5.4 KiB
Proposition 1
Définir les outils mathématiques requis au niveau 4
Pour l'instant, juste une liste de besoins dans une première classification pour ordonner un peu le brainstorming (numération, géométrie, etc). Elle *ne présage pas des titres de chapitres.
Ne présage pas du programme de mathématique, mais permettra de définir un programme "outils mathématiques et concepts physiques", qui sera construit avec les mathématiciens.
Ce thème "Outils mathématiques" sera nécessaire, puisqu'il sera commun à tous les thèmes des sciences expérimentales. Lorsqu'un outil ou concept sera utilisé dans le cours d'un thème particulier, il sera toujours possible d'afficher des éléments d'"Outils mathématiques" dans un mode parallèle.
N'hésitez pas à créer une nouvelle classification si nécessaire.
! Numération et opérations
! Les ensembles
! Géométries et coordonnées
(CME-FR)
- Coordonnées curvilignes généralisées, et
- coordonnées non orthogonales, non normées
- base naturelle (locale) $
\overrightarrow{a_i}$ d'un système de coordonnées $x^i$
$\overrightarrow{a_i}=\displaystyle\lim_{\delta x^i \rightarrow 0} \dfrac{\delta\overrightarrow{s}}{\delta x^i}$,
$\left(\overrightarrow{e_i}=\dfrac{\overrightarrow{a_i}}{\lVert \overrightarrow{a_i} \rVert}\right)$ - base duale $
\overrightarrow{a_i^{*}}=\overrightarrow{a^i}$- $
\longrightarrow$ espace de Fourier, cristallographie - $
\longrightarrow$ espaces non euclidien ($\longrightarrow$ riemannien $\longrightarrow$ relativités)
- $
- coordonnées contravariantes $
u^i$ et covariantes $u_i$ d'un vecteur $\overrightarrow{u}=u^i\,\overrightarrow{a_i} =u_i\,\overrightarrow{a^i}$- $
\longrightarrow$ produit scalaire $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=u^i\,v_j = u_i\,v^j$
- $
- invariant local $
ds$, métrique locale associée à des coordonnées
à finir
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Scalaires-vecteurs-tenseurs ; analyse vectorielle et tensorielle
(CME-FR)
Défintion du Laplacien vectoriel
$\Delta\overrightarrow{E}=\overrightarrow{grad}(div\,\overrightarrow{E})-\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E})$
et expression en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(CME-FR)
- Tenseurs $
t$ d'ordre $n$ (besoin jusqu'à ordre 4, pour l'élasticité et la rigidité en mécanique), dans un espace euclidien et en coordonnées cartésiennes.
Si ${\overrightarrow{e_i}} \left(\overbrace{\longrightarrow}^{(a)} \overrightarrow{e_j'}$ avec $(a)$ matrice de passage entre deux bases cartésiennes :- ordre 1 : $
t'=\pm a_i\,t_i$ ; $(t')=(a)(t)$ (attention à la définition de (a) - ordre 2 : $
t'=\pm a_i\,a_j\,t_{ij}$ ; $(t')=(a)(t)(a)^t$ (attention à la définition de (a) - ordre 3 : $
t'=\pm a_i\,a_j\,a_k\,\,t_{ijk}$ - ordre 4 : $
t'=\pm a_i\,a_j\,a_k\,a_l\,\,t_{ijkl}$
avec signe $\pm$ selon tenseur polaire ou axial, et (a) change ou non sens de la base.
- ordre 1 : $
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Matrices
(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
- Calcul d'une matrice inverse
- Diagonalisation d'une matrice carrée
- Calcul des valeurs et vecteurs propres d'une matrice carrée
- Trace d'une matrice
- signature d'une matrice
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)