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| Application du principe de Fermat,<br> lois et phénomènes optiques associés T |
#####chemin stationnaire dans un milieu homogène
Par définition, dans un milieu homogène l'indice de réfraction à la même valeur en tout point, donc je peux écrire :
$\tau;=;\frac{1}{c}\cdot\int_{S_{AB}}n;ds;=;\frac{n}{c}\cdot\int_{S_{AB}}ds$
Comme $n$ et $c$ sont des constantes, lors le temps de parcours $\tau$ est proportionnel à la simple longueur euclidienne $s= \int_{S_{AB}}ds$ du chemin suivi entre A et B.
Il existe une infinité de chemins possibles entre A et B, dont les longueurs s'étendent depuis une longueur minimum jusqu'à l'infini. Le seul chemin sur lequel le temps de parcours de la lumière est stationnaire est ici le chemin de longueur minimum entre ces deux points, soit le segment de droite [AB]. Le principe de Fermat postule donc que la lumière suivra le segment de droite qui joint ces deux points A et B. Dans un milieu homogène, les rayons lumineux sont des droites
#####chemin optique stationnaire lors d'une réflexion
Soit un miroir plan.
Pour simplifier les calculs, je choisi un système d'axes $(O,x, y, z)$ orthonormé direct tel que la surface du miroir soit dans le plan $(O,x,y)$. Soit A et B deux points situés d'un même côté du miroir, et par lesquels passe un même rayon lumineux. Le rayon lumineux passe d'abord par le point A, se réfléchit sur le miroir en un point I avant de passer par le point B. Pour simplifier les calculs, je peux choisir les axes $Ox$ et $Oy$ tels que les points A et B soient situés dans le plan $(O,x,z)$. Soient $(x_A,0,z_A)$, $(x_B,0,z_B)$ les cordonnées fixées des deux points A et B dans le système d'axe choisi, et $(x_I,y_I,0)$ les cordonnées variables du point I dans le plan du miroir. Le trajet du rayon lumineux se fait en deux parties, du point A au point I, puis après réflexion du point I au point B, toutes deux situées dans un même milieu homogène d'indice de réfraction $n$. Le chemin suivi par la lumière est donc constitué des deux segments de droite [AI] et [IB], de longueurs respectives notées d(A,I) et d(I,B). Le chemin optique s'écrit alors :
$\delta=\int_{S_{AI}}n;ds;+\int_{S_{IB}}n;ds$ $\hspace{0.2cm}=n\cdot \big( d(A,I)+d(I,B) \big)$
En fonction des coordonnées des points A et B et des variables coordonnées du point I, il se réécrit : $\delta(x_I,y_I)=n\cdot\Big(\sqrt{(x_I-x_A)^2+y_i^2+z_A^2}$ $\hspace{0.8cm}+\sqrt{(x_I-x_B)^2+y_i^2+z_B^2};\Big)$
Tout couple de coordonnées ($x_I,y_I) \in \mathbb{R}^2$ représente un parcours entre A et B susceptible d'être emprunté par la lumière. Par ailleurs tout parcours susceptible d'être emprunté par la lumière peut être identifié par un couple ($x_I,y_I) \in \mathbb{R}^2$ .
!!! PARALLÈLE : En terme mathématiques, je donnerai une description plus précise et plus complète en disant qu'il existe une bijection entre $\mathbb{R}^2$ et l'ensemble des parcours possibles entre les point A et B.
Le parcours réellement suivi par la lumière selon le principe de Fermat doit être stationnaire. Donc tout couple de coordonnées ($x_I,y_I$) qui vérifie
$\delta(x_I,y_I)=\frac{\partial\delta}{\partial x_I}\cdot dx_I;+;\frac{\partial\delta}{\partial y_I}\cdot dx_I=0$
pour toutes variations infinitésimales et indépendantes $dx_I$ et $dy_I$, est un parcours effectivement choisi par la lumière. Cela n'est possible que si chacune des dérivées partiels est nulle, soit :
$(1)\hspace{0.2cm}\frac{\partial\delta}{\partial x_I}=n\cdot\bigg({\small{\frac{x_I-x_A}{\sqrt{(x_I-x_A)^2+y_i^2+z_A^2}}}}$ $\hspace{0cm}+{\small{\frac{x_I-x_b}{\sqrt{(x_I-x_B)^2+y_i^2+z_B^2}}}};\bigg)=0$ et $(2)\hspace{0.2cm}\frac{\partial\delta}{\partial y_I}=n\cdot\bigg({\small{\frac{y_I}{\sqrt{(x_I-x_A)^2+y_i^2+z_A^2}}}}$ $\hspace{0cm}+{\small{\frac{y_I}{\sqrt{(x_I-x_B)^2+y_i^2+z_B^2}}}};\bigg)=0$
Comme les points A et B sont ne sont pas dans le plan du miroir ($z_A > 0$ et $z_B > 0$) alors les deux termes en racine carré sont strictement positifs. L'équation $(2)$ n'est donc vérifiée que si implique $y_I=0$ : le principe de Fermat postule ici que les 3 points A, I et B sont dans le même plan $y=0$, appelé plan d'incidence. Ainsi le rayon réfléchi est dans plan d'incidence défini par le rayon incident et la normale à la surface du miroir. au point I.
