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Sistemas de coordenadas / Systèmes de coordonnées - Repère de l’espace / Coordinate systems
IMPORTANTE / IMPORTANT
[ES] No veo en español o inglés la distinción entre "sistema de coordenadas" y
lo que llamamos en Francia el "repère" asociado. ¿Me equivoco? Si esta diferencia
existe entre los tres idiomas, será importante explicarla en el curso.
Definir un "repère" me parece importante para hacer la distinción entre
"repère" y marco de referencia...
[FR] Je ne vois pas en espagnol ou en anglais la distinction entre "système de coordonnées" et
le repère associés. Je me trompe ? Si cette différence existent entre les trois langues,
l'expliciter dans le cours sera important.
Définir la notion de repère me parait important pour faire la différence entre repère
et référentiel...
[EN] I don't see in Spanish or English the distinction between "coordinate system" and
what we call in France the associated "repère". I am wrong? f this difference exists
between the three languages, explaining it in the course will be important.
To define a "repère" seems to me important to me to make the distinction between
"repère" and reference frame...
Introducción / Introduction
- CS10
[ES] En mecánica clásica (no relativista), el tiempo y el espacio no están acoplados.
[FR] En mécanique classique (non relativiste) , temps et espace ne sont pas couplés.
[EN] In classical mechanics (not relativistic), time and space are not coupled.
- CS20
[ES] En el espacio, la posición de un punto M se identifica a partir de un punto O origen del
espacio por el vector $\overrightarrow{OM}$.
[FR] Dans l’espace, la position d’un point M est repérée à partir d’un point O origine de
l’espace par le vecteur $\overrightarrow{OM}$.
[EN] In space, the position of a point M is marked from a point origin O of
the space by the vector $\overrightarrow{OM}$.
- CS30
[ES] El espacio clásico de Newton tiene 3 dimensiones. Esto significa que, desde el origen O del espacio,
la posición de cualquier punto M se puede definir de forma única mediante
3 números reales $(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )$, llamados coordenadas (o coordenadas espaciales)
del punto M. Escribimos $M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)$.
[FR] L’espace classique de Newton a 3 dimensions. Cela signifie que, à partir de l’origine O de l’espace,
la position de tout point M peut-être définie de façon unique par 3 nombres réels $(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )$
, appelés coordonnées (ou coordonnées spatiales) du point M. On écrit $M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)$.
[EN] The Newton's classical space has 3 dimensions. This means that, from the origin O of space,
the position of any point M can be uniquely defined by 3 real numbers $(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )$,
called coordinates (or spatial coordinates) of point M. We write $M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)$.
- CS40
[ES] Si no nos referimos a un punto particular en el espacio, sino a un cualquier punto
que puede estar en cualquier lugar del espacio, entonces sus coordenadas son
variables reales, y simplemente escribimos $M=M(\alpha, \beta, \gamma)$.
[FR] Si nous ne faisons pas référence à un point particulier de l'espace, mais à un point
quelconque pouvant se situer n'importe où dans l'espace, alors ses coordonnées sont des
variables réelles, et nous écrivons simplement $M=M(\alpha, \beta, \gamma)$.
[EN] If we are not referring to a particular point in space, but to any point that can
be located anywhere in space, then its coordinates are real variables, and we simply write
$M=M(\alpha, \beta, \gamma)$.
- CS50
[ES] Hay varias formas posibles de definir unas coordenadas espaciales: Hablamos de ** sistemas de coordenadas**.
[FR] ]Il y a plusieurs façons possible de définir des coordonnées spatiales : On parle de systèmes de coordonnées.
[EN] There are several possible ways to define spatial coordinates: We speak of coordinate systems.
- CS60
[ES] Se definen caracteres alfanuméricos específicos para los sistemas de coordenadas comunes:
- coordenades cartesianas : $(x, y, z)$ or $(O, x_1, x_2, x_3)$
- coordenades cilindricas https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 :
$(\rho, \phi, z)$ (o $(r, \phi, z)$ si hay una ambigüedad con $\rho$,
por ejemplo si $\rho$ se usa para la densidad densidad de carga eléctrica).
- coordenades esfèriques : $(r, \theta, \phi)$.
[FR] Des caractères alphanumériques spécifiques sont définis pour les systèmes de coordonnées
usuels :
- cartésiennes : $(x, y, z)$ or $(O, x_1, x_2, x_3)$
- cylindriques https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 :
$(\rho, \phi, z)$ (ou $(r, \phi, z)$ si il y a une ambiguïté avec $\rho$,
par exemple si $\rho$ est utilisé pour la charge (électrique) volumique).
