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$\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}$
$\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}$
Proposition 1
Définir les outils mathématiques requis au niveau 3
avec une première classification pour ordonner un peu le brainstorming (numération, géométrie, etc). Elle ne présage pas des titres de chapitres.
N'hésitez pas à créer une nouvelle classification si nécessaire.
Les outils mathématiques de niveaux 1 et 2 $+$ :
! Numération, opérations et fonction usuelles
(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
-
nombre imaginaire $
i$
Ensemble des nombres imaginaires purs $\mathbb{I}$ : $c=i\,b$
Ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ :
$c=a+i\,b= |c|\,e^{\,i\,\theta}$,
avec $|c|=\sqrt{a^2 + b^2}$ et $\theta\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)$
$c=a+i\,b= \mathcal{Re}(c)+i\,\mathcal{Im}(c)$ -
fonction puissance $
y^x$ -
fonction exponentielle $
e^x$
Euler $e^{\,i\theta}=\cos\theta+ i\sin\theta$
$\cos\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}+e^{\,-i\theta}}{2}$
$\sin\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}-e^{\,-i\theta}}{2i}$
et fonctions hyperboliques
$\cosh(x)=\dfrac{e^x-+e^{\,- x}}{2}$
$\sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{\,- x}}{2}$ -
$
e^0=1 \quad , \quad$ $e^{\,i\frac{\pi}{2}}=i\quad , \quad$ $e^{\,i\pi}=-1\quad , \quad$, ... -
fonction logatithme $
log_p\,x$
propriétés fonction log, dont transformation produit en somme : $log_p\,xy=log_p,x+log_p,y$ fonction logatithme $log_{10}\,x$ en relation à la fonction puissance $10^x$
fonction logatithme népérien $Log\,x=ln\,x$ en relation à la fonction puissance $exp(x)=e^x$ -
notations réelle et notation complexe : $
\overrightarrow{U}=U_0\,\cos(k\,x-\omega t+\varphi)\overrightarrow{e}$
$\overrightarrow{\underline{U}}=U_0\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t+\varphi)}\overrightarrow{e}$ $\;=\underline{U_0}\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t)}\overrightarrow{e}$
$\overrightarrow{U}=\mathcal{Re}(\overrightarrow{\underline{U}})$
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Ensembles et logique
à faire
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
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! Géométrie et coordonnées
(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
-
Règle d'orientation de l'espace
Systèmes de coordonnées, bases et repères directs ou indirect -
Coordonnées, bases vectorielles et repères associées
bases et repères orthogonaux, normés, orthonormés, directs et indirects -
Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques
- avec repères et bases associés
- éléments infinitésimaux de longueur, de surface, de volume
- expressions des opérateurs $
\overrightarrow{grad}$, $div$ et $\overrightarrow{rot}$
-
matrice changement de base orthonormée directe :
- $
\overrightarrow{e_i}\longrightarrow \overrightarrow{e_j}'$ : $(a)$ - $
\overrightarrow{e_j}'\longrightarrow \overrightarrow{e_i}'$ : $(a')=(a)^t = (a)^{-1}$
- $
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
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! Vecteurs et opérateurs, analyse vectorielle
(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
Dans une base euclidienne (3D):
-
Produit scalaire $
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$ -
Produit vectoriel $
\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}$ (notation $\wedge$ ou $\times$ ) -
Produit mixte $
(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})$ -
Opérateurs $
\overrightarrow{grad}$, $div$ et $\overrightarrow{rot}$ (notation $\overrightarrow{rot}$ ou $\overrightarrow{curl}$ ) et notation avec nabla (coordonnées cartésiennes) : $\overrightarrow{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial}{\partial y} \overrightarrow{e_y}\dfrac{\partial}{\partial z}\overrightarrow{e_z}$ -
Opérateurs Laplacien scalaire (coordonnées cartésiennes) $
\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}$ $\;=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{\nabla}$ -
Opérateur d'Alembertien scalaire (coordonnées cartésiennes)
-
$
\Box=\Delta-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\delta^2}{\delta t^2}$ (pour les ondes) -
$
\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{grad}\,V)=0$, lien avec
$\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}=0\quad\Longrightarrow\quad \exists V\;,\;\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\,V$ -
$
div\,(\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{A}) =0$, lien avec
$div\,\overrightarrow{B}=0 \quad\Longrightarrow\quad \exists \overrightarrow{A}\;,\;\overrightarrow{B}=\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{A}$
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Matrices
(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
-
Matrices $
(n,m)$ : $\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix}$ -
Somme de matrice $
(n,m) + (n,m)$ -
Produit matriciel $
(n,m)\cdot (m,p) dot$ -
Matrice transposée d'une matrice carrée
-
Calcul matriciel
-
Déterminant d'une matrice carrée : $
\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
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! Fonctions - Calcul différentiel et intégral
(CME-FR)
-
Passage de la notation $
f'(x_0)$ à $\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x_0}$
Passage de la notation $f'(x)$ à $\dfrac{df}{dx}$
...
de $f^{(n)}(x_0)$ à $\left.\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}\right|_{x_0}$
de $f^{(n)}(x)$ à $\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}$ -
fonction dérivée et fonction primitive.
-
intégrale simple
- indéfinie $
\displaystyle\int f(x)\,dx$ - définie $
\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx$
- indéfinie $
-
intégrale multiple (variables indépendantes)
- $
\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy$ - $
\displaystyle\iiint f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$
- $
-
différence entre :
- $
\displaystyle\int f(x)\,dx$ et $\oint f(x)\,dx$ - $
\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy$ et $\oiint f(x,y)\,dx\,dy$
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- $
(XXX-YY) ...
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! Équations
(CME-FR)
- Résolution de systèmes d'équations linéaires par la méthode du déterminant.
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! Équations différentielles
-
équations différentielles linéaires d'ordre 1 ( pour concept de constante de temps,charge décharge condensateur)
- par exemple : $
x(t)$ est une fonction du temps $a\cdot\dfrac{dx}{dt}+b x=0$
(la ou les notations utilisées ne sont pas définies ici) - puis avec second membre sinusoïdal
$a\cdot\dfrac{dx}{dt}+b x=c$
- par exemple : $
-
équations différentielles linéaires d'ordre 2 (pour étude des oscillateurs mécaniques ou électriques)
- par exemple : $
x(t)$ est une fonction du temps
$a\cdot\dfrac{d^2 x}{dt^2}+b\cdot\dfrac{dx}{dt}+b\cdot x=0$
(la ou les notations utilisées ne sont pas définies ici) - puis avec second membre sinusoïdal
$a\cdot\dfrac{d^2 x}{dt^2}+b\cdot\dfrac{dx}{dt}+b\cdot x=d \cdot\cos(\omega t)$
- par exemple : $
-
équation d'onde
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\dfrac{1}{v}\cdot\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}$ -
Système d'ordre 1 et de dimension 2 (une première approche dynamique des populations ou un cours transverse sur les systèmes)
- $
\left\{\begin{array} \dfrac{dx}{dt} = f(x,y)\\ \\ \dfrac{dy}{dt}=g(x,y) \end{array}\right.$ avec par exemple le modèle proies prédateurs de Lotka-Volterra : $f(x,y)= a\cdot x -b\cdot xy$ et $f(x,y)= - c\cdot x +d\cdot xy$ (à ce niveau 3?)
- $
-
savoir mettre sous forme d'un système d'équations différentielles une situation, même si on ne le résoud pas.
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! Autres
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