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| Systèmes de coordonnées | false | false |
[ES] Estos elementos del curso se apoyan en el capítulo anterior "geometrías-espacio-tiempo",
en el marco intuitivo del espacio y el tiempo de Newton, del teorema de Pitágoras y del dominio
de las funciones trigonométricas.
[FR] Ces éléments de cours s'appuient sur le chapitre précédent "geometries-space-time", dans le
cadre intuitif de l'espace et le temps de Newton, du théorème de pythagore et de la maitrise
des fonctions trigonométriques.
[EN] These elements below lean on the previous chapter "geometries-space-time", in the
Newton's intuitive framework of space and time, of the Pythagorean theorem and with
the mastery of the trigonometric functions.
Sistema de coordenadas / Système de coordonnées / Coordinate system
[ES] Se percibe que el espacio tiene 3 dimensiones, y el tiempo una sola dimensión, que va del
pasado al futuro
$\Longrightarrow$ sistema de coordenadas : 3+1=4 números reales que especifican la posición y fecha
en el espacio y el tiempo de cualquier punto o evento $M$.
[FR] L'espace est perçu comme ayant 3 dimensions, et le temps une dimension unique fléché du passé vers le futur
$\Longrightarrow$ système de coordonnées : 3+1=4 nombres réels qui précisent la position
et la date dans l'espace et le temps de tout point ou évènement $M$.
[EN] Space is perceived as having three dimensions, and time a single dimension, arrowed from the past to the future
$\Longrightarrow$ coordinate system : 3+1=4 real numbers which specify the position and the date
in space and time of any point or event $M$.
En mecánica clásica / En mécanique classique / In classical mechanics
y en mecánica cuántica no relativista / et en mécanique quantique non relativiste / and in non-relativistic quantum mechanics :
[ES] El espacio y el tiempo son independientes, por lo que hay dos sistemas de coordenadas independientes :
[FR] L'espace et le temps sont indépendants, donc il y a deux systèmes de coordonnées indépendants :
[EN] Space and time are independent, so there are two independent coordinate systems :
-
Sistema de coordenadas espaciales / système de coordonnées spatiales / spatial coordinate system :
[ES] El espacio euclidiano de la mecánica de Newton tiene tres dimensiones $\Longrightarrow$ 3 números reales son necesarios y suficientes para marcar una posición en el espacio.
[FR] L'espace euclidien de la mécanique de Newton a trois dimensions $\Longrightarrow$ 3 nombres réels sont nécessaires et suffisants pour repérer une position dans l'espace.
[EN] The Euclidean space of Newton's mechanics has three dimensions $\Longrightarrow$ 3 real numbers are necessary and sufficient to locate a position in space. -
Sistema de coordenada temporale / Système de coordonnée temporelle / Time coordinate system :
[ES] El tiempo tiene una dimensión, apuntando del pasado al futuro $\Longrightarrow$ solo un numero real es necesario y suficiente para marcar una fecha en el tiempo.
[FR] Le temps possède une seule dimension $\Longrightarrow$ seul un nombre réel est nécessaire et suffisant pour dater un évènement dans le temps.
[EN] Time has one dimension $\Longrightarrow$ only one real number is necessary and sufficient to date an event in time.
Coordenadas cartesianas / Coordonnées cartésiennes / Cartesian coordinates (N2-N3-N4)
-
N3-N4 : [ES] marco del espacio y del tiempo de Newton, y de la geometría euclidiana.
[FR] cadre de l'espace temps de Newton, et de la géométrie euclidienne.
[EN] framework of Newton's space and time, and Euclidean geometry. -
N2-N3-N4 Las coordenadas cartesianas se escriben / les coordonnées cartésiennes s'écrivent / The artesian coordinates write :
$(x,y,z)$,
con / avec /with : $x\in\mathbb{R}$, $y\in\mathbb{R}$ et $z\in\mathbb{R}$.
Coordenadas cartesianas de un punto $M$ /coordonnées cartésiennes d'un point $M$ / Cartesian coordinates of a point $M$ :
$(x_M,y_M,z_M)$.
Escribimos / on écrit / we write :
$M(x_M,y_M,z_M)$ Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify ;
$M(x,y,z)$.
