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title : Équilibre électrostatique dans les diélectriques published : true visible : true
[en construction] (revue sur site)
Équilibre électrostatique dans les diélectriques
Code des couleurs et des symboles
- Code des couleurs pour les signes des charges + et -, pour les charges libres et de charges de polarisation.
Figure 1.
Qu'est ce qu'un diélectrique?
-
Milieu diélectrique = milieu ne possédant pas de charges libres.
$\Longrightarrow\:$ charges liées entre elles, au sein de leur groupement neutre (atomique, moléculaire ou cristallin) d'appartenance.
$\Longrightarrow\:$ pas de courant de conduction : pas de déplacement de charge possible sur des distances mésoscopiques ou macroscopiques sous l'action d'un champ extérieur $\overrightarrow{E_{ext}}$
$\Longrightarrow\:$ milieu diélectrique = milieu isolant électrique. -
Comme tout milieu matériel, un milieu diélectrique possède des charges liées.
au sein des groupements neutres constituant le milieu.
$\Longrightarrow\:$ courant de polarisation possible : par déplacement de charge sur une infime distance intra-atomique sous l'action d'un champ extérieur.
$\Longrightarrow\:$ à l'équilibre statique, présence possible de* **dipôles électriques** = *séparation des centres des charges négatives et positives* au sein de chaque groupement neutre.
Rappel : qu'est-ce qu'un moment dipolaire électrique $\overrightarrow{p}$?
-
un vecteur $
\overrightarrow{p}$ qui caractérise un dipôle électrique. -
moment dipolaire électrique $
\overrightarrow{p}=+q\cdot \overrightarrow{NP}$ : vecteur $N$ est le centre de charge de la charge négative $-q$ du dipôle, $P$ le centre de sa charge positive $+q$.
Figure 2.
-
unité SI : $
C\;m$
unité usuelle : le Debye, de symbole D, avec $1D \simeq 3,336\times 10^{-30}\,C\;m$,
élément de comparaison : $1D \simeq 0,39\;e\;a_0$, avec $- e$ charge de l'électron ($e=1,602\times 10^{-19}\,C)$ et $a_0$ rayon de Bohr de l'atome d'hydrogène (distance moyenne entre l'électron et le proton : $a_0 =5,3\times 10^{-11}\,m$). -
Intérêt de $
\overrightarrow{p}$ : le champ électrique créé à grande distance (devant sa taille) par un dipôle électrique s'exprime simplement en fonction de $\overrightarrow{p}$ :
Figure 3.
Quels sont les phénomènes à l'origine de moments dipolaires ?
2 types de moments dipolaires :
- moment dipolaire électronique : infime décalage du centre de charge ( - ) du nuage électronique par rapport au centre de charge ( + ) des protons au sein de chaque groupement (atomique, moléculaire, cristallin).
- moment dipolaire atomique : le centre de charge des ions négatifs ne coïncide pas avec le centre de charge des ions positifs au sein d'un groupement moléculaire ou cristallin dépourvus de centre de symétrie.
ordre de grandeur : de** 0 à 10 D**, (pour la *molécule d'eau : $p_{H2O}=1,84\,D= 6,14\times 10^{-30}\,C\,m$*$\;,\; d_{O-H}=9,6\times 10^{-11}\;m$
Qu'est-ce que le vecteur polarisation $\overrightarrow{P}$?
-
Au sein de la matière les dipoles sont contenu dans un volume de dimension atomique.
-
Un volume mésoscopique est un volume :
▪ de taille grande devant l'échelle atomique caractéristique des entités élémentaires ou des variations des champs induits, afin de définir des moyennes spatiales pertinentes.
▪ de taille quasi-ponctuelle devant l'échelle de description macroscopique de la matière, de façon que les moyennes spatiales définies et mesurées varient continuement
Figure 4 : Volume mésoscopique, contient N entités élémentaires, avec N grand (>10 000)
-
Le vecteur polarisation $
\overrightarrow{P}$ :
▪ caractérise l'état de polarisation dans chaque volume mésoscopique $\Delta\tau$.
▪ c'est le vecteur densité de moment dipolaire :
$\displaystyle\overrightarrow{P}=\dfrac{1}{\Delta\tau}\sum_{i\in\Delta\tau}\overrightarrow{p_i}$ -
unité SI : $
C\;m^2$ -
Au sein d'un diélectrique :
▪ $\overrightarrow{P}=\overrightarrow{cst}$ $\Longrightarrow$ polarisation uniforme.
