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$\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}$
$\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}$
Proposition 1
Définir les outils mathématiques requis au niveau 3
Pour l'instant, juste une liste de besoins dans une première classification pour ordonner un peu le brainstorming (numération, géométrie, etc). Elle *ne présage pas des titres de chapitres.
Ne présage pas du programme de mathématique, mais permettra de définir un programme "outils mathématiques et concepts physiques", qui sera construit avec les mathématiciens.
Ce thème "Outils mathématiques" sera nécessaire, puisqu'il sera commun à tous les thèmes des sciences expérimentales. Lorsqu'un outil ou concept sera utilisé dans le cours d'un thème particulier, il sera toujours possible d'afficher des éléments d'"Outils mathématiques" dans un mode parallèle.
N'hésitez pas à créer une nouvelle classification si nécessaire.
Les outils mathématiques de niveaux 1 et 2 $+$ :
! Numération, opérations et fonction usuelles
(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
-
nombre imaginaire $
i$
Ensemble des nombres imaginaires purs $\mathbb{I}$ : $c=i\,b$
Ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ :
$c=a+i\,b= |c|\,e^{\,i\,\theta}$,
avec $|c|=\sqrt{a^2 + b^2}$ et $\theta\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)$
$c=a+i\,b= \mathcal{Re}(c)+i\,\mathcal{Im}(c)$ -
fonction puissance $
y^x$ -
fonction exponentielle $
e^x$
Euler $e^{\,i\theta}=\cos\theta+ i\sin\theta$
$\cos\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}+e^{\,-i\theta}}{2}$
$\sin\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}-e^{\,-i\theta}}{2i}$
et fonctions hyperboliques
$\cosh(x)=\dfrac{e^x-+e^{\,- x}}{2}$
$\sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{\,- x}}{2}$ -
$
e^0=1 \quad , \quad$ $e^{\,i\frac{\pi}{2}}=i\quad , \quad$ $e^{\,i\pi}=-1\quad , \quad$, ... -
fonction logatithme $
log_p\,x$
propriétés fonction log, dont transformation produit en somme : $log_p\,xy=log_p,x+log_p,y$ fonction logatithme $log_{10}\,x$ en relation à la fonction puissance $10^x$
fonction logatithme népérien $Log\,x=ln\,x$ en relation à la fonction puissance $exp(x)=e^x$ -
notations réelle et notation complexe : $
\overrightarrow{U}=U_0\,\cos(k\,x-\omega t+\varphi)\overrightarrow{e}$
$\overrightarrow{\underline{U}}=U_0\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t+\varphi)}\overrightarrow{e}$ $\;=\underline{U_0}\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t)}\overrightarrow{e}$
$\overrightarrow{U}=\mathcal{Re}(\overrightarrow{\underline{U}})$
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
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! Ensembles et logique
à faire
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(XXX-YY) ...
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! Géométrie et coordonnées
(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
-
Règle d'orientation de l'espace
Systèmes de coordonnées, bases et repères directs ou indirect -
Coordonnées, bases vectorielles et repères associées
bases et repères orthogonaux, normés, orthonormés, directs et indirects -
Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques
- avec repères et bases associés
- éléments infinitésimaux de longueur, de surface, de volume
- expressions des opérateurs $
\overrightarrow{grad}$, $div$ et $\overrightarrow{rot}$
-
matrice changement de base orthonormée directe :
- $
\overrightarrow{e_i}\longrightarrow \overrightarrow{e_j}'$ : $(a)$ - $
\overrightarrow{e_j}'\longrightarrow \overrightarrow{e_i}'$ : $(a')=(a)^t = (a)^{-1}$
- $
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(XXX-YY) ...
