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title : Collection disparate d'éléments de cours (étape 1) : vocabulaire et équations published : false visible : false

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IMPORTANTE / IMPORTANT

[ES] Por favor, debes agregar lo que haces en tu universidad, si no está en la lista. Comience cada nuevo "elemento del curso" con VA + número. Los números normalmente van del 10 al 10. Esta notación permite insertar (21, 22, ...) elementos entre los ya existentes, para una progresión más lógica de los elementos. Para lo que está escrito en su idioma nativo, debes borrar y volver a escribir si usas otras palabras u otras explicaciones. Complete sus ecuaciones habituales si son diferentes de las ya escritas. Escriba sus comentarios entre
ejemplo: <! - this is a comment ->

[FR] Il faut rajouter ce que vous faites dans votre université, si ce n'est pas dans la liste. Commencer chaque nouvel "élément de cours" par VA+nombre. Les numéros vont normalement de 10 en 10. Cette notation permet d'intercaler (21, 22, ...) des éléments entre ceux déjà existants, pour une progression plus logique des éléments. Pour ce qui est écrit dans votre langue natale, il faut effacer et écrire de nouveau si vous utilisez d'autres mots ou d'autres expliactions. Compléter vos équations usuelles si elles sont différentes de celles déjà écrite. Ecrivez vos commentaire entre
exemple :

[EN] You must add what you do in your university, if it is not in the list. Begin each new "course element" with VA + number. The numbers normally go from 10 to 10. This notation allows to insert (21, 22, ...) elements between those already existing, for a more logical progression of the elements.For what is written in your native language, you must erase and rewrite if you use other words or other explanations. Complete your usual equations if they are different from those already written. Write your comments between
example:

"<br>" impone un salto a la linea siguente.
"<br>" impose un retour à la ligne.
"<br>" impose a line break.

[ES] Esta es una oportunidad, si lo deseamos, para estandarizar nuestros notación y vocabulario,
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102
o para indicar en el texto la equivalencia con la norma internacional si queremos mantener nuestras notaciones y vocabularios. Ejemplo :

[FR] C'est l'occasion, si nous le souhaitons, de normaliser notre notation et vocabulaire,
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102
ou d'indiquer dans le texte l'équivalence avec la norme internationale si on souhaite garder nos notations et vocabulaires. Exemple :

[EN] This is an opportunity, if we wish, to standardize our notation and vocabulary,
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102
or to indicate in the text the equivalence with the international standard if we wish to keep our notations and terms. Example :

"élément scalaire de surface $dA$" au lieu de "surface élémentaire ou infinitésimale $dS$".

[ES] La oportunidad también de que un matemático verifique la conformidad de expresiones matemáticas lógicas. Ejemplo :

[FR] L'occasion aussi de faire vérifier par un mathématicien la conformité des expressions mathématiques logiques. Exemple :

[EN] The opportunity also to have a mathematician verify the conformity of logical mathematical expressions. Example :

$\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}$$\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$$\quad \overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}$

https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11

Colección de elementos del curso: conceptos, vocabulario y ecuaciones / Collection d'éléments de cours : Concepts, vocabulaire et équations / Collection of Course Elements: Concepts, Vocabulary and Equations

Vectores, análisis vectorial / Vecteurs, analyse vectorielle / Vectors, vector analysis

(http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04)

VA10.Vectores en el espacio euclidiano / Vecteurs dans un espace euclidien / Vectors in Euclidean Space

[ES] 3 caracteristicas : norma, dirección y sentido ?
[FR] 3 caractéristiques : norme, direction et sens
[EN] 2 characteritics : magnitude (or length) and direction.

ATENCIÓN / ATTENTION / BE CAREFUL : [ES] matemáticamente, la palabra "dirección / direction / direction" no tiene el mismo significado en francés y español, y en inglés. [FR] mathématiquement, le mot dirección / direction / direction" n'a pas le même sens en français et espagnol, et en anglais. [EN] mathematically, the word "dirección / direction / direction" does not have the same meaning in French and Spanish, and in English.

VA20 Significado de los vectores en mecánica / Signification des vecteurs en mécanique / Meaning of vectors in mechanics.

