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title : Collection d'éléments de cours (étape 1) : vocabulaire et équations published : true routable: true visible: false

Análisis vectorial / Analyse vectorielle / Vector analysis

!!!! Recopilar elementos de cursos / Collecte d'éléments de cours / Collecting course items !!!! !!!! No publique, no haga visible.
!!!! Ne pas publier, ne pas rendre visible.
!!!! Do not publish, do not make visible.

Informaciónes / Informations

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¿Qué es un elemento del curso?

* Este es un **componente básico** para crear un curso, que incluye :
* una o unas *frases estándar muy cortas*. * las *palabras clave* del vocabulario científico y técnico. * las *ecuaciones matemáticas*

• Se realiza en los 3 idiomas [ES] [FR] [EN] para:

• Identificar el vocabulario equivalente en cada idioma.

• Identificar diferencias culturales, especialmente en escritura matemática (ejemplo: $\wedge$ o $\times$)

• Su rol :

• permitirá construir el curso eligiendo una serie de elementos básicos.

• redacción final libre en cada idioma dentro de cada elemento central.

• se puede repetir en varios cursos.

• Ventajas :

• permite cursos muy similares en los 3 idiomas, que se pueden mostrar en paralelo.

• sin traducción palabra por palabra.

• permite mantener ejemplos y expresiones lingüísticas específicas de cada cultura.

Qu'est-ce qu'un élement de cours?

* C'est un **élément de base** pour construire un cours, comprenant :
* une ou quelques *phrases très courtes, standards*. * les *mots clés* du vocabulaire scientifique et technique. * les *équations mathématique*

• Il est réalisé dans les 3 langues [ES] [FR] [EN] pour :

• Identifier le vocabulaire équivalent dans chaque langue.

• Identifier les différences culturelles, notamment dans l'écriture mathématique
  (exemple : $\wedge$ ou $\times$)

• Son rôle :

• permettra de construire le cours en choisissant une suite d'éléments de base.

• rédaction finale libre dans chaque langue au sein de chaque élément de base.

• peut être repris dans plusieurs cours.

• Avantages :

• permet des cours très proches dans les 3 langues, pouvant être affichés en parallèle.

• pas de traduction mot-à-mot.

• permet de garder exemples et expressions linguistiques propres à chaque culture.

What is a course item?

• This is a basic block to build a course, including:
  

• one or a few very short, standard sentences.

• the key words of the scientific and technical vocabulary.

• the mathematical equations

• It is realized in the 3 languages [ES] [FR] [EN] to:

  • Identify the equivalent vocabulary in each language.
  • Identify cultural differences, especially in mathematical writing
    (example: $\wedge$ or $\times$)

• His role :

  • will allow the course to be built by choosing a series of basic elements.
  • free final writing in each language within each core element.
  • can be repeated in several courses.

• Advantages :

  • allows very similar courses in the 3 languages, which can be displayed in parallel.
  • no word-for-word translation.
  • allows to keep examples and linguistic expressions specific to each culture.

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¿Cómo contribuir ?

* Directamente en el **GitLab M3P2 con su nombre de usuario / contraseña**, haciendo clic en Mejorar este curso al final de esta página. * En el **documento de googledoc** : se especificará.

Comment contribuer ?

* Directement sur le **GitLab M3P2 avec votre login / password**, en cliquant sur Améliorer ce cours à la fin de cette page. * Sur le **document googledoc** : à préciser.

How to contribute ?

* Directly on ** GitLab M3P2 with your login / password **, by clicking on "Improve this course" at the end of this page. * On the **googledoc document**: to be specified.

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Depositar un nuevo elemento de curso

• Estructura del elemento a reproducir :
  
  Comience escribiendo el código numerado que especifica el tema, aquí :
  MATO3-VA-xxx
  (dar un número entero xxx no presente, un número que sigue a los números presentes o un número intermedio según la lógica de la progresión educativa).
  

Por nivel n
(indique el nivel n = 1, 2, 3 o 4 donde se encuentra su elemento del curso).

• (YYY): 3 iniciales para identificarse.

• Comentario (no obligatorio)

[ES] + el texto en su idioma, o su traducción automática si es posible en las otras, especificando (auto-tra).

• [LL] (YYY) + las ecuaciones que usas.

Déposer un nouvel élément de cours

* **Struture de l'élément** à reproduire :

Commencer par écrire le code numéroté qui précise le thème, ici :
*MATO3-VA-xxx*
(donner un *nombre entier xxx non déjà présent*, un nombre à la suite des nombres présents ou un nombre intercalaire selon la logique de la progression pédagogique)

Pour le niveau n
(*indiquer le niveau n=1, 2, 3 ou 4* ou se situe votre élément de cours)

*(YYY) : 3 initiales* pour t'identifier.

