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Le miroir
Qu'est-ce qu'un miroir ?
Objectif
- premier : réfléchir la lumière, focaliser ou disperser la lumière.
- ultime : réaliser des images, seul ou comme composant en série dans un système optique.
Principe physique
- utilise le phénomène de réflexion, décrit par la loi de la réflexion.
Constitution
- surface plane ou courbe (sphérique pour les plus simples à réaliser,
parabolique ou elliptique) polie finement de façon qu'en chaque point de sa surface,
son état de surface ne dévie de sa forme théorique que d'une distance inférieure à
$
\lambda/10$ ($\lambda$ étant la longueur d'onde dans le vide de la lumière devant être réfléchie). Pour accroître fortement sa réflectivité (pourcentage d'intensité lumineuse réflechie par rapport à l'intensité lumineuse totale incidente), la surface est le plus souvent métallisée.
Intérêt en optique
- L'un des plus importants composants optiques simples, utilisé seul ou combiné en série avec d'autres composants optiques dans des d'instruments optiques : certains objectifs d'appareils photographiques, télescopes.
Pourquoi étudier les miroirs plans et sphériques ?
- Les miroirs plans et sphériques sont techniquement les plus simples à réaliser, aussi sont-ils les plus communs et moins chers.
- En optique paraxial, les propriétés optiques d'un miroir plan sont celles d'un miroir sphérique dont le rayon de courbure tend vers l'infini.
Miroir plan, miroirs sphériques concaves et convexes
Fig. 1. Miroir a) plan b) concave c) convexe
Les miroirs plans et sphériques sont-ils stigmatiques ?
Stigmatisme rigoureux dun miroir plan
- Un miroir plan est *rigoureusement stigmatique.
- Objet et image sont symétriques de chaque côté de la surface du miroir plan
$\Longrightarrow$ Un objet réel donne une image virtuelle.
Un objet virtuel donne une image réelle.
Non stigmatisme du miroir sphérique
- En chaque point d'un miroir sphérique, la loi de la réflexion s'applique.
- Un miroir sphérique est non stigmatique : tous les rayons (ou leurs prolongements) issus d'un point objet, après réflexion ne convergent généralement pas vers un point image (voir Fig. 2.)
- Un miroir sphérique à angle d'ouverture limité (angle $
\alpha$ (rad) diminué sur les Fig. 3. et 4.) et utilisé de telle façon que les angles d'incidence restent petits en tout point de sa surface (voir Fig. 4.) réalise les conditions de stigmatisme approché.
Fig. 2. Non stigmatisme du miroir sphérique
Fig. 3. Mais quand nous diminuons l'angles d'ouverture du miroir (valeur de $\alpha$ en rad)
Fig. 4 . et limitons l'utilisation du miroir de telle façon que les angles d'incidence restent
petits, alors un point image peut-être presque déterminé : le miroir devient quasi-stigmatique.
Conditions de Gauss / approximation paraxiale et stigmatisme approché
-
Quand un miroir sphérique est utilisé dans les conditions suivantes, dites conditions de Gauss :
- Les angles d'incidence restent petits
(les rayons incidents sont faiblement inclinés par rapport à l'axe optique, et interceptent la surface sphérique du miroir au voisinage de l'axe optique),
alors le miroir sphérique peut être considéré comme quasi- stigmatique, et ainsi peut être utilisé pour construire des images optiques. -
Mathematiquement, quand un angle $
i$ est petit ($i < or \approx 10 ^\circ$), les approximations suivantes peuvent être faites :
$sin(i) \approx tg(i) \approx \i$ (rad), et $cos(i) \approx 1$. -
L'optique géométrique limitée aux conditions de Gauss s'appelle l'optique gaussienne ou optique paraxiale.
Le miroir sphérique mince (optique paraxiale)
- Nous appelons miroir sphérique mince un miroir sphérique utilisé dans les conditions de Gauss.
Etude analytique (en optique paraxiale)
-
Relation de conjugaison du miroir sphérique mince :
$\dfrac{1}{\overline{SA_{ima}}}+\dfrac{1}{\overline{SA_{obj}}}=\dfrac{2}{\overline{SC}}$ (equ.1) -
Expression du grandissement transversal :
$\overline{\gamma_t}=-\dfrac{\overline{SA_{ima}}}{\overline{SA_{obj}}}$ (equ.2)
Tu connais $\overline{SA_{obj}}$, tu calcules $\overline{SA_{ima}}$ en utilisant (equ. 1)
puis $\overline{\gamma_t}$ avec (equ.2), et déduis $\overline{A_{ima}B_{ima}}$.
! UTILE 1 :
! La relation de conjugaison et l'expression du grandissement transversal pour un miroir plan
! s'obtiennent en réécrivant ces deux équations pour un miroir sphérique dans la limite
! $|\overline{SC}|\longrightarrow\infty$.
! Tu obtiens alors : $\overline{SA_{ima}}= - \overline{SA_{obj}}$ et
! $\overline{\gamma_t}=+1$.
! UTILE 2 :
! Tu peux retrouver les équations de conjugaison et du grandissement transverse pour un miroir sphérique ou plan
et pour un dioptre plan, directement à partir de celles du dioptre sphérique, en considérant les analogies suivantes :
! - pour passer du dioptre au miroir : $n_{eme}=-n_{inc}$
! (pour mémoriser : milieu d'incidence = milieu d'émergence, donc même vitesse de propagation apparente de la lumière, mais le
sens de propagation est inversé après la réflexion sur le miroir)
! - pour passer du sphérique au plan : $|\overline{SC}|\longrightarrow\infty$
! Tu retrouves bien pour un miroir plan : $\overline{SA_{ima}}= - \overline{SA_{obj}}$ and $\overline{M_T}=+1$
Etude graphique
1 - Déterminer les points focaux objet et image
Les position des points focaux objet F et image F’ se déduisent facilement de la relation de conjugaison (equ. 1).
-
Distance focale image $
\overline{OF'}$ : $\left(|\overline{OA_{obj}}|\rightarrow\infty\Rightarrow A_{ima}=F'\right)$
(equ.1) $\Longrightarrow\dfrac{1}{\overline{SF'}}=\dfrac{2}{\overline{SC}}\Longrightarrow\overline{SF'}=\dfrac{\overline{SC}}{2}$ -
Distance focale objet $
\overline{OF}$ : $\left(|\overline{OA_{ima}}|\rightarrow\infty\Rightarrow A_{obj}=F\right)$
(equ.2) $\Longrightarrow\dfrac{1}{\overline{SF}}=\dfrac{2}{\overline{SC}}\Longrightarrow\overline{SF}=\dfrac{\overline{SC}}{2}$
2 - Représentation du miroir sphérique mince
-
Axe optique = axe de symétrie de révolution du miroir, orienté positivement dans le sens de la lumière incidente.
-
Représentation du miroir sphérique mince :
-sègment de droite, perpendiculaire à l'axe optique, centré sur l'axe avec une indication symbolique de la courbure de la surface du miroir sur ses bords, et une zone sombre ou hachurée du côté de la face non réfléchissante du miroir.
-sommet S, qui indique la position du miroir sur l'axe optique.
-point nodal C = centre de courbure.
-point focal objet F et point focal image F’.
Exemples de constructions géométriques, avec résultats analytiques pour t'entraîner.
- avec des objets réels
Fig. 5. Miroir concave avec objet situé entre moins l'infini et C.
Fig. 6. Miroir concave avec objet situé entre C et F/F’
Fig. 7. Miroir concave avec objet situé entre F/F’ et S
Fig. 8. Miroir convexe