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| electromagnetism-in-matter-main | false | false |
Equations de Maxwell
Les équations de Maxwell locales précises les propriétés du champ électromagnétique en tout point de l'espace.
Mettre au point explication, ici dans le texte principal ou dans une "note" bleue : notion mathématique de "point" liée à notion de mathématique de limite vers une valeur numérique nulle, appliquée à un volume entourant le point considéré de l'espace.
Du point de vue physique, la notion de point n'existe pas. N'existe que la notion de volume indiscernable entourant un point de l'espace, le point ne représentant q'une localisation spatiale repérée par 3 coordonnées exprimées par des nombres réels, donc par trois coordonnées qui varient de façon continue à travers l'espace. L'indiscernabilité d'un volume dépend de la résolution spatiale à laquelle l'observateur décrit le monde.
Les phénomènes décrits par ces quatre équations de Maxwell n'ont jamais été prises en défaut par un résultat expérimental, que l'observation est été réalisée au niveau macroscopique, au niveau mésoscopique ou au niveau atomique. Attention, avons-nous le droit de dire cela? même ai niveau atomique, les particules élémentaires sont considérées comme ponctuelles, et cela amène à des infinis lors de l'intérgration des champs...
A ce niveau 4 "montagne" concernant l'électromagnétisme, les apprenants seront intéressés par une réflexion plus approfondie sur la notion d'échelle d'observation, échelle qui n'apparait pas dans les équations différentielles de la physique. Il faut un chapitre (avec un commencement dès le niveau 3" je pense sur cette question, avec un rappel dans le grand thème "les puissances de dix"?, ne serait-ce que pour définir les termes "macroscopique", "mésoscopique", "atomique" que l'on va utiliser ... (je propose de proscrire le terme "microscopique" associée à "échelle atomique", il fait trop référence au micromètre, ce qui relève plus du domaine macroscopique de nos jours... En tout cas le micromètre est plus grand que l'échelle mésoscopique considérée en physique des matériaux...)
Bref, je laisse tomber ce point pour le moment, pour avancer.
L'idée est de faire passer l'idée que ces équation de Maxwell sont valables dans le vide, même au niveau de description ou l'on considère que l'atome est essentiellement constitué de vide... Et cela permettra d'expliquer la forme des équations de Maxwell dans la matière, qui sont valables à une échelle mésoscopique. Vous êtes d'accord ? Démentis, propositions ou idées?
$div \overrightarrow{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}$
$\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$
$div \overrightarrow{B} = 0$
$\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}$
$\rho$ est la densité volumique de charge totale.
$\overrightarrow{j}$ est la densité volumique de courant totale.
! Note :
! $\rho$ est la densité volumique de charge totale
de solution
Rappel de l'équation d'onde d'un champ vectoriel
équation d'onde simple
$\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{v_{\phi}} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=0$
de solution générale :
L'expression de l'opérateur Laplacien vectoriel $\Delta$ en fonction des opérateurs $grad$, $div$ et $rot$ est :
$\Delta =\overrightarrow{grad} \left(div\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\right)$
Equation d'onde pour le champ électromagnétique
(Ou "Etude du Laplacien du champ électromagnétique")
L'idée est de calculer pour chacun des champs $\overrightarrow{E}$ et $\overrightarrow{E}$
l'expression de son Laplacien, pour voir si une identification avec l'équation d'onde est
réalisée.
Pour établir l'expression $\;\;\Delta \overrightarrow{E}\;\;$, je calcule
$\;\;\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)\;\;$ puis
$\;\;\overrightarrow{grad} \left(div \overrightarrow{E}\right)\;\;$ à partir des équations
de Maxwell :
-
$
\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)= \overrightarrow{rot} \,\left( -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)$
En physique classique non relativiste, espace et temps sont découplés. Les coordonnées spatiales et la coordonnée temporelle sont indépendantes. L'ordre de dérivation ou intégration entre des coordonnées spatiales et la coordonnés temporelle ne change pas le résultat, donc je peux écrire :
$\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)= -\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\overrightarrow{rot}\overrightarrow{B}\right)$
$\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)= -\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right)$
$\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right) =-\mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}$ -
$
\overrightarrow{grad} \left( div \; \overrightarrow{E} \right) = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right)$
La reconstruction de
$\Delta \;\overrightarrow{E} =\overrightarrow{grad} \left(div\;\overrightarrow{E}\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)$
donne :
$\Delta \;\overrightarrow{E} = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right) + \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}$
ce qui donne par identification au premier terme de l'équation d'onde :
$\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \; \overrightarrow{grad}\left(\rho \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} $
Une étude de forme identique (proposée en autotest dans la partie beyond) me conduirait
pour le champ magnétique $\overrightarrow{B}$ à l'équation de propagation :
$\Delta \overrightarrow{B}-\epsilon_0\mu_0\;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}} {\partial t^2}=-\mu_0\;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{j}$
Propagation du champ électromagnétique dans le vide
L'espace vide, localisé en dehors des charges et des courants localisés qui sont à l'origine du champ électromagnétique, densités volumiques de charges et de courants sont nulles :
$\rho=0$ et $\overrightarrow{j}=\overrightarrow{0}$
Le champ électromagnétique vérifie les deux équations d'onde :
$\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = 0 \hspace{1cm}$
et $\hspace{1cm}\Delta \overrightarrow{B}-\epsilon_0\mu_0\;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}} {\partial t^2}=0$
L'identification avec l'équation d'onde simple
$\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{v_{\phi}} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=0$
me dit que les champs électrique et magnétique se propagent simultanément dans l'espace vide
à la vitesse $v_{\phi}$ telle que :
$\dfrac{1}{v_{\phi}}=\mu_0 \epsilon_0$, soit $v_{\phi}=\dfrac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$
La constante électrique (permittivité absolue du vide) $\epsilon_0$, constante magnétique
(perméabilité absolue du vide) $\mu_0$ et vitesse de la lumière dans le vide $c$ sont liées par la relation :
$\epsilon_0\;\mu_0\;c^2=1$
Ainsi j'obtiens un résultat fondamental qui va révolutionner toute la physique classique dans tous ses aspects, hors (mais hors dans un premier temps seulement) son aspect gravitationnelle décrit par les 3 lois de Newton :
Dans le vide, le champ électromagnétique se propage librement à la vitesse de la lumière $c$.
!! AU-DELÀ :
!! Ecrire une petite note historique ici... Premières mesures un peu précises de la vitesse
de la lumière.. Maxwell remarque que les mesures expérimentales de l'époque montrent que $\epsilon_0\;\mu_0\;c^2\simeq 1$,
il fait l'hypothèse que $\epsilon_0\;\mu_0\;c^2=1$, puis par identification que la lumière
est une onde électromagnétique. .... autre, beaucoup de choses à dire là; Un minimum ici, et beaucoup
plus dans la partie de cours BEYOND.