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|---|---|---|---|
| Collecte éléments de "Ensembles" | true | true | false |
Colecta de elementos de cursos / Collecte d'éléments de cours / Collecting course items
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Les ensembles au niveau 3, main
Les ensembles
L'inclusion et l'égalité
Définition de l'inclusion
Soient $\mathbf{E}$ et $\mathbf{F}$ deux ensembles.
L'ensemble $\mathbf{E}$ est une partie ou un sous-ensemble de $\mathbf{F}$ si et seulement si tous les éléments de $\mathbf{E}$ sont élements de $\mathbf{F}$, et je dis alors que $\mathbf{E}$ est inclus dans $\mathbf{F}$ ou de façon équivalente que $\mathbf{F}$ contient $\mathbf{E}$
ce que j'écris en écriture mathématique :
- avec le symbole d'inclusion $
\subset$.
$\mathbf{\big(\,E \subset F\,\big) \iff \big (\,\forall x \;,\; x\in E \Longrightarrow x\in F\,\big)}$ - avec le symbole de contenance $
\supset$.
$\mathbf{\big(\,F \supset E\,\big) \iff \big (\,\forall x \;,\; x\in E \Longrightarrow x\in F\,\big)}$
Si au moins un élément de $\mathbf{E}$ n'est pas un élément de $\mathbf{F}$, alors je dis que $\mathbf{E}$ n'est inclus pas dans $\mathbf{F}$ ou de façon équivalente que $\mathbf{F}$ ne contient pas $\mathbf{E}$,
ce que j'écris en écriture mathématique :
- avec le symbole de non inclusion $
\not\subset$.
$\mathbf{\big(\,E \not\subset F\,\big) \iff \big(\,\exists x \;,\; x\in E \land x\not\in F\,\big)}$ - avec le symbole de contenance $
\not\supset$.
$\mathbf{\big(\,F \not\supset E\,\big) \iff \big(\,\exists x \;,\; x\in E \land x\not\in F\,\big)}$
! Remarque :
! Pour démontrer $E \subset F$, je dois démontrer l'implication $\big(\,E \subset F\,\big) \iff \big (\,\forall x \;,\; x\in E \Longrightarrow x\in F\,\big)$.
! Je dois donc écrire "Soit $x\in E$", puis démontrer que $x\in F$.
!
!
! Pour démontrer que E n'est pas inclus dans F, je dois ... !
! démontrer l'implication $\exists x \;,\; x\in E \land x\not\in F$.! Je dois donc écrire "Il existe $
x\in E$", puis démontrer qu'il existe au moins un élément de $E$ qui n'est pas élément de $F$.
! !!! Exemples :
!!! * $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $
!!! * $\{3\} \subset \mathbb{N}$
!!! * $\{-1\,,6\} \subset \mathbb{Z}$
!!! * $\{\sqrt{2}\,,0\} \not\subset \mathbb{Q}$
Définition de l'égalité
Les deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux si et seulement si :
- tout élément de $
E$ est élément de $F$ et tout élément de $F$ est élément de $E$,
ce qui s'écrit en écriture mathématique :
$\mathbf{\big(\,E=F\,\big) \Longleftrightarrow\big(\,\forall x \;,\; x\in E \Longleftrightarrow x\in F\,\big)}$
ce qui est équivalent à dire
- $
E$ est inclus dans $F$ et $F$ est inclus dans $E$,
ce qui s'écrit en écriture mathématique :
$\mathbf{\big(\,E=F\,\big) \Longleftrightarrow\big(\,E \subset F \land F \subset E\,\big)}$
! Remarque :
! Pour montrrer que deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux, je dois démontrer pour tout $x$ l'équivalence $(x \in E \iff x \in F)$.
! Je pose donc un $x$ quelconque, puis
! * soit je raisonne directement par équivalence et montre que $(x \in E \iff x \in F)$.
! * soit je démontre deux implications, c'est à dire une double inclusion :
! - d'abord je montre que $(E \subset F)$,
! c'est à dire que si $x\in E$ alors $x\in F$
! - puis je montre que $(F \subset E)$,
! c'est à dire que si $x\in F$ alorsS $x\in E$.
!!! Exemple :
!!! il faut développer complètement un exemple ici.
!!! Les travaux personnels de l'apprenant seront mis dans la partie "au-delà" de ce cours, avec pour certains dans un menu déroulant, d'abord des indices, puis une solution.
!!!! Attention :.
!!!! Ne pas confondre $\in$ et $\subset$.
!!!! Si $x$ est un élément, et $E\,,F\,,G$ des ensembles, je peux avoir $x\in E$ et $F\subset G$.
!!!!
!!!! Un élément peut être considéré comme un ensemble.
!!!! Par exemple :
!!!! * une droite est un ensemble de points.
!!!! * une droite est aussi un élément de l'ensemble des droites du plan qui le contient.
Transitivité de l'inclusion
Soit $\mathbf{E}$ un ensemble,
et soient $\mathbf{A\,,B\,,C}$ trois sous-ensembles (ou parties) de $\mathbf{E}$.
