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|---|---|---|---|---|
| Démonstration du théorème d'Ampère | true | true | false | {slug gauss-ampere-theorems-demonstration} {order 2} |
$\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}$
!!!! COURS EN CONSTRUCTION :
!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com. Ce cours est en construction, il n'est pas validé par l'équipe pédagogique à ce stade.
!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
! Thème :
! N3 : Magnétostatique / Démonstration du théorème d'Ampère, forme intégrale et forme locale
! Guide pour établir les 3 parties : main, overview, beyond
!
! (précède le thème : Magnétostatique : Application du théorème d'Ampère, forme intégrale et forme locale.)
- ÉNONCÉS DU THÉORÈME D' AMPÈRE
( appliqué à la MAGNÉTOSTATIQUE ) -
Domaine de validité :
Ne s'applique qu'en magnétostatique ($
\overrightarrow{B}$ créé par des courants constants).
Son expression sera complétée en électromagnétisme ($\overrightarrow{B}$ créé par des courants variables) pour donner le théorème de Maxwell-Ampère.Attention : Les expressions ci-dessous ne sont valables que dans le système international d'unité $
SI$, anciennement $MKS$.
FORME INTÉGRALE
La circulation du vecteur champ magnétique $
\overrightarrow{B}$ le long d'un contour orienté $\mathcal{C}$ est égal à la somme algébrique des courants $\overline{ \,I }$ traversant toute surface ouverte $S$ associée à ce contour, multiplié par la constante magnétique $\mu_0$ :
$\displaystyle\mathbf{\oint_{S\leftrightarrow\mathcal{C}} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}=\mu_0\;\sum_{enlacés} \overline{I }}$autre formulation : La circulation du vecteur champ magnétique $
\overrightarrow{B}$ le long d'un contour orienté $\mathcal{C}$ est égal au flux du vecteur densité volumique de courant $\overrightarrow{j}$ à travers toute surface ouverte $S$ associée à ce contour, multiplié par la constante magnétique $\mu_0$ :
$\displaystyle\mathbf{\oint_{\mathcal{C}\leftrightarrow S} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}=\mu_0\; \iint_{S\leftrightarrow\mathcal{C}} \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS}}$
*FORME LOCALE*En tout point de l'espace, le rotationnel du champ magnétique $
\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}$ est égal au vecteur densité volumique de courant $\overrightarrow{j}$ multiplié par la constante magnétique $\mu_0$ :
$\mathbf{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}=\mu_0\;\overrightarrow{j}}$
avec les unités $
SI$ :- champ d'induction magnétique $
\overrightarrow{B}$ : $T$
- courant électrique $\overline{I}$ : $A$
- vecteur densité volumique de courant $\overrightarrow{j}$ : $A\;m^{-3}$
- constante magnétique = perméabilité du vide : $\mu_0=1,25663706\cdot 10^{-6}\;SI$
Quel est l'intérêt du théorème d'Ampère intégral ?
-
Le théorème d'Ampère est un théorème très général.
-
Dans la limite où un contour d'Ampère tend vers 0, il permet de définir la notion de rotationnel qui quantifie une propriété locale de tout champ vectoriel :
$\Longrightarrow$ le théorème d'Ampère aura une expression locale. -
Cette notion de rotationnel est l'une des trois notions essentielles (avec le gradient et la divergence) pour décrire les lois de la physique au niveau universitaire.
-
Il permet de calculer le champ magnétique $
B$ lorsque les distributions de courants présentent des invariances et symétries, en remplaçant des calculs qui seraient extrêmement complexes.
Quels sont les concepts nécessaire à sa compréhension ?
-
Théorème = peut être démontré
-
Outre les concepts déjà vus de :
- circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour.
- règle d'orientation de l'espace.
la démonstration nécessite les concepts de :
- ligne ouverte, et ligne fermée (contour).
- surface ouverte associée à un contour.
- contours disjoints et contours enlacés.
- rotationnel d'un champ vectoriel.
Qu'est-ce qu'une ligne ouverte ou fermée ?
-
ligne ouverte = chemin : ligne $
\mathcal{C}$ délimitée par 2 extrémités $M_1$ et $M_2$.
$\Longrightarrow$ :
- l'orientation = sens de parcours défini comme positif d'un chemin doit être choisie parmi les deux sens possibles : de $M_1$ vers $M_2$, ou de $M_2$ vers $M_1$.