[ES] Los vectores pueden representar diferentes cantidades físicas.
ejemplo: vector de velocidad del punto M, y la fuerza que se aplica al punto M.
[FR] Les vecteurs peuvent représenter des grandeurs physiques différentes.
exemple : vecteur vitesse du point M, et la force qui s’applique sur le point M.
[EN] The vectors can represent different physical quantities.
example: velocity vector of point M, and the force that applies to point M.
[ES] Las normas de vectores correspondientes a diferentes cantidades físicas (ejemplo: velocidad y fuerza) se expresan en diferentes unidades (respectivamente: $ms^{-1}$ y $N$). Ellos no se pueden comparar.
[FR] Les normes de vecteurs correspondant à des grandeurs physiques différentes (exemple : vitesse et force) s’expriment dans des unités différentes (respectivement : $m.s^{-1}$
et $N$). Elles ne peuvent pas être comparées.
[EN] The magnitudes of vectors corresponding to different physical quantities (example: speed and force) are expressed in different units (respectively: $ms^{-1}$ and $N$). They cannot be compared.

VA30 Vectores colineales y no colineales / Vecteurs colinéaires et non colinéaires / Collinear and non-collinear vectors

[ES] Dos vectores $\vec{A}$ et $\vec{B}$ son colineales si tienen igual dirección.
[FR] Deux vecteurs $\vec{A}$ et $\vec{B}$ sont colinéaires s’ils ont la même direction :
[EN] Two vectors $\vec{A}$ et $\vec{B}$ are collinear if they lie on the same line or parallel lines :

Il existe alors un nombre réel $\alpha$ tel que l’on peut écrire $\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}$
" $\vec{A}$ et $\vec{B}$ sont colinéaires" $\Longleftrightarrow \exists \alpha\in\mathbb{R}\quad\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}$
[ES] Dos vectores $\vec{A}$ et $\vec{B}$ son colineales si non tienen igual dirección.
[FR] Deux vecteurs $\vec{A}$ et $\vec{B}$ sont non colinéaires s’ils ont des directions différentes.
[EN] Two vectors $\vec{A}$ et $\vec{B}$ are non collinear if they lie on non parallel lines :

Pour tout nombre réel $\alpha$ on peut écrire $\overrightarrow{A} \ne \alpha\cdot\overrightarrow{B}$.
"$\vec{A}$ et $\vec{B}$ sont non colinéaires" $\Longleftrightarrow \forall\; \alpha\in\mathbb{R}$$\quad\overrightarrow{A} \ne\alpha\cdot\overrightarrow{B}$

Fig "mechanics-vectors-collinear.png" ready for use.

VA40 suma y resta de vectores / addition et soustraction de vecteurs / addition and subtraction of vectors

VA50 multiplicación de un vector por un escalar / multiplication d'un vecteur par un scalaire / multiplication of a vector by a scalar

VA60 vectores libres, vecores fijos / vecteurs libres, vecteurs liés / ...

VA70Base vectorial / Base vectorielle / Base of a vector space

VA70-1 en un plano $`\mathcal{P}`$ / dans un plan $`\mathcal{P}`$ / in a plane $`\mathcal{P}`$

Definición / Définition :
[ES] 2 vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ pertenecientes a un plano $\mathcal{P}$, no nulos, no colineales y ordonados en una secuencia $(\vec{a}\,,\,\vec{b})$ forman una base $(\vec{a}\,,\,\vec{b})$ de este plano.
[FR] 2 vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ appartenant à un plan $\mathcal{P}$, non nuls, non colinéaires et ordonnés dans une suite $(\vec{a}\,,\,\vec{b})$ forment une base $(\vec{a}\,,\,\vec{b})$ de ce plan.
[EN] ...
Propiedad / Propriété :
[ES] Si $(\vec{a}\,,\,\vec{b})$ es una base de un plano $\mathcal{P}$, entonces cualquier vector $\vec{V}$ de $\mathcal{P}$ se descompone de forma única en una combinación lineal de los vectores de base $\vec{a}$ et $\vec{b}$.
[FR] Si $(\vec{a}\,,\,\vec{b})$ est une base d'un plan $\mathcal{P}$, alors tout vecteur $\vec{V}$ de $\mathcal{P}$ se décompose de façon unique en une combinaison linéaire des vecteurs de base $\vec{a}$ et $\vec{b}$.
[EN] ...
Écriture mathématique :
"$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ est une base de $\mathcal{P}$" $\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}$$\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$$\quad \overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}$

Fig "mechanics-vector-base-plane_L1200.gif" ready for use.