Dans ce plan d'incidence $(O,x,z)$, l'équation $(1)$ implique que les coordonnées des points A=($x_A,z_A$) et B=($x_B,z_B$) vérifient : ${\small{\frac{x_I-x_A}{\sqrt{(x_I-x_A)^2+z_A^2}}=\frac{x_I-x_B}{\sqrt{(x_I-x_B)^2+z_B^2}}}}$ Cela implique premièrement, comme une racine carrée est toujours un nombre positif, que $x_I$ est un nombre compris entre $x_A$ et $x_B$. Dans le plan d'incidence, le rayon réfléchi est toujours de l'autre côté de la normale au plan du miroir au point d'impact, par rapport au rayon incident. Deuxièmement, en remarquant dans cette même équation (1) que ${\small{\frac{|,x_I-x_A,|}{\sqrt{(x_I-x_A)^2+z_A^2}}}}=\sin(i_i)$ ${\small{\frac{|,x_I-x_B,|}{\sqrt{(x_I-x_B)^2+z_B^2}}}}=\sin(i_r)$
- avec $i_i$ angle d'incidence du rayon incident et $i_r$ angle de réflexion du rayon réfléchi par rapport à la normale en I au plan du miroir
on en déduit que l'angle de réflexion à la surface du miroir est égal à l'angle d'incidence.
#####chemin optique stationnaire à la traversée d'un dioptre plan
J'appelle dioptre plan toute surface plane séparant deux milieux transparents homogènes d'indices de réfraction différents.
Pour simplifier les calculs, je choisi un système orthonormé direct d'axes $(O,x, y, z)$ tel que le dioptre soit le plan $(O,x,y)$. Le milieu situé côté positif de l'axe $Oz$ a pour indice de réfraction $n_1$ , et le milieu situé côté négatif a pour indice de réfraction $n_2$.
Soit A et B deux points situés de part et d'autres du dioptre, et par lesquels passe un même rayon lumineux. Le rayon lumineux passe d'abord par le point A situé dans le milieu d'indice $n_1$, traverse le dioptre en un point I avant de passer par le point B situé dans le milieu d'indice $n_2$.
Pour simplifier les calculs, je peux choisir l'origine O et les axes $Ox$ et $Oy$ tels que les points A et B soient situés dans le plan $(O,x,z)$.
