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title: Définir les outils mathématiques de niveau 3 : proposition 1 published: true routable: true visible: false lessons: - slug: define-234-mathematical-tools-p1 order: 2

$\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}$ $\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}$

Proposition 1

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Définir les outils mathématiques requis au niveau 3

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avec une première classification pour ordonner un peu le brainstorming (numération, géométrie, etc). Elle ne présage pas des titres de chapitres.

N'hésitez pas à créer une nouvelle classification si nécessaire.

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Les outils mathémétiques de niveaux 1 et 2 $+$ :

! Numération, opérations et fonction usuelles

• nombre imaginaire $i$
  Ensemble des nombres imaginaires purs $\mathbb{I}$ : $c=i\,b$ Ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ : $c=a+i\,b= |c|\,e^{\,i\,\theta}$, avec $|c|=\sqrt{a^2 + b^2}$ et $\theta\arctan{b/a}$
  $c=a+i\,b= \mathcal{Re}(c)+i\,\mathcal{Im}(c)$

• fonction puissance $y^x$

• fonction exponentielle $e^x$
  Euler $e^{\,i\theta}=\cos\theta+ i\sin\theta$
  $\cos\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}+e^{\,-i\theta}}{2}$
  ** $\sin\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}-e^{\,-i\theta}}{2i}$**

• $e^0=1 \quad , \quad$ $e^{\,i\frac{\pi}{2}}=i\quad , \quad$ $e^{\,i\pi}=-1\quad , \quad$, ...

• fonction logatithme $log_p\,x$
  propriétés fonction log, dont transformation produit en somme : $log_p\,xy=log_p,x+log_p,y$ fonction logatithme $log_{10}\,x$ en relation à la fonction puissance $10^x$
  fonction logatithme népérien $Log\,x=ln\,x$ en relation à la fonction puissance $exp(x)=e^x$

• notations réelle et notation complexe : $\overrightarrow{U}=U_0\,\cos(k\,x-\omega t+\varphi)\overrightarrow{e}$
  $\overrightarrow{\underline{U}}=U_0\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t+\varphi)}\overrightarrow{e}$ $\;=\underline{U_0}\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t)}\overrightarrow{e}$
  $\overrightarrow{U}=\mathcal{Re}(\overrightarrow{\underline{U}})$

! Ensembles et logique

! Géométrie et coordonnées

• Règle d'orientation de l'espace
  Systèmes de coordonnées, bases et repères directs ou indirect

• Coordonnées, bases vectorielles et repères associées
  bases et repères orthogonaux, normés, orthonormés, directs et indirects

• Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques

  • avec repères et bases associés
  • éléments infinitésimaux de longueur, de surface, de volume
  • expressions des opérateurs $\overrightarrow{grad}$, $div$ et $\overrightarrow{rot}$

• matrice changement de base orthonormée directe :

  • $\overrightarrow{e_i}\longrightarrow \overrightarrow{e_j}'$ : $(a)$
  • $\overrightarrow{e_j}'\longrightarrow \overrightarrow{e_i}'$ : $(a')=(a)^t = (a)^{-1}$

! Vecteurs et opérateurs, analyse vectorielle

Dans une base euclidienne (3D):

• Produit scaleire $\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}$ (notation $\wedge$ ou $\times$ )

• Produit vectoriel $\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}$ (notation $\wedge$ ou $\times$ )

• Produit mixte $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})$

• Opérateurs $\overrightarrow{grad}$, $div$ et $\overrightarrow{rot}$ (notation $\overrightarrow{rot}$ ou $\overrightarrow{curl}$ ) et notation avec nabla (coordonnées cartésiennes) : $\overrightarrow{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial}{\partial y} \overrightarrow{e_y}\dfrac{\partial}{\partial z}\overrightarrow{e_z}$

• Opérateurs Laplacien scalaire (coordonnées cartésiennes) $\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}$ $\;=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{\nabla}$

• Opérateur d'Alembertien scalaire (coordonnées cartésiennes)

• $\Box=\Delta-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\delta^2}{\delta t^2}$ (pour les ondes)

• $\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{grad}\,V)=0$, lien avec
  $\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}=0\quad\Longrightarrow\quad \exists V\;,\;\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\,V$

• $div\,(\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{A}) =0$, lien avec
  $div\,\overrightarrow{B}=0 \quad\Longrightarrow\quad \exists \overrightarrow{A}\;,\;\overrightarrow{B}=\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{A}$

! Matrices

• Matrices $(n,m)$ : $\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix}$
• Matrice transposée d'une matrice carrée
• Calcul matriciel
• Déterminant d'une matrice carrée : $\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

! Étude de fonctions

• Passage de la notation $f'(x_0)$ à $\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x_0}$
  Passage de la notation $f'(x)$ à $\dfrac{df}{dx}$
  ...
  de $f^{(n)}(x_0)$ à $\left.\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}\right|_{x_0}$
  de $f^{(n)}(x)$ à $\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}$

• fonction dérivée et fonction primitive.

• intégrale simple

  • indéfinie $\displaystyle\int f(x)\,dx$
  • définie $\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx$

• intégrale multiple (variables indépendantes)

  • $\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy$
  • $\displaystyle\iiint f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$

• différence entre :

  • $\displaystyle\int f(x)\,dx$ et $\oint f(x)\,dx$
  • $\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy$ et $\oiint f(x,y)\,dx\,dy$

! Équations

• Résolution de systèmes d'équations par la méthode du déterminant.

! Équations

• lesquelles à ce niveau ?