▪ $\overrightarrow{P}$ varie continument $\Longrightarrow$ polarisation non uniforme.
En absence d'un champ électrique extérieur, un diélectrique contient-il des dipôles?
- Les groupements atomiques, moléculaires ou cristallins possèdent souvent des moments dipolaires électriques permanents $
\overrightarrow{p_i}$.
Figure 5.
En absence d'un champ électrique extérieur, un diélectrique est t-il polarisé électriquement ?
- En général, les dipôles élémentaires ont chacun une orientation aléatoire
$\Longrightarrow\;\overrightarrow{P}$$\;=\dfrac{1}{\Delta\tau}\sum_{i\in\Delta\tau}\overrightarrow{p_i}$$\;=\overrightarrow{0}$
Figure 6.
Comment un champ électrique extérieur $\overrightarrow{E}$ polarise un diélectrique?
-
Un champ électrique uniforme à l'échelle d'un dipôle électrique
$\Longrightarrow\;$ couple non nul qui tend à orienter le dipôle en direction du champ.
$\Longrightarrow\;$ force résultante nulle sur le dipôle. -
L'application d'un champ électrique extérieur $
\overrightarrow{E_{ext}}$ dans un volume mésoscopique $\Delta\tau$
$\Longrightarrow\;$ création de dipôles d'orientation moyenne en direction de $\overrightarrow{E_{ext}}$
ou $\Longrightarrow\;$ réorientation des dipôles préexistants vers une direction moyenne selon $\overrightarrow{E_{ext}}$ -
L'application d'un champ électrique extérieur stationnaire
$\Longrightarrow\;$ un transitoire non mesurable. $\Longrightarrow\;$ établissement d'un équilibre où le diélectrique a une polarisation non nulle
Figure 7.
Comment un champ électrique $\overrightarrow{E}$ dans un diélectrique créé des moments dipolaires électriques $\overrightarrow{p}$ ?
3 processus fondamentaux de polarisation :
-
Polarisation électronique :
Le champ électrique induit des moments dipolaires électroniques. -
Polarisation atomique :
Le champ électrique induit des moments dipolaires atomiques. -
Polarisation d'orientation :
Si le matériau contient des moments dipolaires permanents, mais dont les orientations aléatoires ne présentent aucune direction privilégiée, le matériau est alors non polarisé électriquement $\vec{P}=0$. En exerçant un couple sur chaque moment dipolaires permanent, un champ extérieur peut amener les dipôles à s'orienter préférentiellement en direction du champ. Le matériau se polarise ainsi électriquement sous l'effet du champ électrique extérieur.
Quel est la relation entre le champ électrique $\overrightarrow{E}$ et la polarisation induite $\overrightarrow{P} ?$
-
La polarisation induite $
\overrightarrow{P}$ est une fonction de $\overrightarrow{E}$ $\overrightarrow{P} = \overrightarrow{P}(\overrightarrow{E})$ -
Si le milieu est linéaire (L)
$\Longrightarrow\; ||\overrightarrow{P}|| \propto ||\overrightarrow{E}||$ : les normes des vecteurs $\overrightarrow{P}$ et $\overrightarrow{E}$ varient proportionnellement. $ -
Si le milieu est homogène et isotrope (HI)
$\Longrightarrow\; \overrightarrow{P} // \overrightarrow{E}$ : les vecteurs $\overrightarrow{P}$ et $\overrightarrow{E}$ ont même direction. -
Si le milieu est linéaire, homogène et isotrope (LHI)
$\Longrightarrow\; \overrightarrow{P} \propto \overrightarrow{E}$ : les vecteurs $\overrightarrow{P}$ et $\overrightarrow{E}$ sont proportionnels.
Qu'est-ce que la susceptibilité électrique d'un milieu ?
-
Pour un milieu homogène, isotrope et linéaire (LHI), la susceptibilité électrique notée $
\chi$ est le rapport de proportionnalité entre $\overrightarrow{P}$ et $\epsilon_0\,\overrightarrow{E}$
$\chi=\dfrac{\overrightarrow{P}}{\epsilon_0\,\overrightarrow{E}}\,$$\Longrightarrow\;\overrightarrow{P}=\epsilon_0\,\chi\, \overrightarrow{E}$ -
unité SI : sans unité (scalaire pur)
Un diélectrique polarisé reste-il neutre dans son volume?