- l'intégration sur un chemin utilise le symbole $\displaystyle\int_{\mathcal{C}}$ : $\quad\displaystyle\int_{M_1}^{M_2} ...$ ou $\quad\displaystyle\int_{M_2}^{M_1} ...$ -
ligne fermée = contour = circuit si parcouru par un courant électrique : ligne se refermant sur elle-même.
$\Longrightarrow$ :
- le sens positif de parcours doit être choisi et il est indiqué par l'orientation des éléments vectoriels de chemin $\overrightarrow{dl}$.
- l'intégration sur un contour utilise le symbole $\oint_{\mathcal{C}}...$
Qu'est-ce qu'une surface ouverte associée à un contour ?
-
Une surface ouverte s'appuie sur un contour si le contour est le bord de la surface.
-
Il existe une infinité de surfaces ouvertes qui s'appuient sur un même contour quelconque.
- Une surface associée à un contour respectent les deux conditions suivantes :
- la surface s'appuie sur ce contour.
- les deux orientations choisis, l'une sur le contour et l'autre sur la surface, sont liés par la règle de la main droite.
Comment savoir si un chemin traverse une surface ouverte associée à un contour ?
Le contour et la surface associée sont contenus dans un plan
-
Soient un contour orienté $
\mathcal{C}$ contenu dans un plan $\mathcal{P}$, et la surface plane associé $S$. -
L'angle solide sous lequel $
S$ est vue depuis un point $M$ tend vers $\pm 2\pi\;sr$ lorsque la distance du point $M$ à la surface $S$ tend vers 0 :
$\mathbf{\displaystyle\lim_{M\rightarrow{S\subset\mathcal{P}}}=\pm 2\pi}$,
le signe $+$ ou $-$ dépendant du sens d'orientation choisi pour $S$ et de quel côté de la surface se situe $M$. -
Si un chemin $
M_1M_2$ traverse une surface plane $S$, Il y a une discontinuité de $\pm 4\pi$ dans la valeur de l'angle solide sous lequel est vue $S$ à la traversée de la surface plane,
le signe $+$ ou $-$ dépendant du sens d'orientation choisi pour $S$, et du sens de parcours du chemin $M_1M_2$. -
Ainsi, si $
\Omega_1$ (respectivement $\Omega_2)$ est l'angle solide sous lequel est vue la surface plane $S$ depuis l'extrémité $M_1$ (resp. $M_2$), alors l'intégration de l'angle solide le long du chemin $M_1M_2$ est :
$\mathbf{\displaystyle\int_{M_1}^{M_2} d\Omega = \Omega_2 - \Omega_1 \pm 4\pi}$,
le signe $+$ ou $-$ dépendant du sens d'orientation choisi pour $S$, et du sens de parcours du chemin $M_1M_2$.
- Si le chemin $
M_1M_2$ traverse 2 fois et en sens inverses la surface plane $S$, alors l'intégration de l'angle solide entre les deux extrémités $M_1$ et $M_2$ devient :
$\mathbf{\displaystyle\int_{M_1}^{M_2} d\Omega = \Omega_2 - \Omega_1}$
- Il existe alors d' autres surfaces ouvertes s'appuyant sur le même contour que le chemin $
M_1M_2$ ne traverse pas.
Le contour et la surface associée sont quelconques
-
Depuis un point $
M$, l'angle solide élémentaire $d\Omega_{\Delta}$ sous lequel est vu une surface macroscopique traversée p fois dans une direction $\Delta$ est donné par :
$d\Omega_{\Delta}=\sum_{i=1}^p d\Omega_{\Delta, i}$,
l'indice i indique l'ordre de traversée de la surface depuis le point d'observation $M$.
(les différents $d\Omega_{\Delta, i}$ ont même valeur absolue $|d\Omega_0|\ne 0$) -
Si vue d'un point $
M$ une surface est non torsadée, donc
si $\forall i$ les signes de $d\Omega_{\Delta i}$ et $d\Omega_{\Delta i+1}$ sont opposés, alors :
- p pair $\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{d\Omega_{\Delta}= 0}$.