*commentaire* (non obligatoire).

*[FR] + le texte dans votre langue* ; ou *sa traduction automatique si possible* dans les autres, en précisant (auto-tra).

* *[LL] (YYY) + les équations* que vous utilisez.

Submit a new course item

* **Structure of the item** to reproduce :

Start by writing the numbered code that specifies the theme, here :
*MATO3-VA-xxx*
(give an *whole number xxx not already present*, a number following the numbers present or an intermediate number according to the logic of the educational progression)

For level n
(*indicate level n = 1, 2, 3 or 4* where your course item is located)

*(YYY): 3 initials* to identify you.

*comment* (not required).

*[EN] + the text in your language*; or *its automatic translation if possible* in the others, specifying (auto-tra).

* *[LL] (YYY) + the equations* you use.

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Mejorar, completar, corregir un elemento del curso existente

* Simplemente **dentro del elemento** del curso, escriba **su contribución comenzando con (YYY-LL)**, con:
YYY sus 3 iniciales, y LL su idioma (ES, FR o EN).
Si solo corrige el texto de una traducción automática en su idioma nativo, recuerde reemplazar (auto-tra) con sus iniciales (YYY).

Améliorer, compléter, corriger un élément de cours existant

* Simplement **à l'intérieur de l'élément** de cours, écrire **votre contribution en commençant par (YYY-LL)**, avec :
YYY vos 3 initiales, et LL votre langue (ES, FR ou EN).
Si vous corrigez simplement le texte d'une traduction automatique dans votre langue natale, pensez à remplacer (auto-tra) par vos initiales (YYY).

Improve, complete, correct an existing course item

* Simply **inside the course item**, write **your contribution starting with (YYY-LL)**, with :
YYY your 3 initials, and LL your language (ES, FR or EN).
If you just correct in your native language the text of an automatic translation, remember to replace (auto-tra) with your initials (YYY).

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Vectores, análisis vectorial / Vecteurs, analyse vectorielle / Vectors, vector analysis

* *MATO3-VA-10*

Vectores en el espacio euclidiano / Vecteurs dans un espace euclidien / Vectors in Euclidean Space

[ES] 3 caracteristicas : norma, dirección y sentido ?

[FR] 3 caractéristiques : norme, direction et sens

[EN] 2 characteritics : magnitude (or length) and direction.

ATENCIÓN / ATTENTION / BE CAREFUL :

[ES] matemáticamente, la palabra "dirección / direction / direction" no tiene el mismo significado en francés y español, y en inglés.

[FR] mathématiquement, le mot dirección / direction / direction" n'a pas le même sens en français et espagnol, et en anglais.

[EN] mathematically, the word "dirección / direction / direction" does not have the same meaning in French and Spanish, and in English.

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• MATO3-VA-20

Significado de los vectores en mecánica / Signification des vecteurs en mécanique / Meaning of vectors in mechanics.

[ES] Los vectores pueden representar diferentes cantidades físicas.
ejemplo: vector de velocidad del punto M, y la fuerza que se aplica al punto M.

[FR] Les vecteurs peuvent représenter des grandeurs physiques différentes.
exemple : vecteur vitesse du point M, et la force qui s’applique sur le point M.

[EN] The vectors can represent different physical quantities.
example: velocity vector of point M, and the force that applies to point M.

[ES] Las normas de vectores correspondientes a diferentes cantidades físicas (ejemplo: velocidad y fuerza) se expresan en diferentes unidades (respectivamente: $ms^{-1}$ y $N$). Ellos no se pueden comparar.

[FR] Les normes de vecteurs correspondant à des grandeurs physiques différentes (exemple : vitesse et force) s’expriment dans des unités différentes (respectivement : $m.s^{-1}$
et $N$). Elles ne peuvent pas être comparées.

[EN] The magnitudes of vectors corresponding to different physical quantities (example: speed and force) are expressed in different units (respectively: $ms^{-1}$ and $N$). They cannot be compared.

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• MATO3-VA-30

Vectores colineales y no colineales / Vecteurs colinéaires et non colinéaires / Collinear and non-collinear vectors

[ES] Dos vectores $\vec{A}$ et $\vec{B}$ son colineales si tienen igual dirección.

[FR] Deux vecteurs $\vec{A}$ et $\vec{B}$ sont colinéaires s’ils ont la même direction :

[EN] Two vectors $\vec{A}$ et $\vec{B}$ are collinear if they lie on the same line or parallel lines :

Il existe alors un nombre réel $\alpha$ tel que l’on peut écrire $\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}$
" $\vec{A}$ et $\vec{B}$ sont colinéaires" $\Longleftrightarrow \exists \alpha\in\mathbb{R}\quad\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}$

[ES] Dos vectores $\vec{A}$ et $\vec{B}$ son colineales si non tienen igual dirección.