VA70-2 en un espacio vectorial $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ / dans un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$ / in a vector space $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$

VA75 [ES] En matemáticas, una secuencia es un conjunto ordenado de elementos, llamados sus "términos". y que están indexados por números naturales.
[FR] En mathématiques, une suite est un ensemble ordonné d'éléments, appelés ses "termes" et qui sont indexées par les entiers naturels.(le terme "n-uplet" n'est pas bon ...)
[EN] In mathematics, a sequence is an ordered set of elements, called its "terms" and which are indexed by natural numbers.
VA80 [ES] $n$ vectores ordenados en una secuencia $(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})$ forman una base de un espacio vectorial $\mathcal{E}$ de dimensión $n$ si cualquier vector de este espacio se descompone de manera única en una combinación lineal de los vectores $\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}$.
[FR] $n$ vecteurs ordonnés dans une suite $(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})$ forment une base d'un espace vectoriel $\mathcal{E}$ de dimension $n$, si tout vecteur $\vec{V}$ de cet espace $\mathcal{E}$ se décompose de façon unique en une combinaison linéaire des vecteurs
$\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}$.
[EN] $n$ ordered vectors in a sequence $(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})$ form a basis of a vector space $\mathcal{E}$ of dimension $n$ if any vector of this space decomposes in a unique way into a linear combination of the vectors $\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}$.
"$(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})$ est une base de $\mathcal{E}$"$\quad\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{E}$$\quad\exists ! (\alpha_1,\alpha_1,...;\alpha_1)\in\mathbb{R}^n$$\quad \overrightarrow{V}=\alpha_1\cdot\overrightarrow{a_1}+\alpha_2\cdot\overrightarrow{a_2}+...+\alpha_n\cdot\overrightarrow{a_n}$
VA90 [ES] Para cualquier base denotamos los vectores base $\vec{a_i}$. (ejemplo : vectores de la base convencionale (no ortonormales) de un cristal en física del estado sólido/estructura de materiales) :
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08
Reservamos la notación $\vec{e_i}$ para las bases normales y ortonormales:
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.

[FR] Pour un base quelconque nous notons les vecteurs de base $\vec{a_i}$. (exemple des vecteurs de base conventionnelle (non orthonormée) d'un cristal, en physique du solide/structure des matériaux) :
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08
Nous réservons la notation $\vec{e_i}$ pour les vecteurs des bases normées et orthonormée :
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.

[EN] For any base we denote the base vectors $\vec{a_i}$. (example of the conventional base (not orthonormal) of a crystal, in solid state physics/structure of materials) :
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08
We reserve the notation $\vec{e_i}$ for vectors of normal and orthonormal bases :
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.

Características de una base / Caractéristiques d’une base et d’un repère / Characteristics of a base

VA100 Base y ??? normales / Base et repère normés / Normal base and ????

[ES] Base normée $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$
[FR] Base normée $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ et repère normé $(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})$
[EN] Normal base $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$
[ES] Los vectores de una base normal son vectores de norma uno : vectores unitarios.
[FR] Les vecteurs d'une base normée et d'un repère normé sont des vecteurs de norme unité : vecteurs unitaires.
[EN] The vectors of a normal base ???? (I am not sure at all here...) are vectors with a magnitude 1 (1 in the unit system).
$||\overrightarrow{a}||=1\; ; \;||\overrightarrow{b}||=1\; ; \;||\overrightarrow{c}||=1$ .

VA110 Base and ??? ortogonales / Base et repère orthogonaux / Orthogonal base and ???

[ES] Base $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ y ??? $(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})$
[FR] Base $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ et repère $(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})$
[EN] Base $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ and ??? $(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})$
[ES] Los vectores de una base ortongonale son vectores perpendiculares dos a dos.
[FR] Les vecteurs d'une base ou d'un repère orthogonal sont des vecteurs orthogonaux 2 à 2.
[EN] The vectors of the orthogonal base are orthogonal 2 to 2 vectors
$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\; ; \;\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c}\; ; \;\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}$.