- p impair $\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{d\Omega_{\Delta}=\pm\,|\,d\Omega_0\,|}$. -
Si cette surface non torsadée est observée depuis deux points $
M$ et $M'$ situés sur l'axe d'observation $\Delta$ de par et d'autre au voisinage de la surface, alors la traversée entre $M$ et $M'$ implique :
- $\mathbf{d\Omega_{\Delta}(M)=\pm\,|\,d\Omega_0\,|}$ $\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{ d\Omega_{\Delta}(M')=0 }$
- $\mathbf{d\Omega_{\Delta}(M)= 0}$ $\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{ d\Omega_{\Delta}(M')=\pm\,|\,d\Omega_0\,| }$
- Soit une surface ouverte non plane et non torsadée $
S$, qui est orientée.
Cette surface est traversée en un point $M_0$ par une chemin ou un contour $\mathcal{C}$.
-
L'angle solide limite $
\Omega_0$ sous lesquel cette surface est observée lorsqu'un point du chemin $\mathcal{C}$ tend par un côté vers $M_0$ n'est en général pas égale à $2\pi$. Mais cette limite angle solide limite exprimé en stéradian peut s'écrire sous la forme :
$\mathbf{\Omega_0=\pm\,2\pi+\Omega '}$ ,
avec $\Omega '$ angle solide complémentaire qui peut être positif ou négatif. -
Contribuent à $
\Omega_0$ limite tous les angles solides élémentaires $d\Omega_{\Delta}$ correspondant à une direction $\Delta$ pour laquelle, depuis le point limite considéré, la surface est traversée un nombre impair de fois. -
Ne contribuent pas à $
\Omega_0$ limite tous les angles solides élémentaires correspondants à une direction $\Delta$ qui ne traverse pas la surface, ou lorsque la surface est traversée un nombre pair de fois.
Pour l'orientation de la surface $S$ et la position du point $M_0^+$ représentées sur la figure, l'angle solide limite sous lequel $S$ est vue vaut $\Omega_0^+=+2\pi+\Omega' $, avec $\Omega' >0$.
-
L'angle solide limite $
\Omega_0 '$ est l'angle solide d'observation de $S$ depuis un point de $\mathcal{C}$ tend vers $M_0$ depuis l'autre face.
$\Longrightarrow$ :
- toute direction $\Delta$ qui ne rencontrait pas la surface, la traverse désormais 1 fois.
- toute direction $\Delta$ qui traversait un nombre pair de fois la surface, la traverse un nombre impair de fois, et réciproquement. -
$
\Longrightarrow$ toute direction qui apportaient une contribution à l'angle solide $\Omega_0$, ne contribue pas à l'angle solide $\Omega_0 '$.
$\Longrightarrow$ inversement, toute direction ne contribuait pas à $\Omega_0$, contribue à $\Omega_0 '$. -
$
\Longrightarrow$ Les angles solides limites $\Omega_0$ et $\Omega_0 '$ vérifient :
- algébriquement : $\mathbf{\Omega_0 ' - \Omega_0=\pm 4\pi}$
- en valeur absolue : $\mathbf{|\,\Omega_0\,| + |\,\Omega_0 '\,|= 4\pi}$.
Pour l'orientation de la surface $S$ et la position du point $M_0^-$ représentées sur la figure, l'angle solide limite sous lequel $S$ est vue vaut $\Omega_0^-=-2\pi+\Omega' $, en comptant $\Omega' >0$ comme dans la figure précédente.
- A la traversée d'une surface quelconque, l'angle solide sous lequel est observée une surface quelconque présente une discontinuité de $
\pm\,4\pi$,
le signe + ou - dépend de l'orientation de la surface, et du sens de traversée de la surface.
Qu'est-ce que deux contours enlacés ?
-
Deux contours sont non enlacés si et seulement si il est possible de les séparer en les déformant.
-
Considère le même cas que précédemment, mais avec les deux extrémités $
M_1$ et $M_2$ d'un chemin confondues en un même point $M$ $\,=M_1=M_2$ pour former un contour $\mathcal{C_2}$ . -
Les contours sont disjoints :
$\Longleftrightarrow$ un contour traverse 0 fois, 2 fois, ... 2n fois (avec n$\in\mathbb{N}$) toute surface ouverte associée à l'autre contour. -
$
\Longrightarrow$ lors d'un tour complet sur l'un des contours (exemple $\mathcal{C_2}$, la variation de l'angle solide sous lequel est vu l'autre contour (ou toute surface ouverte associée à ce contour) est nulle :
$\mathbf{\oint_{\mathcal{C_2}} d\Omega = 0}$
-
Les contours sont enlacés :
$\Longleftrightarrow$ un contour traverse 1 fois, 3 fois, ... (2n+1) fois (avec n$\in\mathbb{N}$) toute surface ouverte associée à l'autre contour. -
$
\Longrightarrow$ lors d'un tour complet sur l'un des contours (exemple $\mathcal{C_2}$, la variation de l'angle solide sous lequel est vue toute surface ouverte s'appuyant sur l'autre contour égale $\pm 4\pi$ stéradians :
$\mathbf{\oint_{\mathcal{C_2}} d\Omega = \pm 4\pi}$ -
Le signe $
+$ ou $-$ dépend des sens de circulation définis comme positifs sur chacun des contours.