La transitivité de l'inclusion exprime le fait que
si $\mathbf{A}$ est inclus dans $\mathbf{B}$, et que ce même $\mathbf{B}$ est inclus dans $\mathbf{C}$, alors je peux dire avec certitude que $\mathbf{A}$ est inclus dans $\mathbf{C}$,
ce qui s'écrit en écriture mathématique :
$\mathbf{\big[\,\big(\,A \subset B\,\big) \land \big(\,B \subset C\,\big)\,\big] \iff \big(\,A \subset C\,\big)}$
Démonstration
Je pars de l'hypothèse que $\,A \subset B$ et que $\,B \subset C$, et je dois prouver que $\,A \subset C$.
Comme $A$ est inclus dans $B$, alors tout élément de $A$ est élément de $B$ :
$\big(\,\,A \subset B\,\big) \Longrightarrow \big(\,\forall x\;,\; x\in A \Longrightarrow x\in B\,\big)$.
De même l'inclusion de $B$ dans $C$ implique que tout élément de $B$ est élément de $C$ :
$\big(\,\,B \subset C\,\big) \Longrightarrow \big(\,\forall x\;,\; x\in B \Longrightarrow x\in C\,\big)$.
Ceci me permet de dire qu'alors tout élément de $A$ est élément de $C$,
Comment écrire cela correctement ?
$\left. \begin{array}{l} \forall x\;,\; x\in A \Longrightarrow x\in B \\ \quad\;\;\; x\in B \Longrightarrow x\in C \end{array} \right\}\Longrightarrow x\in A \Longrightarrow x\in C$
$\forall x\;,$
$\left. \begin{array}{l} \big(\, x\in A \Longrightarrow x\in B\,\big) \\ \big(\,x\in B \Longrightarrow x\in C\,\big) \end{array}\right\}\Longrightarrow \big(\, x\in A \Longrightarrow x\in C\,\big)$
$\forall x\;,$
$\left. \begin{array}{c} \big(\, x\in A \Longrightarrow x\in B\,\big) \\ \land \\ \big(\,x\in B \Longrightarrow x\in C\,\big) \end{array} \right\}\Longrightarrow \big(\, x\in A \Longrightarrow x\in C\,\big)$
$\forall x\;,$ $\;\big[\big(\, x\in A \Longrightarrow x\in B\,\big) \land \big(\,x\in B \Longrightarrow x\in C\,\big)\big]$
$\Longrightarrow \big(\, x\in A \Longrightarrow x\in C\,\big)$
Ce qui prouve la transitivité de l'inclusion :
$\big[\,\big(\,A \subset B\,\big) \land \big(\,B \subset C\,\big)\,\big] \iff \big(\,A \subset C\,\big)$
Transitivité de l'égalité
Soit $\mathbf{E}$ un ensemble,
et soient $\mathbf{A\,,B\,,C}$ trois sous-ensembles (ou parties) de $\mathbf{E}$.
La transitivité de l'égalité exprime le fait que
si *$\mathbf{A=B}$ et si $\mathbf{B=C}$, alors $\mathbf{A=C}$,
ce qui s'écrit en écriture mathématique :
$\mathbf{\big[\,\big(\,A = B\,\big) \land \big(\,B = C\,\big)\,\big] \iff \big(\,A = C\,\big)}$
Démonstration
Je pars de l'hypothèse que $A = B$ et $B = C$.
Par définition j'ai $A \subset B$ et $B \subset C$, et la transitivité de l'inclusion implique $A \subset C$.
De même, $B \subset A$ et $C \subset A$ impliquent $C \subset A$.
Il en résulte que $A = C$.
Opération sur les parties de $E$
Le complémentaire d'un ensemble $E$
Définition
Soit $E$ un ensemble, et $A$ un sous-ensemble de $E$.
Le complémentaire de $A$ dans $E$, noté $\mathbf{\complement_E A}$, est l'ensemble des éléments de $E$ qui n'appartiennent pas à $A$ :
$\mathbf{\complement_E A=\{x\in E\,,\, x \notin A\}}$
! Remarques :
!
! * $\complement_E A$ est un sous-ensemble de $E$.
!
! * $\mathbf{\complement_E A}$ peut aussi se noter $\mathbf{\overline{A}}$ ou $\mathbf{A^c}$ lorsque l'ensemble $E$ sur lequel la complémentarité s'applique est bien spécifié avant, et qu'il n'y a pas d'autre risque de confusion.
!!! Exemple :
!!! Soient $E=\{1\,,2\,,3\,,4\,,5\} \;,\; A=\{1\,,3\}\subset E \;,\; B=\{2\,,4\,,5\}\subset E$.
!!! Nous avons :
!!! $\complement_E A=\{2\,,4\,,5\}=B$.
!!! $\complement_E A\,(\complement_E A) =\{1\,,3\}=A$.
!!! $\complement_E B=\{1\,,3\}=A$.
!!! $A+\complement_E A) =E$
!!! $B+\complement_E B) =E$
Proposition
Soient un ensemble $E$, et $A$ et $B$ deux sous-ensembles de $E$.
Les deux assertions suivantes sont vraies :
Le complémentaire du complémentaire
L'ensemble vide
Existence de ensemble vide
Théorème
Démonstration
! Remarques :
! ....