La polarisation est uniforme
-
Polarisation uniforme $
\Longrightarrow\overrightarrow{P}(\overrightarrow{r})=\overrightarrow{const}$
$\Longrightarrow$ pas de variation de $\overrightarrow{P}$ d'un volume mésoscopique $\Delta\tau$ à un autre.
$\Longrightarrow$ pas de variation de $\overrightarrow{P}$ si le volume mésoscopique $\Delta\tau$ considéré se déplace d'une fraction de sa longueur. -
Pour simplifier, considère le dipôle électrique moyen de moment dipolaire $
\overrightarrow{p} = q^+\;\overrightarrow{d}$ dans le diélectrique. Ce dipôle électrique est électriquement neutre. -
Dans tout volume mésoscopique $
\Delta\tau$, les dipôles internes, situés entièrement à l'intérieur de $\Delta\tau$, ont une charge total nulle. Les dipôles frontières, situés de par et d'autre de la surface frontière de $\Delta\tau$, ont l'une de leur charge à l'intérieur de $\Delta\tau$ et l'autre à l'extérieur, et sont donc susceptibles de rompre la neutralité $\rho=0$ caractérisant $\Delta\tau$.
Figure 8.
- Pour chaque face de $
\Delta\tau$, les dipôles frontières ont leurs centres localisés dans un volume $dS\cdot d\cdot\cos\,\theta$ où $\theta$ est l'angle que fait l'axe du dipôle avec la normale à la surface.
Figure 9.
-
Pour deux faces opposées, une polarisation uniforme implique que statistiquement autant de charges positives que de charges négatives des dipôles frontières sont maintenues dans $
\Delta\tau$. Ce résultats se généralise sur les 6 faces, le volume $\Delta\tau$ est neutre. -
Polarisation uniforme $
\Longrightarrow$ diélectrique neutre en volume
$\overrightarrow{P}=\overrightarrow{const}$$\quad\Longrightarrow\quad\rho=0$.
La polarisation est non uniforme
-
Polarisation non uniforme $
\Longrightarrow\overrightarrow{P}$ est fonction de la position $\overrightarrow{r}$
$\Longrightarrow$ variation de $\overrightarrow{P}$ d'un volume mésoscopique $\Delta\tau$ à un autre.
$\Longrightarrow$ variation de $\overrightarrow{P}$ si le volume mésoscopique $\Delta\tau$ considéré se déplace d'une fraction de sa longueur. -
Pour deux faces opposées d'un volume cubique mésoscopique :
- le nombre de dipôles frontières dans le volume $dS\cdot d\cdot\cos\,\theta$ peut différer.
- à densités de dipôles équivalentes, les caractéristiques moyennes des dipôles frontières peuvent varier d'une face à l'autre.
$\Longrightarrow$ les charges d'un type donné (+ ou -) maintenues dans $\Delta\tau$ sur une face ne compensent pas les charges de type opposé maintenues dans $\Delta\tau$ sur la face opposée.
Figures 10 : La répartition des charges, à l'intérieur ou à l'extérieur du volume mésoscopique, des dipôles frontières sur deux faces opposées ne permet pas de garder la neutralité initiale.
Figure 11 : Les volumes qui contiennent les dipôles frontières ne sont pas égaux, le nombre de dipôles frontières, le dipôles friontière moyen varient d'une face à l'autre.
-
Polarisation non uniforme $
\Longrightarrow$ une densité volumique de charge non nulle apparait
$\overrightarrow{P}$ non uniforme $\quad\Longrightarrow\quad\rho\ne0$. -
Etudions le flux des charges créé par les dipôles sur $
\Delta S_1$, l'une des 6 faces de $\Delta\tau$. Prenons la surface noté 1 sur les figures suivantes. Le dipôle frontière moyen à cette face s'écrit $\vec{p_1}=d_1\cdot\vec{d_1}$ et est présent en densité $N_1$. Ces dipôles frontières sont contenus dans le volume $\delta\tau_1=\Delta S\;d_1\;cos\,\theta_1$. -
Les dipôles dans la moitié droite de $
\delta\tau_1$ (voir figure 12) maintiennent leur charge négative $\Delta Q_{out}^1$ hors de $\Delta\tau$, et l'on a :
$\Delta Q_{out}^-=q_1^-\;N_1\;\Delta S\;\dfrac{d_1}{2}\;cos\,\theta_1$. -
Les dipôles dans la moitié gauche de $
\delta\tau_1$ (voir figure 13) maintiennent leur charge positive $\Delta Q_{out}^1$ dans $\Delta\tau$, et l'on a :
$\Delta Q_{out}^+=-\,q_1^+\;N_1\;\Delta S\;\dfrac{d_1}{2}\;cos\,\theta_1$.