Démonstration du théorème d'Ampère : les différentes étapes
- Nous devrons reconstruire des angles solides $
d\Omega$ et des surfaces $dS$ élémentaires à partir d'éléments de longueurs $dl$.
$\Longrightarrow$ La notation suivante sera utilisée pour la clareté de la démonstration:
- $\mathbf{dl}$ pour les éléments de longueur.
- $\mathbf{d^2S\;,\; d^2\Omega}$ pour les éléments de surface et d'angles solides de base définis par le produit de deux éléments de longueur.
- $\mathbf{dS \;,\; d\Omega}$, puis $\mathbf{S \;,\; \Omega}$ lors des intégrations successives.
Quel est le déplacement apparent d'un point $P$ de l'espace si l'observateur se déplace d'un point $M$ à un point $M'$ voisin ?
-
L'observateur fait un déplacement infinitésimal $
\overrightarrow{dl'}=\overrightarrow{MM'}$. -
Lorsque l'observateur est au point $
M$, tout point $P$ est repéré par son vecteur position $\overrightarrow{MP}$. -
Lors du déplacement de $
M$ en $M'$, le vecteur position de tout point $P$ devient :
$\overrightarrow{M'P}=\overrightarrow{M'M}+\overrightarrow{MP} =-\,\overrightarrow{MM'}+\overrightarrow{MP}=-\,\overrightarrow{dl'}+\overrightarrow{MP}$ -
$
\Longrightarrow$ le déplacement apparent de tout point $P$ est de $\mathbf{-\,\overrightarrow{dl'}}$.
Quelle est la surface apparente balayée par un élément de longueur $\overrightarrow{dl}$ si l'observateur se déplace de $\overrightarrow{dl'}=\overrightarrow{MM'}$ ?
- La surface élémentaire $
d^2S$ balayée par l'élément de circuit $\overrightarrow{dl}$ est donnée :
- en valeur absolue par le produit $dl\cdot dl' \cdot |\,sin \theta\,|$,
avec $\theta$ angle formé par les vecteurs $\overrightarrow{dl}$ et $\overrightarrow{dl'}$, soit encore :
$\quad d^2S=|| \overrightarrow{dl}\wedge(-\overrightarrow{dl'})||$
- l'orientation de cette surface peut-être donnée par le produit vectoriel :
$\mathbf{\quad \overrightarrow{d^2S}}$$\;=\overrightarrow{dl}\wedge(-\overrightarrow{dl'})$$\mathbf{\;=-\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{dl'}}$
Sous quel angle solide la surface balayée par $\overrightarrow{dl}$ est-elle observée depuis le point $M$ ?
-
Cette surface élémentaire $
d^2S$ est observée depuis le point $M$ sous l'angle solide $d^2\Omega$ :
$d^2\Omega=\dfrac{d^2\Sigma}{r^2}=\dfrac{\overrightarrow{d^2S}\cdot\overrightarrow{MP}}{MP^3}$ $=\dfrac{\overrightarrow{d^2S}}{MP^2}\cdot\dfrac{\overrightarrow{MP}}{MP}$ $= \dfrac{\overrightarrow{d^2S}}{r^2}\cdot (-\overrightarrow{u})$ $= \dfrac{\left(-\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{dl'}\right)\cdot (-\overrightarrow{u})}{r^2}$ $= \dfrac{\left(\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{dl'}\right)\cdot\overrightarrow{u}}{r^2}$ -
Or $
\left(\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{dl'}\right)\cdot\overrightarrow{u}$ est le produit mixte $\left(\overrightarrow{dl},\overrightarrow{dl'},\overrightarrow{u}\right)$, donc :
$\left(\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{dl'}\right)\cdot\overrightarrow{u}$ $=\left(\overrightarrow{dl}, \overrightarrow{dl'},\overrightarrow{u}\right)$ $=-\left(\overrightarrow{dl}, \overrightarrow{u},\overrightarrow{dl'}\right)$ $=-\left(\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{dl'}$ -
L'angle solide $
d^2\Omega$ se réécrit :
$\mathbf{\quad d^2\Omega=-\,\dfrac{\left(\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{dl'}}{r^2}}$ -
Selon l'orientation de chaque $
\overrightarrow{dl}$, l'angle solide correspondant $d^2\Omega$ est positif ou négatif.
