5.4 KiB
Proposition 1
Définir les outils mathématiques requis au niveau 3
avec une première classification pour ordonner un peu le brainstorming (numération, géométrie, etc). Elle ne présage pas des titres de chapitres.
N'hésitez pas à créer une nouvelle classification si nécessaire.
Les outils mathémétiques de niveaux 1 et 2 $+$ :
! Numération, opérations et fonction usuelles
-
nombre imaginaire $
i$
Ensemble des nombres imaginaires purs $\mathbb{I}$ : $c=i\,b$ Ensemble des nombres complexes purs $\mathbb{C}$ : $c=a+i\,b$ -
fonction puissance $
y^x$ -
fonction exponentielle $
e^x$
Euler $e^{\,i\theta}=\cos\theta+ i\sin\theta$
$\cos\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}+e^{\,-i\theta}}{2}$
** $\sin\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}-e^{\,-i\theta}}{2i}$** -
$
e^0=1 \quad , \quad$ $e^{\,i\frac{\pi}{2}}=i\quad , \quad$ $e^{\,i\pi}=-1\quad , \quad$, ... -
fonction logatithme $
log_p\,x$
propriétés fonction log, dont transformation produit en somme : $log_p\,xy=log_p,x+log_p,y$ fonction logatithme $log_{10}\,x$ en relation à la fonction puissance $10^x$
fonction logatithme népérien $Log\,x=ln\,x$ en relation à la fonction puissance $exp(x)=e^x$ -
Lien entre notations réelle et complexe : $
\overrightarrow{U}=U_0\,\cos(k\,x-\omega t+\varphi)\overrightarrow{e}$
$\overrightarrow{\underline{U}}=U_0\,\e^{\,i\,(k\,x-\omega t+\varphi)}\overrightarrow{e}$
$\overrightarrow{U}=\mathcal{Re}(\overrightarrow{\underline{U}})$
! Ensembles et logique
! Géométrie et coordonnées
-
Règle d'orientation de l'espace
Systèmes de coordonnées, bases et repères directs ou indirect -
Coordonnées, bases vectorielles et repères associées
bases et repères orthogonaux, normés, orthonormés, directs et indirects -
Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques
- avec repères et bases associés
- éléments infinitésimaux de longueur, de surface, de volume
- expressions des opérateurs $
\overrightarrow{grad}$, $div$ et $\overrightarrow{rot}$
-
matrice changement de base orthonormée directe :
- $
\overrightarrow{e_i}\longrightarrow \overrightarrow{e_j}'$ : $(a)$ - $
\overrightarrow{e_j}'\longrightarrow \overrightarrow{e_i}'$ : $(a')=(a)^t = (a)^{-1}$
- $
! Vecteurs et opérateurs, analyse vectorielle
-
Produit vectoriel $
\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}$ (notation $\wedge$ ou $\times$ ) -
Produit mixte $
(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})$ -
Opérateurs $
\overrightarrow{grad}$, $div$ et $\overrightarrow{rot}$ (notation $\overrightarrow{rot}$ ou $\overrightarrow{curl}$ ) et notation avec nabla (coordonnées cartésiennes) : $\overrightarrow{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial}{\partial y} \overrightarrow{e_y}\dfrac{\partial}{\partial z}\overrightarrow{e_z}$ -
Opérateurs Laplacien scalaire (coordonnées cartésiennes) $
\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}$ $\;=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{\nabla}$ -
Opérateur d'Alembertien scalaire (coordonnées cartésiennes)
-
$
\Box=\Delta-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\delta^2}{\delta t^2}$ (pour les ondes)
! Matrices
- Matrices $
(n,m)$ : $\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix}$ - Matrice transposée d'une matrice carrée
- Calcul matriciel
- Déterminant d'une matrice carrée :
$
\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$
! Équations
- Résolution de systèmes d'équations par la méthode du déterminant.