- sphériques : $(r, \theta, \phi)$.
[EN] Specific alphanumeric characters are defined for some widely used coordinate systems :
- cartesian : $(x, y, z)$ or $(O, x_1, x_2, x_3)$
- cylindrical https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 :
$(\rho, \phi, z)$ (or $(r, \phi, z)$ if there is an ambiguity with $\rho$,
for example if $\rho$ is used for (electric) charge density).
- spherical : $(r, \theta, \phi)$
Coordenadas cilíndricas / Coordonnées cylindriques / Cylindrical coordinates N3
Définition des coordonnées et domaines de définition
- 135 :
Cadre de référence : système cartésien de coordonnées $(O, x, y, z)$
- 1 point $O$ origine de l'espace.
- 3 axes nommés $Ox , Oy , Oz$, se coupant en $O$, orthogonaux 2 à 2.
- 1 unité de longueur.
Coordonnées cylindriques $(\rho , \varphi , z)$ :
- Tout point $M $ de l'espace est projeté orthogonalement sur le plan $xOy$ conduisant au point $m_{xy}$,
et sur l'axe $Oz$ conduisant au point $m_z$.
- La coordonnée $\rho_M$ du point $M$ est la distance non algébrique $Om_{xy}$ entre le point $O$ et le point $m_{xy}$.
- La coordonnée $\varphi_M$ du point $M$ est l'angle non algébrique $\widehat{xOm_{xy}}$ entre l'axe $Ox$ et la demi-droite $Om_{xy}$,
le sens de rotation étant tel que le trièdre $(Ox , Om_{xy}, Oz)$ est un trièdre direct.
- La coordonnée $z_M$ du point $M$ est la distance algébrique $\overline{Om_z}$ entre le point $O$ et le point $m_z$.
$\rho_M=\overline{Om_{xy}}$ , $\varphi_M=\widehat{xOm_y}$ , $z_M=Om_z$
! Remarque : Les deux premières coordonnées cylindriques d'un point $M$ sont les coordonnées polaires du point $m_{xy}$ dans le plan $xOy$ (plan $z=0$). Ce sont aussi les coordonnées polaires du point $M$ dans le plan $z=z_M$.
- Les coordonnées **$\rho$ **et $z$ sont des longueurs, dont l'unité S.I. est le mètre, de symbole $m$.
- La coordonnée $\varphi$ est un angle, dont l'unité S.I. est le radian, de symbole $rad$.
Unités S.I. : $\rho\;(m)$ , $\varphi\;(rad)$ , $z\;(m)$
- Tout point $M$ de l'espace, excepté le point origine $O$, est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cylindriques.
- Au point origine $O$ est attribué les coordonnées cylindriques $(0 , 0 , 0)$.
- Escribimos / on écrit / we write : $M(\rho_M,\varphi_M,z_M)$
- Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify :
$M(\rho , \varphi , z)$, $\mathbf{M(\rho , \varphi , z)}$
- Tout l'espace est couvert par les coordonnées cylindriques variant indépendamment dans les domaines $\rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[ $ , $\varphi\in[0,2\pi[$ et $z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty\,[ $.
$\mathbf{ \rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[} $ , $\mathbf{ \varphi\in[0,2\pi[ }$ , $\mathbf{ z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty[ } $
!
! Notations sur les ensembles de nombres réels !
! * le symbole $\infty$ désigne l'infini.
! * $\mathbb{R}$ : ensemble des nombres réels :
! $\mathbb{R}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\}\;=\;]-\infty , +\infty\,[$.
! * $\mathbb{R}^{*}$ : ensemble des nombres réels non nuls :
! $\mathbb{R}^{*}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x\ne 0\}\; = \; ]-\infty , 0\,[ \;\cup\; ]\,0 , + \infty\,[$.
! * $\mathbb{R}_+$ : ensemble des nombres réels positifs :
! $\mathbb{R}_+\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x \ge 0\}\; = \; [\,0 , + \infty\,[$.
! * $\mathbb{R}_+$ : ensemble des nombres réels négatifs :
! $\mathbb{R}_+\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x \ge 0\}\; = \; ]-\infty , 0\,]$.
! * $\mathbb{R}_+^{*}$ : ensemble des nombres réels positifs non nuls :
! $\mathbb{R}_+^{*}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x \le 0\}\; = \; ]\,0 , + \infty\,[ $.