Sous quel angle solide la surface balayée par un contour $\mathcal{C_1}$ est-elle observée depuis le point $M$ ?
-
Il faut intégrer sur tous les $
\overrightarrow{dl}$ appartenant au contour $\mathcal{C_1}$ :
$\mathbf{\quad d\Omega}$ $\;=-\;\oint_{\mathcal{C_1}} \quad d^2\Omega$ $\mathbf{\;=-\oint_{\overrightarrow{dl}\,\in\,\mathcal{C}_1} \dfrac{\left(\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{dl'}}{r^2}}$ -
Le calcul de l'angle solide $
d\Omega$ fait apparaître une contribution positive $d\Omega^+$ et une* contribution négative $d\Omega^-$*. -
Un contour étant une ligne fermée, pour un déplacement infinitésimal de l'observateur, les contributions $
d\Omega^+$ et $d\Omega^-$ s'annulent presque. -
$
\Longrightarrow\quad d\Omega$ n'est pas l'angle solide $\Omega_{\mathcal{C_1}}$ sous lequel l'observateur voit le contour $\mathcal{C_1}$ ou toute surface ouverte associée à ce contour. Il est bien plus faible : $d\Omega<<\Omega_{\mathcal{C_1}}$
Comment s'exprime la variation d'angle solide sous lequel est vu un contour $\mathcal{C_1}$ si l'observateur se déplace de $\overrightarrow{dl'}=\overrightarrow{MM'}$ ?
-
Dans l'hypothèse ou le contour $
\mathcal{C_1}$ apparaît inchangé pour l'observateur se déplaçant de (par exemple $\mathcal{C_1}$ est une grande structure située à très grande distance de l'observateur), alors les contributions $d\Omega^+$ et $d\Omega^-$ s'annulent :
$\Longrightarrow$$\mathbf{\quad d\Omega=0}$. -
Ainsi $
\mathbf{\quad d\Omega\ne 0}$ correspond à une variation de perception de $\mathcal{C_1}$ lors du déplacement de l'observateur, due à la parallaxe. -
La variation d'angle solide sous lequel est vu un contour (ou toute surface ouverte associée à ce contour) est égale à $
\mathbf{d\Omega}$.
Que vaut $\overrightarrow{B}$ créé en un point $M$ par un contour $\mathcal{C_1}$ parcouru par un courant constant $I$ ?
-
L'orientation de $
\mathcal{C_1}$ est défini par le sens des $\mathbf{\overrightarrow{dl}}$. -
Le sens du courant est donnée par la *valeur algébrique de *$
\overline{\,I}*$. -
Le champ magnétique créé en un point $
M$ par un élément de courant $\overline{\,I}\;\overrightarrow{dl_P}$ en un point $P$ de l'espace est donné par la loi de Biot et Savart : $\overrightarrow{dB_M}_{\leftarrow P}=\dfrac{\mu_0\;\overline{ I}}{4\pi} \cdot \dfrac{\overrightarrow{dl_M}\land\overrightarrow{PM}}{PM^3}$ -
Le champ magnétique $
\overrightarrow{B_M}$ créé en un point $M$ par les éléments de longueur $dl$ en tous les points $P$ d'un circuit fermé orienté $\mathcal{C_1}$ parcouru par un courant $I$ constant s'écrit :
$\displaystyle\overrightarrow{B_M}=\dfrac{\mu_0\;\overline{ I}}{4\pi} \cdot\oint_{\overrightarrow{dl}\,\in\,\mathcal{C}_1} \dfrac{\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{PM}}{PM^3}$
soit
$\displaystyle\mathbf{\overrightarrow{B_M}=\dfrac{\mu_0\;\overline{I}}{4\pi} \cdot\oint_{\overrightarrow{dl}\,\in\,\mathcal{C}_1} \dfrac{\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{u}}{r^2}}$
avec en chaque point $P$ :
$\quad PM=||\overrightarrow{PM}||=r\quad$ et $\quad\overrightarrow{PM}=r\;\overrightarrow{u}$.