Soient $(x_A,0,z_A)$, $(x_B,0,z_B)$ les cordonnées fixées des deux points A et B dans le système d'axe choisi, et $(x_I,y_I,0)$ les cordonnées variables du point I dans le plan du dioptre
Le trajet du rayon lumineux se fait en deux parties, du point A au point I dans le milieu d'indice $n_1$, puis après traversée du dioptre, du point I au point B dans le milieu d'indice $n_2$. Le chemin suivi par la lumière est donc constitué des deux segments de droite [AI] et [IB], de longueurs respectives notées d(A,I) et d(I,B). Le chemin optique s'écrit alors :
$\delta=\int_{[AI]}n_1;ds;+\int_{[IB]}n_2;ds$
En fonction des coordonnées des points A et B et des coordonnées variables du point I, le chemin optique se réécrit : $\delta(x_I,y_I)=n_1\cdot\sqrt{(x_I-x_A)^2+y_I^2+z_A^2}$ $\hspace{0.8cm}+n_2\cdot\sqrt{(x_I-x_B)^2+y_I^2+z_B^2}$
Le parcours réellement suivi par la lumière selon le principe de Fermat doit être stationnaire. Donc tout couple de coordonnées ($x_I,y_I$) qui vérifie
$\delta(x_I,y_I)=\frac{\partial\delta}{\partial x_I}\cdot dx_I;+;\frac{\partial\delta}{\partial y_I}\cdot dx_I=0$
pour toutes variations infinitésimales et indépendantes $dx_I$ et $dy_I$, est un parcours effectivement choisi par la lumière. Cela n'est possible que si chacune des dérivées partiels est nulle, soit :
$(3)\hspace{0.2cm}\frac{\partial\delta}{\partial x_I}=n_1\cdot{\small{\frac{x_I-x_A}{\sqrt{(x_I-x_A)^2+y_i^2+z_A^2}}}}$ $\hspace{0cm}+n_2\cdot{\small{\frac{x_I-x_B}{\sqrt{(x_I-x_B)^2+y_i^2+z_B^2}}}};=0$ et $(4)\hspace{0.2cm}\frac{\partial\delta}{\partial y_I}=n_1\cdot{\small{\frac{y_I}{\sqrt{(x_I-x_A)^2+y_i^2+z_A^2}}}}$ $\hspace{0cm}+n_2\cdot{\small{\frac{y_I}{\sqrt{(x_I-x_B)^2+y_i^2+z_B^2}}}};=0$
Dans l'équation (4), chaque terme en racine carrée est un nombre réel strictement positif dans les cas qui nous intéressent (A et B de part et d'autre du dioptre, donc $z_A>0$ et $z_B>0$). De plus les indices $n_1$ et $n_2$ sont toujours supérieurs ou égaux à l'unité, donc l'équation ne peut être vérifiée que si
$y_I;=;0$
Je retrouve bien le cas de la réflexion. Tout rayon réfracté est contenu dans le plan d'incidence.
De même, l'équation (3) n'est vérifiée que si : $n_1\cdot (x_I-x_A);=- ;n_2\cdot (x_I-x_B)$ et là encore, comme $n_1$ et $n_2$ sont strictement positifs, cela implique que que $x_I$ est un nombre compris entre $x_A$ et $x_B$. Dans le plan d'incidence, le rayon réfracté est toujours de l'autre côté de la normale au plan du dioptre au point d'impact, par rapport au rayon incident.
Enfin si je remarque dans cette même équation (3) que ${\small{\frac{|,x_I-x_A,|}{\sqrt{(x_I-x_A)^2+z_A^2}}}}=\sin(i_1)$ ${\small{\frac{|,x_I-x_B,|}{\sqrt{(x_I-x_B)^2+z_B^2}}}}=\sin(i_2)$
- avec $i_1$ angle d'incidence du rayon incident et $i_2$ angle de réflexiondu rayon réfléchi par rapport à la normale en I au plan du miroir.
j'en déduis que la relation entre l'angle d'incidence $i_1$ et l'angle de réfraction $i_2$ à la surface du miroir est $n_1\cdot \sin(i_1)=n_2\cdot\sin(i_2)$.
#####Etude de cas : réflexion sur un miroir elliptique
#####Etude de cas : réflexion sur un miroir sphérique concave
#####Le principe dérivé du "retour inverse de la lumière" Je regarde la trajectoire d'un rayon lumineux dans l'espace. Sur cette trajectoire, je sélectionne deux points distincts quelconques sur cette trajectoire, mais tels que le sens de propagation de la lumière soit de A vers B. Quelques soient les systèmes optiques placés sur cette trajectoire entre ces deux points A et B, la trajectoire suivie par la lumière entre ces deux points suit le principe de Fermat : entre l'infinité de trajectoires possibles entre ces deux points, la lumière "choisit" celle qui minimise ou maximise le temps de parcours. Si maintenant je considère une situation où la lumière doit se propager depuis le point B vers le point A, quelle serait la trajectoire de la lumière pour ce sens de parcours? Dans son énoncé, le principe de Fermat ne mentionne nullement un sens de propagation (de A vers B, ou de B vers A). Il est ainsi évident que la trajectoire déterminée par le principe de Fermat est identique, que la lumière se propage de A vers B ou de B vers A. Ce principe est connu sous le nom de "principe du retour inverse de la lumière et je peux l'énoncer de la façon suivante : Le trajet suivi par la lumière est indépendant du sens de propagation. Application : en optique géométrique, pour résoudre certains problèmes, il peut être parfois plus facile pour moi de considérer que la lumière se propage en sens inverse de son sens de propagation réel.