! * $\mathbb{R}_{-}^{*}$ : ensemble des nombres réels négatifs non nuls :
! $\mathbb{R}_{-}^{*}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x > 0\,]\;= \; ]-\infty , 0\,[ $.
!
! --------
! * {...} indique un ensemble d'éléments.
! * la liste, le texte ou l'expression logique ... précise les éléments de l'ensemble.
! * on peut donner un nom à l'ensemble : exemple : A={...}.
! * le symbole " $|$ " signifie "tel que". Exemple :! $
\{x\in\mathbb{R} | x \lt 0\}$ désigne lensemble des nombre réels x, tels que $x \lt 0$.
!
! -------
! Les intervalles par l'exemple :
! * $[2 , 3]$ : intervalle des nombres réels compris entre 2 et 3, 2 et 3 étant inclus.
! * $]2 , 3[$ : intervalle des nombres réels compris entre 2 et 3, 2 et 3 étant exclus.
! * $[2 , 3[$ : intervalle des nombres réels compris entre 2 et 3, 2 étant inclus et 3 exclus.
! * $ ]2 , 3 ]$ : intervalle des nombres réels compris entre 2 et 3, 2 étant exclus et 3 inclus.
! * fait appel à la notion mathématique de limite.
! * L'infini est toujours exclu, on ne peut jamais l'atteindre, il ne peut pas être inclus :! $
]-\infty$ et pas $\require{cancel}\xcancel{[-\infty}$ , $+\infty[$ et pas $\require{cancel}\xcancel{+\infty]}$
! <\details>
Base vectorielle et repère de l'espace associés
Variation d'une coordonnée et longueur du parcours associée
- 145 :
[ES] Cuando solo la coordenada $\rho$ de un punto $M(\rho, \varphi, z)$ varía
continuamente entre los valores $\rho$ y $\rho+\Delta \rho$, el punto $M$ recorre un segmento
de longitud $\Delta l_{\rho}=\Delta \rho$. Cuando $\Delta \rho$
tiende a $0$, la longitud infinitesimal $dl_{\rho}$ recorrida para el punto $M$
es :
[FR] Lorsque seule la coordonnées $\rho$ d'un point $M(\rho, \varphi, z)$ varie de façon
continue entre les valeurs $\rho$ et $\rho+\Delta \rho$, le point $M$ parcourt un sègment
de droite de longueur $\Delta l_{\rho}=\Delta \rho$. Lorsque $\Delta \rho$ tend vers $0$,
la longueur infinitésimale $dl_{\rho}$ parcourue pour le point $M$ est :
[EN] When only the $\rho$ coordinate of a point $M(\rho, \varphi, z)$ varies
continuously between the values $\rho$ and $\rho+\Delta \rho$, the point $M$ covers
a line segment of length $\Delta l_{\rho}=\Delta \rho$. When $\Delta \rho$ tends
towards $0$, the infinitesimal length $dl_{\rho}$ covered by the point $M$ is :
$\displaystyle d\rho=\lim_{\Delta \rho\rightarrow 0 \\ \Delta \rho>0} \Delta \rho$
$\quad\Longrightarrow\quad dl_{\rho}=d\rho$, $\mathbf{dl_{\rho}=d\rho}$.
tambien / de même / similarly : $dl_z=dz$ , , $\mathbf{dl_z=dz}$.
[ES] Cuando solo la coordenada $\varphi$ de un punto $M(\rho, \varphi, z)$ varía
continuamente entre los valores $\varphi$ y $\varphi +\Delta \varphi$, el punto $M$
recorre un arco de circulo
de longitud $\Delta l_{\varphi}=\rho\:\Delta \varphi$. Cuando $\Delta \varphi$
tiende a $0$, la longitud infinitesimal $dl_{\varphi}$ recorrida para el punto $M$
es :
[FR] Lorsque seule la coordonnées $\varphi$ d'un point $M(\rho, \varphi, z)$ varie de façon
continue entre les valeurs $\varphi$ et $\varphi +\Delta \varphi$, le point $M$ parcourt un
arc de cercle de longueur $\Delta l_{\varphi}=\rho\;\Delta \varphi$. Lorsque $\Delta \varphi$ tend vers $0$,
la longueur infinitésimale $dl_{\varphi}$ parcourue pour le point $M$ est :
[EN] When only the $\varphi$ coordinate of a point $M(\rho, \varphi, z)$ varies
continuously between the values $\varphi$ and $\varphi+\Delta \varphi$, the point $M$ covers
an arc of circle of length $\Delta l_{\varphi}=\rho\,\Delta \varphi$. When $\Delta \varphi$ tends
towards $0$, the infinitesimal length $dl_{\varphi}$ covered by the point $M$ is :
$\displaystyle d\varphi=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0 \\ \Delta \varphi>0} \Delta\varphi$
$\quad\Longrightarrow\quad dl_{\phi}=\rho\,d\varphi$ , , $\mathbf{dl_{\varphi}=\rho\,d\varphi}$.