Comment s'exprime la circulation du champ magnétique lors du déplacement de $M$ en $M'$ ?
-
Si le point $
M$ se déplace en $M'$, la circulation de $\overrightarrow{B_M}$ lors de ce déplacement $\overrightarrow{dl'}=\overrightarrow{MM'}$ s'écrit :
$\overrightarrow{B_M}\cdot\overrightarrow{dl'}=\dfrac{\mu_0\;\overline{I}}{4\pi} \cdot \oint_{\overrightarrow{dl}\,\in\,\mathcal{C}_1} \dfrac{\left(\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{dl'}}{r^2}$ -
$
\left(\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{dl'}$ est le produit mixte $\left(\overrightarrow{dl},\overrightarrow{u},\overrightarrow{dl'}\right)$, et :
$\left(\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{dl'}\right)$ $=\left(\overrightarrow{dl}, \overrightarrow{u},\overrightarrow{dl'}\right)$ $=-\,\left(\overrightarrow{dl}, \overrightarrow{dl'},\overrightarrow{u}\right)$ $=-\,\left(\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{dl'}\right)\cdot\overrightarrow{u}$ -
$
\displaystyle\Longrightarrow\quad \overrightarrow{B_M}\cdot\overrightarrow{dl'}=-\,\dfrac{\mu_0\;\overline{\,I}}{4\pi} \cdot \oint_{\overrightarrow{dl}\,\in\,\mathcal{C}_1} \dfrac{\left(\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{dl'}\right)\cdot\overrightarrow{u}}{r^2}$ -
$
\Longrightarrow\quad$ $\mathbf{\overrightarrow{B_M}\cdot\overrightarrow{dl'}=\dfrac{\mu_0\;\overline{\,I}}{4\pi}\cdot d\Omega}$
Que vaut la circulation du champ magnétique créé par le contour $\mathcal{C_1}$ sur un contour $\mathcal{C}_2$?
-
Le déplacement élémentaire précédent $
\overrightarrow{dl'}=\overrightarrow{MM'}$ appartient à un contour $\mathcal{C}_2$. -
Le sens du vecteur déplacement élémentaire $
\overrightarrow{dl'}$ définit le sens positif de circulation de $\mathcal{C}_2$. -
La circulation du champ magnétique $
\overrightarrow{B}$ créé par le contour $\mathcal{C_1}$ sur le contour $\mathcal{C}_2$ s'obtient en intégrant l'expression précédente sur tous les $\overrightarrow{dl'}$ constituant $\mathcal{C}_2$ :
$\displaystyle\mathbf{\oint_{\overrightarrow{dl'}\,\in\,\mathcal{C}_2} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl'}=\dfrac{\mu_0\;\overline{\,I}}{4\pi}\cdot \oint_{\mathcal{C}_2} d\Omega}$
où $\oint_{\mathcal{C}_2} d\Omega$ est la variation de l'angle solide sous lequel est vu le contour $\mathcal{C_2}$ lorsqu'un tout complet est effectué sur le contour $\mathcal{C_1}$.
- Si les contours $
\mathcal{C_1}$ et $\mathcal{C_2}$ sont enlacés :
$\Longrightarrow\quad\oint_{\mathcal{C}_2} d\Omega=\pm\,4\pi$
$\displaystyle\Longrightarrow\quad\mathbf{\oint_{\overrightarrow{dl'}\,\in\,\mathcal{C}_2} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl'}=\pm\,\mu_0\;\overline{\,I}}$.
(revoir... à quel moment l'indétermination sur le signe est-elle levée, et comment l'expliquer si besoin?)
- Si les contours $
\mathcal{C_1}$ et $\mathcal{C_2}$ sont disjoints :
$\Longrightarrow\quad\oint_{\mathcal{C}_2} d\Omega=0$
$\displaystyle\Longrightarrow\quad\mathbf{ \oint_{\overrightarrow{dl'}\,\in\,\mathcal{C}_2} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl'}=0}$.
Que dit le théorème d'Ampère intégral ?
- Soit une distribution quelconque de courant dans l'espace, qui créé un champ
magnétique $
\overrightarrow{B}$ en tout point de l'espace,
et soit un ligne fermée C quelconque dans un plan de l'espace.
- Soit une surface ouverte S quelconque qui s'appuie sur le contour C.