VA120 Base y ??? ortonormales / base et repère orthonormés / ???

[ES] Base orthonormal $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$ / ??? $(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$
[FR] Base orthonormée $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$ / repère orthonormé $(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$ [EN] ??? $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$ / ??? $(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$

[ES]
[FR] orthonormé = ortho+normé :
- ortho : $\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \vec{e_i}\perp\vec{e_j}$.
- normé : $\forall \vec{e_i} \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\} \quad ||\vec{e_i}||=1$.
[EN]
[ES]
[FR] orthonormé : $\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \overrightarrow{e_i}\cdot\overrightarrow{e_j}=\delta_{i\,j}$
avec le symbole e Kronecker $\delta_{i\,j}$ défini par :
$\delta_{i\,j}=1$ si $i=j\quad$ et $\quad\delta_{i\,j}=0$ si $i \ne j$.
[EN]

VA130 Regla de la mano derecha / règle de la main droite / right-hand rule

[ES] Dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ distintos de cero, unitarios y ortogonales, forman una base ortonormal $(\vec{a},\vec{b})$ de un plano en el espacio.
[FR] ]Deux vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ non nuls, unitaires et orthogonaux forment une base orthonormée $(\vec{a},\vec{b})$ d'un plan dans l'espace.
[FR]
[ES] Esta base $(\vec{a},\vec{b})$ se puede completar con un tercer vector $\ve{c}$, unitario y perpendicular a $\vec{a}$ y a $\vec{b}$, para formar una base ortonormal $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ del espacio.
[FR] Cette base $(\vec{a},\vec{b})$ peut être complétée par un troisième vecteur $\vec{c}$, unitaire et perpendiculaire à $\vec{a}$ et à $\vec{b}$, pour former une base orthonormée $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ de l'espace.
[EN]
[ES] Este tercer vector $\vec{c}$ perpendicular a los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ tiene una dirección, la línea recta normal (perpendicular) al plano $\mathcal{P}$, pero hay dos sentidos posibles para este vector $\vec{c}$.
Estos dos posibles sentidos se distinguen por una regla de orientación del espacío: la regla de los 3 dedos de la mano derecha.
[FR] Ce troisième vecteur $\vec{c}$ perpendiculaire à la fois aux vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ possède une direction, la *droite normale (perpendiculaire) au plan $\mathcal{P}$, mais il y a deux sens possibles pour ce vecteur $\vec{c}$.
Ces deux sens possibles sont distingués par une règle d’orientation de l’espace : la règle des 3 doigts de la main droite.
[EN]

Fig "physics-mechanics-space-orientation-right-hand-rule-direction_L1200_horiz_vert.jpg" ready for use.

VA140 Repère orthonormé direct / indirect

VA200 Producto escalar de dos vectores, y norma de un vector / Produit scalaire de 2 vecteurs, et norme d’un vecteur /

VA200-1 valable dans une base $`(\vec{a},\vec{b})`$ quelconque d'un plan $`\mathcal{P}`$

$\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})$

$\Longrightarrow$ commutativité : $\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})\in\mathcal{P}^2\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{U}$

$\Longrightarrow$ associativité : $\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})\in\mathcal{P}^3$ $\quad\overrightarrow{U}\cdot(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}+\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{W}$

$\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{U}=U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b}$
$\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{V}=V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=(U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b})\cdot (V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b})$
$ = U_a\,V_a\,(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a})+U_a\,V_b\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$ $+U_b\,V_a\,(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})+U_b\,V_b\,(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b})$
$= U_a\,V_a\,\overrightarrow{a}^2 + U_b\,V_b\,\overrightarrow{b}^2 + (U_a\,V_a+U_b\,V_a)\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$

VA210 Norma de un vector / norme d'un vecteur / vector magnitude

[EN] magnitude = length

$||\overrightarrow{U}||=\sqrt{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{U}}=\overrightarrow{U}^{\frac{1}{2}}$

VA220 Vector unitario / Vecteur unitaire / Unit vector

$\overrightarrow{U}$ est unitaire $\quad\Longleftrightarrow\quad ||\overrightarrow{U}||=1$

VA230 Producto escalar de dos vectores colineales / Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires / Scalar product of 2 collinear vectors