- 140 :
[ES] elemento escalar de línea :
[FR] élément scalaire de longueur :
[EN] scalar line element :
$dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}$ , $\mathbf{dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}}$
Base vectorielle et repère de l'espace associés
- 150 :
[ES] Cuando solo la coordenada $\rho$ de un punto $M(\rho, \varphi, z)$ aumenta
infinitesimalmente entre los valores $\rho$ y $\rho+d\rho$ ($d\rho>0$)
para llegar al punto $M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)$, el vector de desplazamiento
$\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}$ del punto $M$ es el vector
tangente a la trayectoria en el punto $M$, dirigido en la dirección del movimiento,
que se escribe :
[FR] Lorsque seule la coordonnées $\rho$ d'un point $M(\rho, \varphi, z)$ s'accroît de façon
infinitésimale entre les valeurs $\rho$ et $\rho+d\rho$ ($d\rho>0$)
pour atteindre le point $M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)$, le vecteur déplacement
$\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}$ du point $M$ est le vecteur
tangent à la trajectoire au point $M$, dirigé dans le sens du mouvement, qui s'écrit :
[EN] When only the $\rho$ coordinate of a point $M(x,y,z)$ increases infinitesimally between
the values $\rho$ and $\rho+d\rho$ ($d\rho>0$) to reach the point
$M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)$, the displacement vector
$\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}$ of the point $M$ is the
tangent vector to the trajectory at point $M$ oriented in the direction of the movement. It writes :
$\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \rho}\cdot d\rho$
[ES] El vector unitario tangente a la trayectoria $\overrightarrow{e_{\rho}}$ (que indica la dirección y el sentido
de desplazamiento del punto $M$ cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada $\rho$ se escribe:
[FR] Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $\overrightarrow{e_{\rho}}$ (qui indique la direction et le sens
de déplacement du point $M$ lorsque seule la coordonnée $\rho$ croît de façon infinitésimale) s'écrit :
[EN] The unit vector tangent to the trajectory $\overrightarrow{e_{\rho}}$ (which indicates the direction of displacement
of the point $M$ when only the coordinate $\rho$ increases in an infinitesimal way) writes :
$\overrightarrow{e_{\rho}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}||}$
tambien / de même / similarly :
$\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \varphi}\cdot d\varphi$,
$\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}||}$
$\partial\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz$,
$\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}$
- 155 :
[ES] La norma del vector $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}$
es el elemento escalar de linea $dl_{\rho}$, entonces el vector $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}$
se escribe :
[FR] La norme du vecteur $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}$
est l'élément de longueur $dl_{\rho}$, donc le vecteur $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}$ s'écrit :
[EN] the norm (or length) of the vector $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}$
is the scalar line element $dl_{\rho}$, so the vector $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}$ writes :
$\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}} =d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}$ , $\mathbf{\overrightarrow{dl_{\rho}}=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}}$
tambien / de même / similarly :
$\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}$ ,
$\mathbf{\overrightarrow{dl_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}}$
[ES] La norma del vector $\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}$
es el elemento escalar de linea $dl_{\varphi}$, entonces el vector $\overrightarrow{e_{\varphi}}$
se escribe :
[FR] La norme du vecteur $\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}$
est l'élément de longueur $dl_{\varphi}$, donc le vecteur $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ s'écrit :
[EN] the norm (or length) of the vector $\partial\overrightarrow{OM}_{varphi}=\overrightarrow{dl_{varphi}}$
is the scalar line element $dl_{\varphi}$, so the vector $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ writes :
$\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}} =\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}$ ,
$\mathbf{\overrightarrow{dl_{\varphi}}=\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}}$
- 160 :
[ES] El elemento vectorial de línea o ?? $\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}$ en coordenadas cilíndricas es
el vector de desplazamiento del punto $M(\rho, \varphi, z)$ al punto $M'(\rho+ d\rho, \varphi + d\varphi, z+ dz)$ cuando
las coordenadas varían infinitesimalmente de $d\rho$, $d\varphi$ y $dz$, y se escribe :
[FR] L'élément vectoriel d'arc ou vecteur déplacement élémentaire $\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}$ en