- Choisis une orientation quelconque du contour C, et oriente en conséquence chaque surface élémentaire dS constituant la surface S selon la règle d'orientation de l'espace dite "de la main droite".
Partant de la loi de Biot et Savart, le théorème d'Ampère montre que :
- La circulation du champ d'induction magnétique $
B$ le long du contour C est égale à la somme algébrique des courants électriques traversant la surface S,
$\oint_C \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \mu_0 \cdot \sum_n \overline{I_n}$
ou, ce qui revient au même, au flux du vecteur densité volumique de courant à travers la surface S
$\oint_C \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \mu_0 \cdot \iint_S \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{dS}$
Quelle est l'utilité du théorème d'Ampère intégral ?
Comment dois-tu l'utiliser ?
Pourquoi le théorème d'Ampère intégral est-il insuffisant ?
Champ magnétique créé par 3 courants électriques rectilignes, infinis et stationnaires,
se propageant dans une direction perpendiculaire au plan de représentation du champ
magnétique.
-
Dans les cas simples, l'oeil humain repère immédiatement les points centre de rotation des lignes de champ magnétique, qui localisent les causes du champ magnétique dans le plan d'observation.
-
Le théorème d'Ampère intégral précise, lors d'une circulation non nulle du champ magnétique le long d'un chemin fermé, la somme totale des courants à l'origine de cette circulation, mais ne permet pas la localisation précise des sources du champ magnétique.
-
Il doit exister une propriété locale (à l'échelle mésoscopique, donc apparaissant ponctuelle à la résolution de l'observation) qui en tout point de l'espace relie le champ magnétique à sa cause élémentaire locale.
Une idée pour relier une propriété locale du champ magnétique locale à sa cause ?
-
Dans la démonstration du théorème dAmpère (partie principale), aucune échelle de taille n'est précisée pour les choix du contour d'Ampère et d'une surface s'appuyant sur ce contour.
-
$
\Longrightarrow$ idée 1 : faire tendre le contour d'Ampère vers un contour mésoscopique plan autour de chaque point de résolution de l'espace, la circulation ainsi calculée sera une propriété locale du champ. -
$
\Longrightarrow$ idée 2 : choisir pour surface associée la portion de plan mésoscopique délimité par le contour précédent, le flux du courant à travers cette surface mésoscopique déduit du théorème d'Ampère sera ainsi un courant local. -
Cette idée est à la base de la notion de champ rotationnel d'un champ vectoriel.
Qu'est-ce que le champ rotationnel de B ?
Le champ rotationnel de B est un champ vectoriel.
En tout point M de l'espace, le vecteur $\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{B_M}$ indique :
-
en mots :
- le plan local dans lequel s'effectue la rotation de $\overrightarrow{B_M}$ par sa direction.
$\Longrightarrow$ la direction de $\overrightarrow{j}$, vecteur densité volumique de courant.
- le sens de la rotation de $\overrightarrow{B_M}$ par le *sens de $\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{B_M}$ et la règle d'orientation de l'espace.
$\Longrightarrow$ le sens de $\overrightarrow{j}$, vecteur densité volumique de courant.
- l'intensité du champ magnétique créé par norme de $\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{B_M}$
$\Longrightarrow$ la norme de $\overrightarrow{j}$, vecteur densité volumique de courant. -
mathématiquement et plus précis : $
\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{B}=\mu_0 \cdot \overrightarrow{j}$
Comment se détermine son expression en coordonnées cartésiennes ?
Comment visualiser et mémoriser le théorème de Stokes ?
Guide de démonstration et Aide à la mémorisation
- Soit un champ vectoriel $
\overrightarrow{X}(\overrightarrow{r})$, et un contour fermé C dans l'espace.
$\Longrightarrow \overrightarrow{X}$ est défini en chaque point de C.
- Soit le choix d'un sens de parcours positif sur le contour C, qui oriente
les déplacements élémentaires $
\overrightarrow{X}$ de ce contour.
$\Longrightarrow$ la circulation $\mathcal{C}$ de $\overrightarrow{X}$ le long de C peut être calculée.
- Soit une surface quelconque ouverte S s'appuyant sur C.
- Le sens positif d'orientation sur C impose le sens positif d'orientation des contours élémentaires* fermés qui délimitent les surfaces élémentaires de S.
- La règle d'orientation de lespace de la main droite permet alors l'orientation de chacune des surfaces élémentaires de S.
- Ou 1 figure GIF ?