8.8 KiB
Proposition 1
Définir les outils mathématiques requis au niveau 2
Pour l'instant, juste une liste de besoins dans une première classification pour ordonner un peu le brainstorming (numération, géométrie, etc). Elle *ne présage pas des titres de chapitres.
Ne présage pas du programme de mathématique, mais permettra de définir un programme "outils mathématiques et concepts physiques", qui sera construit avec les mathématiciens.
Ce thème "Outils mathématiques" sera nécessaire, puisqu'il sera commun à tous les thèmes des sciences expérimentales. Lorsqu'un outil ou concept sera utilisé dans le cours d'un thème particulier, il sera toujours possible d'afficher des éléments d'"Outils mathématiques" dans un mode parallèle.
N'hésitez pas à créer une nouvelle classification si nécessaire.
Les outils mathémétiques de niveau 1 $+$ :
! Numération, opérations et fonction usuelles
-
ensembles de nombres
- des entiers naturels $
\mathbb{N}$ (et $\mathbb{N}^*$) - des entiers relatifs $
\mathbb{Z}$ (et $\mathbb{Z}^*$) - des nombres réels $
\mathbb{R}$ (et $\mathbb{R}^*,\mathbb{R}_+,\mathbb{R}_-, \mathbb{R}_+^*$,...) - des nombres rationnels et irrationnels ? (pas de liens directs en physique, plutôt programme math N2 ou N3?)
- des entiers naturels $
-
factorielle d'un nombre entier nature
-
fonction exponentielle $
exp(x)=e^x$ -
$
log_p\,n$, définie comme :
si $q=p^n$, alors $\log_p(q)=n$, où $n,p,q$ sont des entiers et $p,q$ positifs.
(besoin pour introduire des éléments de physique importants) -
introduction à $
i$ tel que $i^2=-1$ (comme artifice de calcul)
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisme :
-
Fonctions trigonométriques $
\sin$ , $\arcsin$ , $\cos$ , $\arcsin$ , $\tan$ , $\arctan$ -
Les relations de trigonométrie :
- $
\sin(a+b)=\sin\,a\;\cos\,b + \sin\,b\;\cos\,a$ - $
\sin(a-b)=\sin\,a\;\cos\,b - \sin\,b\;\cos\,a$ - $
\cos(a+b)=\cos\,a\;\cos\,b - \sin\,b\;\sin\,a$ - $
\cos(a-b)=\cos\,a\;\cos\,b + \sin\,b\;\sin\,a$
et savoir retrouver les autres
- $
-
L'identité remarquable : $
(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Ensembles et logique
(CME-FR)
Ensembles : Avec l'aide de diagrammes de Venn :
-
complémentaire d'un ensemble $
A$ dans $E$*, noté $\mathbf{\complement_E A}$ -
$
A\cup B = A + B - (A\cap B)$ -
$
(A \cap B)\cap C = A \cap (B \cap C)$ -
$
A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ -
$
A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ -
$
A \cap \complement_E A = \varnothing$ -
$
A \cup \complement_E A = E$ -
Utilisation de $
\forall$ , $\exists$ , $\displaystyle\lim_{x\longrightarrow x_0}$
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Probabilités, statistiques
(CME-FR)
-
Arrangement (tirage de k éléments parmi n sans remise) : $
A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$ -
Combinaison (nombre de combinaisons de k éléments sélectionnés dans un ensemble de n éléments)
$C_n^k=\dfrac{n!}{k!\;(n-k)!}$ -
définition de $
p_A(B)$ -
$
p(A \cap B) = p(A)\times p_A(B)$ -
Statistique à deux variables : droite d'ajustement (méthode des moindres carrés)
! Géométrie et coordonnées
(CME-FR)
-
Règles d'orientation d'un plan : sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre) et sens inverse (sens des aiguilles d'une montre)
-
Coordonnées cartésiennes (2D et 3D) Repère et base cartésiens (2D) composantes vectorielles d'un vecteur (en 2D)
-
Coordonnées polaires : 2D $
(\rho,\varphi)$ et 3D $(\rho,\varphi, z)$ Savoir positionner un point -
Coordonnées sphériques : 2D $
(\theta,\varphi)$ et 3D $(r,\theta,\varphi)$
difference avec longitude, latitude, altiture des coordonnées géographiques -
Projection orthogonale (2D), en relation avec les fonctions sinus et cosinus et le produit scalaire
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Vecteurs et analyse vectorielle
(CME-FR)
-
Représentation intuitive géométrique des vecteurs (longueur, direction et sens)
ou alors dès le niveau 1? -
Addition et soustraction géométriques de vecteurs
ou alors dès le niveau 1? -
composantes d'un vecteur dans une base quelconque, orthogonale, orthonormée 2D
Dans une base euclidienne (2D):
-
produit scalaire de 2 vecteurs en relation avec l'opération de projection orthogonale sur un axe :
$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\lVert \overrightarrow{u} \rVert \cdot \lVert \overrightarrow{v} \rVert \cdot \cos\theta$ -
pour deux vecteurs unitaires et orthogonaux
$\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}=\delta_1^2$ -
pour deux vecteurs exprimés dans une base orthonormée
$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=u_x\,v_x+u_y\,v_y$ -
Norme d'un vecteur et expression dans un base orthonormée, en relation avec Pythagore
$`\lVert\overrightarrow{u}\rVert=\sqrt{u_x^2+u_y^2}=\sqrt{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}}$ -
Expression de l'angle en radian
$\theta=\dfrac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{\lVert \overrightarrow{u} \rVert \cdot \lVert \overrightarrow{v}\rVert }$
! Étude de fonctions
-
Fonction réelle à une variable réelle $
f(x)$- Notion de dérivée en un point $
f'(x_o)$ en relation avec la notion de tangente. - Fonction dérivée $
f'(x)$
- Notion de dérivée en un point $
-
*Tableau de variation, tableau de signe, tracé, représentation graphique, recherche d'extrémum (à partir de la dérivée)
-
dérivée seconde dès ce niveau ? (méca, équilibre), ou alors seulement dans les parties "au-delà" ?
-
notion de primitive et d'intégrale simple dès ce niveau ?, ou alors seulement dans les parties "au-delà" ?
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Équations
-
Équations du second degré : $
a\,x^2 + b\,x + c = 0$ -
Savoir poser en équations un problème qui relève du système d'équations
$\left\{\begin{array}{c} a_1\,x + b_1\,y = c_1 \\ a_2\,x + b_2\,y = c_2 \end{array}\right.$
et le résoudre (de façon non matricielle, mais par substitution, combinaison). -
Savoir poser en équations un problème qui relève du système d'équations
$\left\{\begin{array}{c} a_1\,x + b_1\,y + c_1\,z = d_1 \\ a_2\,x + b_2\,y + c_2\,z = d_2 \\ a_3\,x + b_3\,y + c_3\,z = d_3 \end{array}\right.$
et voir que la résolution (de façon non matricielle) est simple mais fastidieuse.
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)