coordonnées cylindriques est le vecteur déplacement du point $M(\rho, \varphi, z)$ au point
$M'(\rho+ d\rho, \varphi + d\varphi, z+ dz)$ quand les coordonnées varient infinitésimalement des quantités
$d\rho$, $d\varphi$ et $dz$, et il s'écrit :
[EN] The vector line element or vector path element $\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}$
in Cylindrical coordinates is the displacement vector from point $M(\rho, \varphi, z)$ to point
$M'(\rho+ d\rho, \varphi + d\varphi, z+ dz)$ when the coordinates vary infinitesimally in quantities
$d\rho$, $d\varphi$ and $dz$,
and it writes :
$\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}$
$=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}+\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}+\partial\overrightarrow{OM}_z$
$=\overrightarrow{dl_{\rho}}+\overrightarrow{dl_{\varphi}}+\overrightarrow{dl_z}$
$=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}$
$=d\rho\;\overrightarrow{e_x}+\rho\;d\varphi\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}$
$\mathbf{d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dl}}$
$\mathbf{=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}}$
$\mathbf{=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}+\rho\;dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dz\;\overrightarrow{e_z}}$
[ES] y su norma es el elemento scalar de linea :
[FR] et sa norme el l'élément de longueur :
[EN] y its norm (or length) is thescalar line element :
$||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{dl_x^2+dl_y^2+dl_z^2}=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}$
$||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{\overrightarrow{dl}\cdot\overrightarrow{dl}}$
$=\left[(dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\cdot (dl_x\;\overrightarrow{e_x}\right.$
$\left.+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}$
$=\left[(dl_x)^2\;(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_x})\right.$
$+(dl_y)^2\;(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_y})$
$+(dl_z)^2\;(\overrightarrow{e_z}\cdot\overrightarrow{e_z})$
$+(2\,dl_x\,dl_y)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_y})$
$+(2\,dl_x\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_z})$
$\left.+(2\,dl_y\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}$
$=\sqrt{(dl_x)^2+(dl_y)^2+(dl_z)^2}$
$=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl$
- 165 :
[ES] Los vectores $\overrightarrow{e_{\rho}}$, $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ y $\overrightarrow{e_z}$
forman una base ortonormal del espacio. La base
$(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})$
es la base asociada a las coordenadas cilíndricas. En coordenadas cilíndricas, los vectores
de base asociadas cambian de direcciónes cuando el punto $M$ se mueve.
[FR] Les vecteurs $\overrightarrow{e_{\rho}}$, $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ y $\overrightarrow{e_z}$
forment une base orthonormée de l'espace. C'est la base associée aux coordonnées cylindriques.
En coordonnées cylindriques, les vecteurs de base associés
changent de direction lorsque le point $M$ se déplace.
[EN] The vectors $\overrightarrow{e_{\rho}}$, $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ y $\overrightarrow{e_z}$
form an orthonormal basis of space. It is the base associated with cylindrical coordinates.
In cylindrical coordinates, the base vectors change of direction when the point $M$ moves.
$||\overrightarrow{e_{\rho}}||=||\overrightarrow{e_{\varphi}}||=||\overrightarrow{e_z}||=1$
$\overrightarrow{e_{\rho}}\perp\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}\perp\overrightarrow{e_z}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\rho}}\perp\overrightarrow{e_z}$
$(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$ base cartesiana directa $\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})$ base cilíndrica asociada directa.
$(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$ base cartésienne directe $\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})$ base cylindrique associée directe.
$(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$ direct Cartesian base $\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})$ direct associated cylindrical base.
$(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})$
base ortogonal dependiente de la posición de $M$ / base orthogonale dépendante
de la position de $M$ / orthogonal basis dependent of the position of $M$.
Vecteur déplacement élémentaire
- 170 :
$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM}(t)\quad\Longrightarrow\quad\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{e_{\rho}} = \overrightarrow{e_{\rho}}(t) \\ \overrightarrow{e_{\varphi}} = \overrightarrow{e_{\varphi}}(t) \\ \overrightarrow{e_z} = \overrightarrow{cst} \\ \end{array} \right.$
- 175 :
Método 1 para el cálculo de / Méthode 1 pour le calcul de / Method 1 for the calculation of :
$\dfrac{d e_r}{dt}$ , $\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}$.
