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| The curl vector | false | false |
Le rotationnel
Opérateur, vecteur, champ rotationnel
Intérêt du vecteur rotationnel
La visualisation des lignes d'un champ vectoriel montre parfois qu'au voisinage de certains points de l'espace, les lignes semblent tourner autour de ce point dans un plan donné.
Exemple : Visualisation du champ vectoriel créé par trois fils rectilignes infinis parallèles parcourus par des courant stationnaires (stationnaire est l'adjectif qui précise "indépendant du temps"), dans un plan perpendiculaires à la direction commune de ces trois fils : l'humain repère de suite les 3 points autour desquels les lignes de champ s'enroulent.
Parfois cette observation d'un mouvement de rotation des lignes de champ autour de certains points est peu visible. En effet le champ vectoriel peut être complexe. Il peut par exemple être la somme de trois champs. Au voisinage d'un point M de l'espace, les lignes du premier champ peuvent garder une direction constante, celles du second champ converger ou diverger à partir de ce point, et celles du troisième tourner dans un sens ou dans l'autre autour de ce point dans un plan donné passant par M.
L'extraction et la quantification de l'information "rotation" des lignes d'un champ
vectoriel $\overrightarrow{X}$ au voisinage d'un point M est importante, et sera
donné par le vecteur $\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}$, $\overrightarrow{X_M}$
étant le vecteur particulier au point M du champ vectoriel $\overrightarrow{X}$.
L'ensemble des vecteurs $\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}$ étendu
à tous les points M de l'espace définit le champ rotationnel
$\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}$ du champ vectoriel $\overrightarrow{X}$ .
Définition du vecteur rotationnel
Un champ vectoriel, par définition, s'étend dans les trois directions de l'espace.
A priori, sauf dans des cas spécifiques très simples, la direction autour de
laquelle une composante tournante du champ vectoriel est non visible et inconnue.
Je ne peux donc que tester la composante rotation du champ vectoriel
$\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}$ en un point M
et autour d'un axe arbitraire représenté par un vecteur unitaire .
Je considère, dans le plan perpendiculaire à $\overrightarrow{n}$ au point P,
un contour fermé C entourant le point M. Je choisi comme sens positif de circulation
sur ce contour C le sens positif conventionnel donné par la règle de la main droite :
si mon pouce tendu indique la direction du vecteur $\overrightarrow{n}$, alors
l'orientation de les quatre autres doigts indique le sens positif de rotation.
La circulation du champ vectoriel $\overrightarrow{X}$ le long du contour C s'écrit
$\displaystyle\oint_{C} \overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{dl}$
Ce contour C inscrit dans un plan délimite une surface plane d'aire S
$\displaystyle S = \iint_{S \leftrightarrow C} dS$
Je diminue maintenant la taille de ce contour entourant le point M, de ce fait la
longueur l du contour C et l'aire S de la surface plane délimitée par C tendent
toutes deux vers zéro. Par définition, la limite lorsque S tend vers zéro du rapport
"circulation de $\overrightarrow{X}$ le long du contour C" par "l'aire S de la
surface plane délimitée par C" donne la composante dans la direction $\overrightarrow{n}$
d'un vecteur appelé rotationnel du champ vectoriel $\overrightarrow{X}$ au point M.
L'écriture mathématique de cette définition est beaucoup plus simple :
$\displaystyle \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{n} =\lim_{S \to 0 \\ en\,M} \: \dfrac{\oint_C \overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{dl}}{\iint_{S \leftrightarrow C} dS}$ (1)
Ainsi, si le plan dans lequel s'effectue la rotation du champ vectoriel au voisinage de M est bien le plan perpendiculaire à , alors le vecteur indique bien la direction et le sens de l'axe de rotation au point M.
En posant
, et
l'équation (1) se réécrit
La circulation infinitésimal autour d'un point M d'un champ vectoriel sur un contour élémentaire orienté perpendiculairement à une direction représentée par un vecteur unitaire s'écrit
soit encore
(2)
où est le vecteur surface élémentaire, vecteur perpendiculaire à la surface élémentaire au point M et de norme égale à l'aire de la surface élémentaire .
Les équations (1) et (2) restant valables en tout point de l'espace, je peux omettre de préciser le point, et écrire plus simplement
(3)
(4)
Expression du vecteur rotationnel en coordonnées cartésiennes
Je repère l'espace avec trois axes orthogonaux , et se coupant en un point origine , munie d'une même unité de longueur et décrivant un trièdre direct. Tout point quelconque M de l'espace est ainsi repéré par ses trois coordonnées cartésiennes et en M les trois vecteurs unitaires associés aux coordonnées définissent une base orthonormée directe.
Le vecteur au point quelconque M d'un champ vectoriel a pour composantes cartésiennes et s'écrit
Je vais tester la circulation du champ vectoriel dans les trois directions indiquées par les vecteurs unitaires . Pour l'étude de la composante de selon z (composante d'expression mathématique ), je choisis dans le plan perpendiculaire à et passant par M le contour infinitésimal à l'expression la plus simple : le petit rectangle ABCD de côtés parallèles aux vecteurs et , de centre M et de côtés et J'oriente ce rectangle infinitésimal ABCD selon la règle de la main droite, le pouce tendu en direction et sens du vecteur . Ainsi, ii le vecteur pointe vers mon oeil, alors le sens d'orientation du rectangle ABCD est le sens trigonométrique direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).
Le champ vectoriel est un champ de vecteurs dont je connais les expressions
Je connais l'expression analytique du champ vectoriel , c'est à dire les expressions analytique des composantes
Je connais les composantes du vecteur au point M. Pour établir le champ rotationnel, je dois obtenir une expression analytique de ce champ en tout point de l'espace. La circulation de sur ABDC est la somme des circulations de sur chacune des quatre branches AB, BC, CD et DA.
Soit la branche AB de centre P et dont l'ensemble des points admettent comme coordonnée selon x. L'orientation du rectangle élémentaire impose que le déplacement élémentaire de A vers b s'écrit
Au premier ordre, le vecteur au point P est le vecteur moyen du champ sur la branche AB, et son expression en fonction des composantes de et du déplacement élémentaire pour passer de M en P est
Le calcul de la circulation élémentaire de sur la branche AB me donne
La même démarche appliquée à la branche opposée CD de centre R me donne
La somme des circulations élémentaires sur les branches AB et CD se simplifie
(5)
Le travail équivalent sur les branches BC de centre Q, et DA de centre S donne
,
,
ce qui conduit à
(6)
J'obtiens maintenant, en additionnant les deux équations (5) et (6) membre à membre, l'expression de la circulation élémentaire du champ vectoriel sur le rectangle ABCD perpendiculaire à :
La surface élémentaire de ce rectangle ABCD élémentaire étant simplement , je peux maintenant calculer la composante selon du vecteur rotationnel du champ vectoriel au point M. En reprenant la définition (1), j'obtiens
Je peux reprendre la totalité du raisonnement précédent appliqué à des rectangles élémentaires perpendiculaires respectivement aux vecteurs et , et j'obtiendrai