Figures 12 et 13.
- Le bilan net des charges qui ont quittées $
\Delta\tau$ sur cette face 1 est :
$\Delta Q_{out}^+ + \Delta Q_{out}^- = -\,q_1^+\;N_1\;\Delta S\;d_1\;cos\,\theta_1$.
Cela apparaît égal au produit scalaire $\vec{P_1}\cdot \vec{dS_1}$.
(les 6 faces $dS_i$ qui forment la frontière du volume $\Delta\tau$ ont leurs vacteurs représentatifs $\vec{dS_i}$ orientés conventionnellement de l'intérieur vers l'extérieur).
Figures 14 et 15.
-
Ce raisonnement peut se reproduire pour chacune des 5 autres faces du volume $
\Delta\tau$. -
Le bilan net des charges qui se maintiennent en dehors de $
\Delta\tau$ s'écrit :
$\Delta Q_{out}^+ + \Delta Q_{out}^- = \displaystyle\sum_{i=1}^6 {\vec{P_i}\cdot \vec{dS_i}}$.
Ce bilan somme la charge total de tous les dipôles forntières de $\Delta\tau$ maintenue à l'extérieur. La loi de conservation de la charge impose que le volume $\Delta\tau$ initialement neutre se charge de la quantité opposée. $\Delta\tau$ est donc caractérisé par une densité volumique de charge $\rho$ égale à l'opposé de la divergence du vecteur polarisation :
$\rho=-\,div\,\overrightarrow{P}$.
Figures 16 et 17.
- Pour revenir au cas précédent, la divergence d'une polarisation uniforme est nulle. Nous en déduisons un fait et une relation très importante :
En tout point d'un matériau diélectrique, la densité volumique de charges liées ( de charge de polarisation) $\rho_{pol}$ est égale à la divergence du vecteur polarisation en ce point.
$\rho_{pol}=-\,div\,\overrightarrow{P}$
Figures 18 et 19.
Y-at-il une densité surfacique de charge $\sigma$ en surface d'un diélectrique de polarisation $\overrightarrow{P}$ uniforme ?
- Pour cherche réponse à cette question, modélisons un volume cubique mésoscopique $
\Delta\tau$ situé dans un matériau polarisé électriquement uniformément, mais à l'interface avec un milieu non polarisable. Nous faisons de plus l'hypothèse que le vecteur polarisation s'annule abruptement à cette interface. les charges liées dans le volume diélectrique $\Delta\tau$ ne peuvent sortir du diélectrique.
Figure 20 : interface abrupte entre un matériau diélectrique polarisé uniformément et un milieu non polarisable.
Figures 21 et 22.
Figures 23 et 24.
Figures 25 et 26.
Figures 27 et 28.
- Á la surface d'un diélectrique de polarisation $
\vec{P}$ apparaît une densité surfacique de charges liées, dites densité surfacique de charge de polarisation $\sigma_{pol}$ telle que :
$\sigma_{pol} = \overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{u}_{surf}$,
où $\overrightarrow{u}_{surf}$ est le vecteur unitaire perpendiculaire à la surface et orienté de l'intérieur vers l'extérieur du diélectrique.
Que se passe-t-il à l'interface entre un diélectrique et un conducteur?
C'est la cas lorsqu'un matériau diélectrique est inséré entre les plaques d'un condensateur.
Soit la surface plane d'un diélectrique en contact avec la surface d'un conducteur *portant à sa surface une densité surfacique de charges libres $\sigma_{lib}$ (C'est le cas présenté sur la figure 30, pour une densité surfacique de charges libres positives dans le conducteur $\sigma_{lib}>0$.
Bien que l'étude des propriétés physiques anistropes soit du niveau supérieur à cause du concept mathématique de tenseur qu'il faut acquériri et maîtriser, nous commencerons par ce cas pour mieux comprendre intuitivement ce qui se passe.
