noyau par exemple). La séparation locale
des charges induit la création de petits moments dipolaires dont la somme $\Delta\vec{p}$
sur un volume mésoscopique $\Delta\tau$ est caractérisée par le vecteur polarisation
diélectrique $\vec{P}$ telle que :
$\vec{P}=\dfrac{\Delta\vec{p}}{\Delta\tau}$