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$\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}$
$\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}$
Proposición 1
Definir las herramientas matemáticas necesarias para el nivel 3
con una primera clasificación para ordenar la lluvia de ideas (nconteo, geometría, etc.). No presagia títulos de capítulo.
No dude en crear una nueva clasificación si es necesario.
Las herramientas matemáticas de los niveles 1 y 2 $+$ :
! *Numeración, operaciones y funciones comunes *
(CME-FR) Buen dominio, con ejercicios de automatización.
-
número imaginario $
i$
Conjunto de los números imaginarios puros $\mathbb{I}$ : $c=i\,b$
Conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ :
$c=a+i\,b= |c|\,e^{\,i\,\theta}$,
con $|c|=\sqrt{a^2 + b^2}$ y $\theta\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)$
$c=a+i\,b= \mathcal{Re}(c)+i\,\mathcal{Im}(c)$ -
función potencia $
y^x$ -
funcion exponencial $
e^x$
Euler $e^{\,i\theta}=\cos\theta+ i\sin\theta$
$\cos\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}+e^{\,-i\theta}}{2}$
** $\sin\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}-e^{\,-i\theta}}{2i}$** -
$
e^0=1 \quad , \quad$ $e^{\,i\frac{\pi}{2}}=i\quad , \quad$ $e^{\,i\pi}=-1\quad , \quad$, ... -
función logaritmo $
log_p\,x$
propiedades de la función de registro, incluyendo la transformación de un producto en una suma : $log_p\,xy=log_p,x+log_p,y$ función logaritmo $log_{10}\,x$ en relación con la función potencia $10^x$
función logaritmo natural $Log\,x=ln\,x$ en relación con $exp(x)=e^x$ -
notaciones reales y notación compleja : $
\overrightarrow{U}=U_0\,\cos(k\,x-\omega t+\varphi)\overrightarrow{e}$
$\overrightarrow{\underline{U}}=U_0\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t+\varphi)}\overrightarrow{e}$ $\;=\underline{U_0}\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t)}\overrightarrow{e}$
$\overrightarrow{U}=\mathcal{Re}(\overrightarrow{\underline{U}})$
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Conjuntos y lógica
por hacer
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Geometría y coordenadas
(CME-FR) Buen dominio, con ejercicios de automatización.
-
Regla de orientación del espacio Sistemas de coordenadas, bases y r??? directos o indirectos
-
Coordenadas, bases vectoriales y ??? asociados Bases y ???, ortogonales, normalizadas, ortonormales, directos e indirectos
-
Coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas
- con ??? y bases asociadas
- elementos infinitesimales de longitud, área, volumen
- expresiones de *operadores $
\overrightarrow{grad}$, $div$ et $\overrightarrow{rot}$
-
matriz de cambio de base ortonormal directo:
- $
\overrightarrow{e_i}\longrightarrow \overrightarrow{e_j}'$ : $(a)$ - $
\overrightarrow{e_j}'\longrightarrow \overrightarrow{e_i}'$ : $(a')=(a)^t = (a)^{-1}$
- $
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Vectores y operadores, análisis de vectores
(CME-FR) Buen dominio, con ejercicios de automatización.
En una base euclidiana (3D):
-
Producto escalar $
\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}$ (notation $\wedge$ ou $\times$ ) -
Producto vectorial $
\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}$ (notation $\wedge$ ou $\times$ ) -
Producto mixto $
(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})$ -
Operadores $
\overrightarrow{grad}$, $div$ y $\overrightarrow{rot}$ (notación $\overrightarrow{rot}$ ou $\overrightarrow{curl}$ ) y notación con nabla (coordenadas cartesianas) : $\overrightarrow{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial}{\partial y} \overrightarrow{e_y}\dfrac{\partial}{\partial z}\overrightarrow{e_z}$ -
Operador escalar laplaciano (coordenadas cartesianas) $
\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}$ $\;=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{\nabla}$ -
Operador escalar de Alembert (coordenadas cartesianas)
-
$
\Box=\Delta-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\delta^2}{\delta t^2}$ (para las ondas) -
$
\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{grad}\,V)=0$, en relación con
$\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}=0\quad\Longrightarrow\quad \exists V\;,\;\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\,V$ -
$
div\,(\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{A}) =0$, en relación con
$div\,\overrightarrow{B}=0 \quad\Longrightarrow\quad \exists \overrightarrow{A}\;,\;\overrightarrow{B}=\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{A}$
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Matrices
(CME-FR) Buen dominio, con ejercicios de automatización.
-
Matrices $
(n,m)$ : $\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix}$ -
Suma de matrices $
(n,m) + (n,m)$ -
Producto de matrices $
(n,m)\cdot (m,p) dot$ -
Matriz transpuesta de una matriz cuadrada
-
Cálculo matricial
-
Determinante de una matriz cuadrada: $
\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Funciones - Cálculo diferencial e integral
(CME-FR)
-
Pasaje de la notación $
f'(x_0)$ a $\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x_0}$
Pasaje de la notación $f'(x)$ a $\dfrac{df}{dx}$
...
de $f^{(n)}(x_0)$ a $\left.\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}\right|_{x_0}$
de $f^{(n)}(x)$ a $\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}$ -
función derivada y función primitiva.
-
integral simple
- indefinida $
\displaystyle\int f(x)\,dx$ - definida $
\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx$
- indefinida $
-
integral múltiple (variables independientes)
- $
\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy$ - $
\displaystyle\iiint f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$
- $
-
diferencia entre :
- $
\displaystyle\int f(x)\,dx$ et $\oint f(x)\,dx$ - $
\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy$ et $\oiint f(x,y)\,dx\,dy$
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
- $
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Ecuaciones
(CME-FR)
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por método de la Matriz
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(XXX-YY) ...
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! Ecuaciones diferenciales*
- por hacer
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
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