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!!!! COURS EN CONSTRUCTION :
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Pour illustrer le thème des grands nombres
La légende situe la sc Nécessaire à la seconde loi de la thermo : croissance de l'entropie. Faire prendre conscience que le cerveau humain ne gère absolument pas les grands nombres. Avec la légende de Sissa : Le sage Sissa invente le jeu d'échec pour divertir le roi Belkib. Pour le remercier, le Roi souhaite exaucer le Mettre un grain de riz sur la première case, deux grains sur la deuxième, quatre sur la troisième, 8 sur la quatrième, etc.... en doublant à chaque fois le nombre de grains de riz jusqu'à la dernière case de l'échiquier.
Quelle est la légende de l'échiquier de Sissa ?
Combien de bols de riz faut-il pour remplir l'échiquier ?
J'écris d'abord la formule mathématique qui décrit comment calculer le nombre de grains de riz nécessaire pour répondre au souhait de Sissa :
$\text{nombre de grains requis pour l'échiquier}$
$\quad = \overset{\text{case 1}}{1} + \overset{\text{case 2}}{2} + \overset{\text{case 3}}{(2\times 2)}$
$+ \overset{\text{case 4}}{(2\times 2\times 2)} + ... + \overset{\text{case 64}}{\underset{\text{2 écrit 63 fois}}{\underbrace{(2\times 2\times 2\times ... \times 2)}}}$
Ce calcul ne semble vraiment pas compliqué à faire si j'ai un peu ... beaucoup!... de temps. Il ne s'agit que de multiplications par le chiffre 2, et d'additions. Le nombre de grains que je trouverais est :
$\quad = \text{18 446 744 073 709 551 615 grains}$
C'est un peu plus que dix-huit milliards de milliard de grains de riz. Cela semble vraiment beaucoup ! C'est ce que j'appelle un grand nombre. J'ai l'intuition certaine que trois bole sont largement insuffisants. Que faudra-t-il pour contenir tout ce riz? Cela représente combien de silots à grains?
Note : Le calcul relève au moins du niveau 2, manipuler les puissances, etc... mais c'est peut-être bien dans dire un mot dans une partie "au-delà".
C'est un nombre énorme ! Combien de ... tonnes de riz cela représente-t-il?
$\text{masse de 100 grains de riz}\sim 3\,\text{grammes}$
$\text{masse totale de riz}\sim\dfrac{\text{nombre de grains}}{100}\times \text{masse de 100 grains}$
Il faudra expliquer le symbole $\sim$
$M_{riz}= \dfrac{18\;446\;744\;073\;709\;551\;615}{100}\times 3\,g$
=...
On obtient ainsi 18 446 744 073 709 551 615 grains
Et une réflexion sur ce que représente ce chiffre de $2^{64}$, en évaluant
à la louche, avec une petite expérience que chacun peut faire, la masse de riz que cela représente :
Ramenez au temps qu'il faudrait pour compter ces grains, ou pour observer l'évènement, le dernier grains sur la 64ème case est posé.
Avec l'idée de montrer que si la fréquence d'un évènement est trop faible, même si mathématiquement elle n'est pas nulle, en pratique elle ne s'observera jamais.
Ca, manipuler l'exposant, c'est plutôt lycée, niveau 2 : (mais on peut peut-être le mettre dans un apparté "Pour aller plus loin")
$2^{64}=\underset{\text{2 écrit 64 fois}}{\underbrace{2\times 2\times 2\times ... \times 2}}$
Bon ... là je mets juste pour reprendre toute cela plus tard, et ne pas oublier. Mais là! ... dodo.
Pour illustrer le thème de la flèche du temps, croissance de l'entropie
Entropie, l'exemple classique du verre qui se brise et ne se reconstitue jamais.
Exemple que nous suivrons sur les 4 niveaux, tant il y a à développer et dire.
C'est l'exemple type toujours utilisé pour illustrer la notion d'une entropie qui ne peut que croître. Et tous les exemples sur ce thème le traitent à peu près de la même façon, alors que c'est vraiment le thème que l'on peut développer du niveau 1 au niveau 4. Il y a pleins de choses à dire, de complexité et réflexion croissantes, des niveaux 1 à 4. On va le faire.
Première réflexion et modélisation
Premières images, iol y en aura d'autres, dont un verre réel ... que je vais devoir casser ...
une autre avec un verre réel et l'expression interlinguistique : [FR] "casser le verre en mille morceaux" ... [ES] "rompe en mil pedacitos, o ... rompiendo el vidrio en mil pedazos" [EN] "shattered into a thousand pieces"
1000 morceaux : équivalents des 5 ou 8 morceaux des exemples 2D dessinés
Puis ensuite ...
118 éléments chimiques : : équivalents des 5 ou 8 morceaux des exemples 2D dessinés, ou des milles morceaux.
Montrer, dès ce niveau 0, que le dénombrement dépend de la résolution, mais pas la seconde loi de la thermo... que ce soit avec des mots de tous les jours à ce niveau 1.