$\overrightarrow{e_z}=\overrightarrow{cst}\Longrightarrow\dfrac{d e_z}{dt}=0$
$\overrightarrow{e_\rho}(t)=cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}$$\;+\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}$
$\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=- sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}$$\;+\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}$
en la base cartesiana / dans la base cartésienne / in the Cartesian base
$(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$ :
$\overrightarrow{e_{\rho}}(t)= \left| \begin{array}{l} cos\,\varphi(t) \\ sin\,\varphi(t) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$ ,
$\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)= \left|\begin{array}{l} -\,sin\,\varphi(t) \\ cos\,\varphi(t) \\ 0 \\ \end{array}\right.$
[ES] ? En el marco de referencia $\mathcal{R}(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)$ del observador, es decir cuando la origen del espacio $O$ es fija y los tres vectores base verifican
[FR] Dans le référentiel $\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)$ de l'observateur, c'est à dire dans le référentiel où le repère cartésien $(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$ est fixe, donc tel que l'origine $O$ est fixe et les trois vecteurs de base vérifient
[EN] In the reference frame $\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)$ of the observer, i.e.when the origin $O$ is fixed and the three base vectors satisfy
$\dfrac{d\overrightarrow{e_x}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_y}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=0$ :
recordando / en se rappelant / reminding : $(fg)'=f'g+fg'$
$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}= \left| \begin{array}{l} cos\,\varphi(t) \,]\\ sin\,\varphi(t)\, ] \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$
$\quad = \left| \begin{array}{l} \dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\ \\ \dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\ \\ \dfrac{d\,0}{dt} \\ \end{array} \right.\quad$
y recordando / et en se rappelant / and reminding : $(f \circ g)'=(f' \circ g)\,g'$ ,
$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}= \left| \begin{array}{l} -\;sin\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\ \\ cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\ \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$
$=\dfrac{d\varphi}{dt}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}$
$\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}$
tambien / de même / similarly :
$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}= \left| \begin{array}{l} \dfrac{d\,[-\,sin\,\varphi(t)]}{dt} \\ \\ \dfrac{d\cos\,\varphi(t)}{dt} \\ \\ \dfrac{d\;0}{dt} \\ \end{array} \right.\quad$
$\quad= \left| \begin{array}{l} -\,cos\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\ -\,sin\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$
$\quad\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}$
$\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}$
- 180 :
Método 2 para el cálculo de / Méthode 2 pour le calcul de / Method 2 for the calculation of :
$\dfrac{d e_{\rho}}{dt}$ , $\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}$
$\overrightarrow{e_{\rho}}=cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}$
$\;+\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}$$\;+\;0\;\overrightarrow{e_z}$
$=\overrightarrow{e_{\rho}}(\varphi)$
$\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}$
$\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}\;+\;0\;\overrightarrow{e_z}$
$=\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\varphi)$
$\overrightarrow{e_{\rho}}=\overrightarrow{e_{\rho}}(\varphi)$ et
$\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\varphi)$
$\quad\Longrightarrow\quad$ pour une variation infinitésimale $d\varphi$, $\overrightarrow{e_{\rho}}$ et $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ varient de :
$d\overrightarrow{e_{\rho}}=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\cdot d\varphi$
$d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}\cdot d\varphi$
con / avec / with
$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}= \left|\begin{array}{l} \dfrac{d\;cos\,\varphi}{d\varphi} \\ \\ \dfrac{d\;sin\,\varphi}{d\varphi} \\ \\ \dfrac{d\;0}{d\varphi} \\ \end{array} \right.\quad$
$=\left|\begin{array}{l} -\,sin\,\varphi \\ cos\,\varphi \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$
$=\overrightarrow{e_{\varphi}}$
$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}= \left|\begin{array}{l} \dfrac{d\;(-\,sin\,\varphi}{d\varphi} \\ \\ \dfrac{d\;cos\,\varphi}{d\varphi} \\ \\ \dfrac{d\;0}{d\varphi} \\ \end{array} \right.\quad$
$=\left|\begin{array}{l} -\,cos\,\varphi \\ -\,sin\,\varphi \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad$
$=-\,\overrightarrow{e_{\rho}}$
$\varphi=\varphi(t)\quad\Longrightarrow\quad$ pour unè variation infinitésimale $dt$ , $\varphi$ varie de :
$d\varphi=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt$
$\Longrightarrow\quad$ pour une variation infinitésimale $dt$, $\overrightarrow{e_{\rho}}$ et $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ varient de :
$d\overrightarrow{e_{\rho}}\quad=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt$$\quad=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot \dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\quad=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot
\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
$d\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt$
$\quad=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot \dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}\quad=-,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot
\overrightarrow{e_{\rho}}`$
$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}=\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}$
$\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot \overrightarrow{e_{\rho}}$
$\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=\overrightarrow{0}$
- 182 :
[ES] En la mecánica clásica, las interacciones entre cuerpos materiales se traducen en términos de fuerza $\vec{F}$ y conducen a una aceleración $\vec{a}$ de cada cuerpo en interacción proporcional a la inversa de su masa de inercia $m_I$ : $\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}$ (o $\vec{F}=m_I\;\vec{a}$ , ver capítulo mecánico). Como el vector de aceleración es la segunda derivada temporal del vector de posición, es posible que necesitemos conocer la segunda derivada temporal de los vectores base para el estudio del movimiento.