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! Vecteurs et opérateurs, analyse vectorielle
(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
Dans une base euclidienne (3D):
-
Produit scalaire $
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$ -
Produit vectoriel $
\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}$ (notation $\wedge$ ou $\times$ ) -
Produit mixte $
(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})$ -
Opérateurs $
\overrightarrow{grad}$, $div$ et $\overrightarrow{rot}$ (notation $\overrightarrow{rot}$ ou $\overrightarrow{curl}$ ) et notation avec nabla (coordonnées cartésiennes) : $\overrightarrow{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial}{\partial y} \overrightarrow{e_y}\dfrac{\partial}{\partial z}\overrightarrow{e_z}$ -
Opérateurs Laplacien scalaire (coordonnées cartésiennes) $
\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}$ $\;=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{\nabla}$ -
Opérateur d'Alembertien scalaire (coordonnées cartésiennes)
-
$
\Box=\Delta-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\delta^2}{\delta t^2}$ (pour les ondes) -
$
\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{grad}\,V)=0$, lien avec
$\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}=0\quad\Longrightarrow\quad \exists V\;,\;\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\,V$ -
$
div\,(\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{A}) =0$, lien avec
$div\,\overrightarrow{B}=0 \quad\Longrightarrow\quad \exists \overrightarrow{A}\;,\;\overrightarrow{B}=\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{A}$
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(XXX-YY) ...
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! Matrices
(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
-
Matrices $
(n,m)$ : $\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix}$ -
Somme de matrice $
(n,m) + (n,m)$ -
Produit matriciel $
(n,m)\cdot (m,p) dot$ -
Matrice transposée d'une matrice carrée
-
Calcul matriciel
-
Déterminant d'une matrice carrée : $
\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
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! Fonctions - Calcul différentiel et intégral
(CME-FR)
-
Passage de la notation $
f'(x_0)$ à $\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x_0}$
Passage de la notation $f'(x)$ à $\dfrac{df}{dx}$
...
de $f^{(n)}(x_0)$ à $\left.\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}\right|_{x_0}$
de $f^{(n)}(x)$ à $\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}$ -
fonction dérivée et fonction primitive.
-
intégrale simple
- indéfinie $
\displaystyle\int f(x)\,dx$ - définie $
\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx$
- indéfinie $
-
intégrale multiple (variables indépendantes)
- $
\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy$ - $
\displaystyle\iiint f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$
- $
-
différence entre :
- $
\displaystyle\int f(x)\,dx$ et $\oint f(x)\,dx$ - $
\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy$ et $\oiint f(x,y)\,dx\,dy$
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- $
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! Équations
(CME-FR)
- Résolution de systèmes d'équations linéaires par la méthode du déterminant.
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! Équations différentielles
-
équations différentielles linéaires d'ordre 1 ( pour concept de constante de temps,charge décharge condensateur)
- par exemple : $
x(t)$ est une fonction du temps $a\cdot\dfrac{dx}{dt}+b x=0$
(la ou les notations utilisées ne sont pas définies ici) - puis avec second membre sinusoïdal
$a\cdot\dfrac{dx}{dt}+b x=c$
- par exemple : $
-
équations différentielles linéaires d'ordre 2 (pour étude des oscillateurs mécaniques ou électriques)
- par exemple : $
x(t)$ est une fonction du temps
$a\cdot\dfrac{d^2 x}{dt^2}+b\cdot\dfrac{dx}{dt}+b\cdot x=0$
(la ou les notations utilisées ne sont pas définies ici) - puis avec second membre sinusoïdal
$a\cdot\dfrac{d^2 x}{dt^2}+b\cdot\dfrac{dx}{dt}+b\cdot x=d \cdot\cos(\omega t)$
- par exemple : $
-
équation d'onde
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\dfrac{1}{v}\cdot\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}$ -
Système d'ordre 1 et de dimension 2 (une première approche dynamique des populations ou un cours transverse sur les systèmes)
- $
\left\{\begin{array} \dfrac{dx}{dt} = f(x,y)\\ \\ \dfrac{dy}{dt}=g(x,y) \end{array}\right.$ avec par exemple le modèle proies prédateurs de Lotka-Volterra : $f(x,y)= a\cdot x -b\cdot xy$ et $f(x,y)= - c\cdot x +d\cdot xy$ (à ce niveau 3?)
- $
-
savoir mettre sous forme d'un système d'équations différentielles une situation, même si on ne le résoud pas.
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! Autres
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