[EN] scalar product = dot product

$\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$ sont colinéaires $\quad\Longleftrightarrow\quad (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{0,\pi\}$ $\quad\Longleftrightarrow\quad cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{-1,+1\}$

$\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$ sont colinéaires $\;\Longrightarrow\left|\begin{array}{l}\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=+\;||\overrightarrow{U}||\cdot ||\overrightarrow{V}||\;\text{si}\;\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=0 \\ \, \\ \overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=-\;||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}|| \;\text{si}\;\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=\pi\end{array}\right.$

VA240 Producto escalar de dos vectores ortogonales / Produit scalaire de 2 vecteurs orthogonaux / Scalar product of two orthogonal vectors

$\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad, \forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}$ $\overrightarrow{U}\perp\overrightarrow{V}\Longleftrightarrow\widehat{\overrightarrow{U}, \overrightarrow{V}}=\dfrac{\pi}{2}\Longleftrightarrow cos(\widehat{\overrightarrow{U}, \overrightarrow{V}})=0$$\Longrightarrow\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=0$.

VA250 Producto escalar de dos vectores en una base ortonormal del espacio / Prduit scalaire de deux vecteurs 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Scalar product of 2 vectors in an orthonormal basis

"$(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})$ est une base orthonormée. $\quad\Longrightarrow$ $\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}$ $\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}$
$\displaystyle\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + ... + U_n\,V_n = \sum_{i=1}^n\;U_i\,V_i$

VA260 Cálculo del ángulo entre 2 vectores en una base ortonormal del espacio / Calcul de l’angle entre 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Calculation of the angle between 2 vectors in an orthonormal basis

Plano euclidiano / plan euclidien / euclidian space : $n=3$ :

$\left.\begin{array}{l}\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}) \\ \overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3\end{array}\right|$ $\quad\Longrightarrow\quad cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})=\dfrac{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}} {||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}$ $\quad\Longrightarrow\quad cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})=\dfrac{U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3} {||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}$ $\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}= arcos\left(\dfrac{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}} {||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}\right)$ $\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}= arcos\left(\dfrac{U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3} {||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}\right)$

L'angle est donné en valeur non algébrique et exprimé en radian : $\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}\in [0, \pi]\quad$ (rad).

VA270 Producto vectorial de 2 vectores / Produit vectoriel de 2 vecteurs / Vector product of 2 vectors

Selon http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-36, il faudrait mieux utiliser en France la notation $\vec{U}\times\vec{V}$ plutôt que $\vec{U}\land\vec{V}$. On le fait pour le cours en français, ou alors on garde notre notation en expliquant notre différence avec la notation anglosaxonne ?

VA280 Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.

[ES] .
[FR] Le produit vectoriel de deux vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$ non nuls et non colinéaires de l'espace, noté $\vec{U}\land\vec{V}$ est un vecteur $\vec{W}$ :
- de norme $||\overrightarrow{W}||=||\overrightarrow{U}|\cdot||\overrightarrow{V}|\cdot sin(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})$
(l'angle est donné en valeur non algébrique et exprimé en radian : $\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}\in [0, \pi]\;$ (rad) ).
- de direction perpendiculaire au plan définit par les deux vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$ : $\overrightarrow{W}\perp\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{W}\perp\overrightarrow{V}$
- de sens donné par la règle de la main droite : si le sens du premier vecteur $\vec{U}$ est indiqué par le pouce, le sens du deuxième vecteur $\vec{V}$ par l'index, alors le sens du produit vectoriel $\vec{W}=\vec{U}\land\vec{V}$ est donné par le majeur.
[EN] .
[ES] .
[FR] La norme $||\vec{U}\land\vec{V}||$ du produit vectoriel de deux vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$ a pour valeur numérique l'aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$.
[EN] .
[ES] .
[FR] On note que, du fait de l'utilisation une fois (ou d'un nombre impair de fois) d'une (même) règle d'orientation de l'espace dans sa définition, le produit vectoriel est anti-commutatif :
$\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}=\,-\,\overrightarrow{V}\land\overrightarrow{U}$.
[EN]
[ES] .
[FR] Le produit vectoriel est distributif par rapport à l'addition de deux vecteurs :
$\overrightarrow{U}\land\,(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})= \overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}+\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{W}$.
[EN]