Diélectrique anisotrope
-
Diélectrique anisotrope
$\Longrightarrow$ il existe des directions de plus facile polarisation. $\Longrightarrow$ Les dipôles électriques induits sont orientés autour d'une direction voisine, mais non parallèle au champ électrique $\vec{E}$ créé par la surface chargée du conducteur. -
Le vecteur polarisation $
\vec{P}$ suit la direction moyenne des moments dipolaires électriques.
$\vec{P}$ n'est pas parallèle à $\vec{E}$ -
Une densité surfacique de charges de polarisation, $
\sigma_{pol}$, apparaît à l'interface côté diélectrique telle que :
$\quad \sigma_{pol} = -\,\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{u}$,
Le signe - sur la figure vient du fait que le vecteur unitaire $\overrightarrow{u}$ perpendiculaire à la surface est orienté vers l'intérieur du diélectrique. (Attention ! le signe - doit être rajouté sur les figures 29 à 32). -
La densité surfacique totale de charges $
\sigma$ à l'interface s"écrit maintenant :
$\sigma=\sigma_{lib}+\sigma_{pol}$.
Figure 29.
Diélectrique isotrope
Les même phénomènes se réalisent, avec les différences suivantes :
-
le moment dipolaire moyen $
\vec{p}$, le vecteur polarisation $\vec{P}$ sont maintenant parallèles à la direction de $\vec{E}$. -
le moment dipolaire moyen $
\vec{p}$, le vecteur polarisation $\vec{P}$ sont maintenant parallèles à la direction de $\vec{E}$.
Figure 30.
Qu'est-ce que le vecteur induction électrique $\overrightarrow{D}$ ?
Il est définit par :
- Vecteur induction $
\overrightarrow{D}$ : $\overrightarrow{D}=\epsilon_0\,\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}$
Cas d'un diélectrique anisotrope
Figure 31.
Cas d'un diélectrique isotrope
Figure 32.
Qu'est-ce que la permittivité relative $\epsilon_r$ d'un diélectrique ?
Pour un milieu linéaire, homogène et isotrope (LHI) , la permittivité relative est le nombre réel
$\epsilon_r$ qui vérifie :
$\overrightarrow{D}=\epsilon_0\,\epsilon_r\,\overrightarrow{E}$
Lien entre permittivité relative et susceptibilité électrique
Pour un milieu linéaire, homogène et isotrope (LHI) : $\overrightarrow{P}=\epsilon_0\,\chi\,\overrightarrow{E}$
Donc :
$\overrightarrow{D}=\epsilon_0\,\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}$
$\overrightarrow{D}=\epsilon_0\,\overrightarrow{E}+\epsilon_0\,\chi\,\overrightarrow{E}$**
$\overrightarrow{D}=\epsilon_0\,(1+\chi)\,\overrightarrow{E}$*
$\overrightarrow{D}=\epsilon_0\,\epsilon_r\,\overrightarrow{E}$*
ce qui donne
$\epsilon_r=1+\chi$
Que deviens le théorème de Gauss dans un diélectrique ?
Le théorème de Gauss en fonction de $\overrightarrow{E}$ :
$div\;\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho_{tot}}{\epsilon_0}$
avec $\rho_{tot}=\rho_{lib}+\rho_{pol}$: densité volumique de charge totale.
Nous précisons cela en écrivant :
$div\;\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho_{lib}+\rho_{pol}}{\epsilon_0}$
En remarquant que $\rho_{pol}=-div\;\overrightarrow{E}$ je peux réécrire :
$div\;\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho_{lib}-div\;\overrightarrow{P}}{\epsilon_0}$
$\epsilon_0\;div\;\overrightarrow{E}=\rho_{lib}-div\;\overrightarrow{P}$
$\epsilon_0\;div\;\overrightarrow{E}+div\;\overrightarrow{P}=\rho_{lib}$
$div\left(\epsilon_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}\right)=\rho_{lib}$
Este es un intento de modificación 2/3 para ti, Claudia, para que sepas cómo detectar esta solicitud de modificación, visualizarla y aceptarla o rechazarla.
Le théorème de Gauss en fonction de $\overrightarrow{D}$ :
Identifiant $\epsilon_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}$ au vecteur induction électrique $\overrightarrow{D}$, le théorème de Gauss exprimé avec l'induction électrique s'écrit :
$div\;\overrightarrow{D}=\rho_{lib}$
L'avantage de cette expression est que n'apparait seulement que la densité de charges libres, qui ont été amenées par un courant de conduction mesurable.