[FR] En mécanique classique, les interactions entre les corps matériels se traduisent en terme de force $\vec{F}$, et conduisent à une accélération $\vec{a}$ de chaque corps en interaction proportionnelle à l'inverse de sa masse d'inertie $m_I$ : $\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}$ (ou $\vec{F}=m_I\;\vec{a}$ , voir chapitre mécanique). Dans l'étude du mouvement, nous aurons besoin d'étendre l'étude à la dérivée seconde des vecteurs de base. Comme le vecteur accélaration est la dérivée seconde du vecteur position, nous pourrions avoir besoin de connaître la dérivée seconde par rapport au temps des vecteurs de base pour l'étude du mouvement.
[EN] In classical mechanics, the interactions between material bodies are expressed in terms of force $\vec{F}$ , and lead to an acceleration of each interacting body proportional to the inverse of its mass of inertia $m_I$ : $\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}$ (or $\vec{F}=m_I\;\vec{a}$ , see mechanical chapter). As the acceleration vector is the second time derivative of the position vector, when studying the motion we might need to know the second time derivative of the base vectors.
$\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt^2}\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}\right)\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\right)$
$\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\varphi}{dt}\right)\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\, +\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\dfrac{d}{dt}\left(\overrightarrow{e_{\varphi}}\right)$
$\quad=\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}$$\quad=\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \left( -\,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot e_{\rho}\right) $
$\quad=\dfrac{d^2\,\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}} \,-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\rho}$
$\mathbf{\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt^2}=-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\rho}\,+\,\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}$
[ES] ¡Atención! No confunda $\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}$ y $\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 $ (dar un ejemplo).
[FR] Attention ! Ne pas confondre $\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}$ et $\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 $ (donner un exemple).
[EN] Look out ! Do not confuse $\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}$ and $\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 $ (give an example).
$\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt^2}\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}\right)\quad=\dfrac{d}{dt}\left(-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}\right)$
$\quad=-\,\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right) \cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,- \,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot \dfrac{d}{dt} \left( \overrightarrow{e_{\rho}} \right)$
$\quad=-\,\dfrac{d^2\varphi}{dt^2} \cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,-\, \dfrac{d\varphi}{dt} \cdot \dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}$
$\quad=-\,\dfrac{d^2\varphi}{dt^2} \cdot \overrightarrow{e_{\rho}}\,-\,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot \left( \dfrac{d\varphi}{dt} \cdot e_{\varphi} \right) $
$\quad=-\,\dfrac{d^2\,\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\varphi}$
$\mathbf{\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt^2} =-\,\dfrac{d^2\,\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\varphi}}$
$\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_z}}{dt^2} \quad = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\,\overrightarrow{e_z}}{dt} \right) \quad = \dfrac{d\,\overrightarrow{0}}{dt} \quad = \overrightarrow{0}$
$\mathbf{\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_z}}{dt^2}=\overrightarrow{0}}$
- 185 :
[ES] La norma del vector $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}$
es el elemento escalar de linea $dl_{\rho}$, entonces el vector $\overrightarrow{e_{\rho}}$
se escribe :
[FR] La norme du vecteur $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}$
est l'élément de longueur $dl_{\rho}$, donc le vecteur $\overrightarrow{e_{\rho}}$ s'écrit :
[EN] the norm (or length) of the vector $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}$
is the scalar line element $dl_{\rho}$, so the vector $\overrightarrow{e_{\rho}}$ writes :
$\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}} =\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}$
tambien / de même / similarly :
$\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}$
[ES] La norma del vector $\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}$
es el elemento escalar de linea $dl_{\varphi}$, entonces el vector $\overrightarrow{e_{\varphi}}$
se escribe :
[FR] La norme du vecteur $\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}$
est l'élément de longueur $dl_{\varphi}$, donc le vecteur $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ s'écrit :
[EN] the norm (or length) of the vector $\partial\overrightarrow{OM}_{varphi}=\overrightarrow{dl_{varphi}}$
is the scalar line element $dl_{\varphi}$, so the vector $\overrightarrow{e_{\varphi}}$ writes :
$\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}} =\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}$
- 190 :
[ES] Los 3 vectores $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad$,
$\quad\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad$ y
$\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}$ son 2 a 2 ortogonales.