VA300 Componentes de un producto vectorial en base ortonormal / Composantes d'un produit vectoriel dans une base orthonormée / Components of a vector product in an orthonormal basis

$(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})$ est une base orthonormée $\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}$ $\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}$

[FR] For the expression of a vector $\vec{U}$ in the base $(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})$, we shouldn't we use (http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04) :
$\overrightarrow{U}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}$ or $\overrightarrow{U}=\begin{bmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{bmatrix}$ instead of $\overrightarrow{U}=\left|\begin{array}{l}U_1\\U_2\\U_3\end{array}\right.$ as we do at INSA ?
[ES]
[FR] méthode des produits en croix :
[EN]
$\forall\overrightarrow{U}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}$ $\quad\forall\overrightarrow{V}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}$ $\quad\vec{U}\land\vec{V}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}\land\begin{pmatrix}V_1\\V_2\\V_3\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}U_2 V_3 - U_3 V_2\\U_3 V_1 - U_1 V_3\\U_1 V_2 - U_2 V_1\end{pmatrix}$ $=U_1V_2\,\overrightarrow{e_3}+U_2V_3\,\overrightarrow{e_1}+U_3V_1\,\overrightarrow{e_2}$ $-\,U_1V_3\,\overrightarrow{e_2}-U_2V_1\,\overrightarrow{e_3}-U_3V_2\,\overrightarrow{e_1}$
[ES]
[FR]
[EN] method similar to the sum used to obtain the determinant of a matrix :

$\vec{U}\land\vec{V}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_1}&\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3}\\ U_1 & U_2 & U_3\\V_1 & V_2 & V_3\end{vmatrix}$ $=U_1V_2\,\overrightarrow{e_3}+U_2V_3\,\overrightarrow{e_1}+U_3V_1\,\overrightarrow{e_2}$ $-\,U_1V_3\,\overrightarrow{e_2}-U_2V_1\,\overrightarrow{e_3}-U_3V_2\,\overrightarrow{e_1}$

VA310 Producto mixto de 2 vectores / Produit mixte de 3 vecteurs / Scalar triple product of 3 vectors

[ES] Producto triple escala = producto mixto.
[FR] Produit mixte.
[EN] Scalar triple product = triple product.
[ES] :
[FR] Le produit mixte de 3 vecteurs ordonnés $\vec{U}$, $\vec{V}$ et $\vec{W}$, noté $(\vec{U},\vec{V},\vec{W})$ est le scalaire (pseudo-scalaire) défini par :
[EN] :
$(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\cdot (\overrightarrow{V}\land\overrightarrow{W})$
Propiedades / Prppriétés / Properties :

$(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W}) =(\overrightarrow{V},\overrightarrow{W},\overrightarrow{U}) =(\overrightarrow{W},\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})$

$(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W}) =-\,(\overrightarrow{V},\overrightarrow{U},\overrightarrow{W}) =-(\overrightarrow{U},\overrightarrow{W},\overrightarrow{V}) =-(\overrightarrow{W},\overrightarrow{V},\overrightarrow{U})$

VA310-1 Componentes de un producto mixto en base ortonormal / Composantes d'un produit mixte dans une base orthonormée / Components of a triple product in an orthonormal basis

[ES] :
[FR] Le produit mixte $(\vec{U},\vec{V},\vec{W})$ se calcule comme le déterminant de la matrice formée par les coordonnées ordonnées en ligne des trois vecteurs $\vec{U}$, $\vec{V}$ et $\vec{W}$ ordonnés en colonne :
[EN] :

$(\vec{U},\vec{V},\vec{W})=\begin{vmatrix} U_1 & U_2 & U_3\\ V_1 & V_2 & V_3\\W_1 & W_2 & W_3\end{vmatrix}$ $=U_3 V_1 W_2 + U_1 V_2 W_3 + U_2 V_3 W_1 - U_2 V_1 W_3 - U_3 V_2 W_1 - U_1 V_3 W_2$

VA310-2 Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.

[ES]
[FR] Le module du produit mixte de trois vecteurs $(\vec{U},\vec{V},\vec{W})$ donne le volume du parallélépipède construit à partir des trois vecteurs appliqués en un même point de l'espace.
[EN]

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