Característica de los sistemas de coordenadas "cartesianos" / Caractéristique des systèmes de coordonnées "cartésiennes" / Characteristic of "Cartesian" coordinate systems
- N2-N3-N4 [ES] La distancia $
d_ {12}$ entre dos puntos $M_1$ y $M_2$ del espacio, y de coordenadas cartesianas $(x_1, y_1, z_1)$ y $(x_2, y_2, z_2)$ está dado por el teorema de Pitágoras:
[FR] La distance $d_{12}$ entre deux points $M_1$ et $M_2$ dans l'espace, et de coordonnées cartésiennes $(x_1, y_1, z_1)$ et $(x_2, y_2, z_2)$ est donné par le théorème de Pythagore :
[EN] The distance $d_ {12}$ between two points $M_1$ and $M_2$ in space, and of Cartesian coordinates $(x_1, y_1, z_1)$ and $(x_2, y_2, z_2)$ is given by the Pythagorean theorem:
$d_{12}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$
-
N3-N4 [ES] Un punto $
M(x,y,z)$ hace un desplazamiento infinitesimal hasta el punto $M'(x+dx,y+dy,z+dz)$,
el Elemento escalar de línea $dl$ es :
[FR] Un point $M(x,y,z)$ fait un déplacement infinitésimal jusqu'au point $M'(x+dx,y+dy,z+dz)$,
l'élément scalaire de longueur $dl$ est :
[EN] A point $M(x,y,z)$ makes an infinitesimal displacement up to point $M'(x+dx,y+dy,z+dz)$,
the scalar line element $dl$ writes :
$dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}$ -
N3-N4 [ES] elemento vectorial de línea :
[FR] vecteur déplacement élémentaire $\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}$
(http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-02 : Il faudrait mieux dire et écrire élément vectoriel d'arc?) :
[EN] vector line element or veftor path element :
$d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{MM'}=dl\,\overrightarrow{e_T}$,
con / avec / with
-
N3-N4 [ES] Cuando solo la coordenada $
x$ de un punto $M(x,y,z)$ varía continuamente entre los valores $x$ y $x+\Delta x$, el punto M recorre un segmento de longitud $\Delta l_x=\Delta x$. Cuando $x + \Delta x$ tiende a $0$, la longitud infinitesimal $dl_x$ recorrida para el punto $M$ es :
[FR] Lorsque seule la coordonnées $x$ d'un point $M(x,y,z)$ varie de façon continue entre les valeurs $x$ et $x+\Delta x$, le point M parcourt un sègment de droite de longueur $\Delta l_x = \Delta x$. Lorsque $x+\Delta x$ tend vers $0$, la longueur infinitésimale $dl_x$ parcourt pour le point $M$ est :
[EN] When only the $x$ coordinate of a point $M(x, y, z)$ varies continuously between the values $x$ and $x + \Delta x$, the point M covers a line segment of length $\Delta l_x = \Delta x$. When $x + \Delta x$ tends towards $0$, the infinitesimal length $dl_x$ covered by the point $M$ is :
$\displaystyle dx=\lim_{\Delta x\rightarrow 0 \\ \Delta x>0} \Delta x$ $\quad\Longrightarrow\quad dl_x=dx$.
tambien / de même / similarly : $dl_y=dy$ et $dl_z=dz$. -
N3-N4 [ES] Cuando solo la coordenada $
x$ de un punto $M(x,y,z)$ aumenta infinitesimalmente entre los valores $x$ y $x+dx$ ($dx>0$), el vector de desplazamiento $\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x$ del punto $M$ el vector tangente a la trayectoria en el punto $M$ que se escribe :
[FR] Lorsque seule la coordonnées $x$ d'un point $M(x,y,z)$ s'accroît de façon infinitésimale entre les valeurs $x$ et $x+dx$ ($dx>0$), le vecteur déplacement $\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x$ du point $M$ est le vecteur tangent à la trajectoire au point $M$ qui sc'écrit :
When only the $x$ coordinate of a point $M(x,y,z)$ increases infinitesimally between the values $x$ and $x+dx$ ($dx>0$), the displacement vector $\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x$ of the point $M$ is the tangent vector to the trajectory at point $M$. It writes :
$\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x}\cdot dx$
[ES] El vector unitario tangente a la trayectoria $\overrightarrow{e_x}$ (que indica la dirección y el sentido de desplazamiento del punto M cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada x se escribe:
Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $\overrightarrow{e_x}$ (qui indique la direction et le sens de déplacement du point M lorsque seule la coordonnée x croît de façon infinitésimale) s'écrit :
The unit vector tangent to the trajectory $\overrightarrow{e_x}$ (which indicates the direction of displacement of the point M when only the coordinate x increases in an infinitesimal way) writes :
$\overrightarrow{e_x}=\dfarc{\partial\overrightarrow{OM}_x}{||\partial\overrightarrow{OM}_x||}$
$\overrightarrow{e_x}=\dfrac{\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x}}{\left| \left| \dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x} \right| \right|}$.
de même :$\overrightarrow{e_y}=\dfrac{\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y}} {\left| \left| \dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y} \right| \right|}$ et
$\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}}{\left| \left| \dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z} \right| \right|}$.
Les éléments vectoriels d'arc s'écrivent :
Coordonnées cylindriques (N3-N4)
Las coordenadas cartesianas se escriben / les coordonnées cartésiennes s'écrivent / The artesian coordinates write :
$(\rho, \varphi, z)$,
con / avec /with :
$\rho\in [0;\infty[$, $\varphi\in [0;2\pi[$ et $z \in [-\infty;\infty[$.
Coordenadas cartesianas de un punto $M$ /coordonnées cartésiennes d'un point $M$ / Cartesian coordinates of a point $M$ :
$(\rho_M, \varphi_M, z_M)$,
.
Escribimos / on écrit / we write :
$M(\rho_M, \varphi_M, z_M)$
Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify ;
$M(\rho, \varphi, z)$.
[ES] elemento escalar de línea :
[FR] élément de longueur :
[EN] scalar line element :
$dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}$
Coordonnées sphériques (N3-N4)
$M=M(\rho, \theta, \varphi)$
[ES] elemento escalar de línea :
[FR] élément de longueur :
[EN] scalar line element :
$dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}$