[FR] Les 3 vecteurs $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad$,
$\quad\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad$ et
$\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}$ sont orthogonaux 2 à 2.
[EN] The 3 vectors $\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad$,
$\quad\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad$ and
$\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}$ are 2 to 2 orthogonal.
$\Longrightarrow$ :
[ES] ¡Atención! El área de un elemento de superficie construido por 2 de estos vectores no es el producto de sus normas. Tambien el volumen definido por estos 3 vectores no será simplemente el producto de sus normas.
[FR] Attention ! L'aire d'un élément de surface construit par 2 de ces vecteurs n'est' pas le produit de leurs normes. Et le volume définit par ces 3 vecteurs n'est le produit de leurs normes.
[EN] Warning! The area of a surface element constructed by 2 of these vectors is not the product of their norms. And the volume defined by these 3 vectors is not the product of their norms.
- 195 :
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-06.
[ES] Según la dirección elegida, los elementos escalares de superficie $dA$ en coordenadas cartesianas son :
[FR] Selon la direction choisie, les éléments scalaires de surface $dA$ en coordonnées cartésiennes sont :
[EN] According to the chosen direction, the scalar surface elements $dA$ in Cartesian coordinates are :
$dA_{\rho\varphi}=dl_{\rho}\;dl\varphi=d\rho\cdot\rho\;d\varphi\quad$, $\quad dA_{\rho z}=dl_{\rho}\;dlz=d\rho\;dz\quad$, $\quad dA_{\varphi z}=dl_{\varphi}\;dlz=\rho\,d\varphi\;dz$
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-07.
[ES] y los elementos vectoriales de superficie $\overrightarrow{dA}$ correspondiente son :
[FR] et les éléments vectoriels de surface $\overrightarrow{dA}$ correspondants sont :
[EN] and the corresponding vector surface elements $\overrightarrow{dA}$ are :
$d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}\land\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}$
$=\overrightarrow{dl_{\rho}}\land\overrightarrow{dl_{\varphi}}$
$= (dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})\land(dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})$
$=dl_{\rho}\;dl_{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})$
$=d\rho\;\rho\,d{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})$
$d\overrightarrow{A_{\varphi z}}=\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}\land\partial\overrightarrow{OM}_z$
$=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\land\overrightarrow{dl_z}$
$= (dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})\land (dl_z\;\overrightarrow{e_z})$
$=dl_{\varphi}\;dl_z\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})$
$=\rho\,d\varphi\;dz\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})$
$d\overrightarrow{A_{z \rho}}=\partial\overrightarrow{OM}_z\land\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}$
$=\overrightarrow{dl_z}\land\overrightarrow{dl_{\rho}}$
$=(dl_z\;\overrightarrow{e_z})\land(dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})$
$=dl_z\;dl_{\rho}\;(\overrightarrow{e_z}\land\overrightarrow{e_{\rho}})$.
$=dz\;d\rho\;(\overrightarrow{e_z}\land\overrightarrow{e_{\rho}})$.
[ES] :
[FR] Base cartésien de référence $(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$ directe $\Longrightarrow$ base cylindrique $(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})$ directe $\Longrightarrow$ :
[EN] :
$\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}}=+\,\overrightarrow{e_z}$
$\Longrightarrow d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=+\,d\rho\;\rho\,d{\varphi}\,\overrightarrow{e_z})$.
$\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_z}=-\,\overrightarrow{e_{\varphi}}$
$\Longrightarrow d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=+\,d\rho\;\rho\,d{\varphi}\,\overrightarrow{e_z})$.
[ES] :
[FR] Base cartésien de référence $(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$ indirecte $\Longrightarrow$ base cylindrique $(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})$ indirecte $\Longrightarrow$ :
[EN] :
$\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}}=-\,\overrightarrow{e_z}$.
$\Longrightarrow d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=-\,d\rho\;\rho\,d{\varphi}\,\overrightarrow{e_z})$.