[FR] Deux vecteurs $\vec{A}$ et $\vec{B}$ sont non colinéaires s’ils ont des directions différentes.

[EN] Two vectors $\vec{A}$ et $\vec{B}$ are non collinear if they lie on non parallel lines :

Pour tout nombre réel $\alpha$ on peut écrire $\overrightarrow{A} \ne \alpha\cdot\overrightarrow{B}$.
"$\vec{A}$ et $\vec{B}$ sont non colinéaires" $\Longleftrightarrow \forall\; \alpha\in\mathbb{R}$$\quad\overrightarrow{A} \ne\alpha\cdot\overrightarrow{B}$

Fig "mechanics-vectors-collinear.png" ready for use.

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• MATO3-VA-40

Suma y resta de vectores / addition et soustraction de vecteurs / addition and subtraction of vectors

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• MATO3-VA-50

multiplicación de un vector por un escalar / multiplication d'un vecteur par un scalaire / multiplication of a vector by a scalar

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• MATO3-VA-60

vectores libres, vecores fijos / vecteurs libres, vecteurs liés / ...

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• MATO3-VA-70

Base vectorial / Base vectorielle / Base of a vector space

en un plano $\mathcal{P}$ / dans un plan $\mathcal{P}$ / in a plane $\mathcal{P}$

Definición / Définition :

[ES] 2 vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ pertenecientes a un plano $\mathcal{P}$, no nulos, no colineales y ordonados en una secuencia $(\vec{a}\,,\,\vec{b})$ forman una base $(\vec{a}\,,\,\vec{b})$ de este plano.

[FR] 2 vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ appartenant à un plan $\mathcal{P}$, non nuls, non colinéaires et ordonnés dans une suite $(\vec{a}\,,\,\vec{b})$ forment une base $(\vec{a}\,,\,\vec{b})$ de ce plan.

[EN] ...

Propiedad / Propriété :

[ES] Si $(\vec{a}\,,\,\vec{b})$ es una base de un plano $\mathcal{P}$, entonces cualquier vector $\vec{V}$ de $\mathcal{P}$ se descompone de forma única en una combinación lineal de los vectores de base $\vec{a}$ et $\vec{b}$.

[FR] Si $(\vec{a}\,,\,\vec{b})$ est une base d'un plan $\mathcal{P}$, alors tout vecteur $\vec{V}$ de $\mathcal{P}$ se décompose de façon unique en une combinaison linéaire des vecteurs de base $\vec{a}$ et $\vec{b}$.

[EN] ...

Escritura matemática / Écriture mathématique :

[ES]

[FR]"$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ est une base de $\mathcal{P}$" $\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}$$\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$$\quad \overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}$

[EN]

Fig "mechanics-vector-base-plane_L1200.gif" ready for use.

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• MATO3-VA-80

Base vectorial / Base vectorielle / Base of a vector space

en un espacio vectorial $\mathcal{E}$ de dimensión $n$ / dans un espace vectoriel $\mathcal{E}$ de dimension $n$ / in a vector space $\mathcal{E}$ of dimension $n$

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• MATO3-VA-90

[ES] En matemáticas, una secuencia es un conjunto ordenado de elementos, llamados sus "términos". y que están indexados por números naturales.

[FR] En mathématiques, une suite est un ensemble ordonné d'éléments, appelés ses "termes" et qui sont indexées par les entiers naturels.(le terme "n-uplet" n'est pas bon ...)

[EN] In mathematics, a sequence is an ordered set of elements, called its "terms" and which are indexed by natural numbers.

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• MATO3-VA-100

[ES] $n$ vectores ordenados en una secuencia $(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})$ forman una base de un espacio vectorial $\mathcal{E}$ de dimensión $n$ si cualquier vector de este espacio se descompone de manera única en una combinación lineal de los vectores $\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}$.

[FR] $n$ vecteurs ordonnés dans une suite $(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})$ forment une base d'un espace vectoriel $\mathcal{E}$ de dimension $n$, si tout vecteur $\vec{V}$ de cet espace $\mathcal{E}$ se décompose de façon unique en une combinaison linéaire des vecteurs
$\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}$.

[EN] $n$ ordered vectors in a sequence $(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})$ form a basis of a vector space $\mathcal{E}$ of dimension $n$ if any vector of this space decomposes in a unique way into a linear combination of the vectors $\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}$.

[ES]

[FR]"$(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})$ est une base de $\mathcal{E}$"$\quad\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{E}$$\quad\exists ! (\alpha_1,\alpha_1,...;\alpha_1)\in\mathbb{R}^n$ $\quad \overrightarrow{V}=\alpha_1\cdot\overrightarrow{a_1}+\alpha_2\cdot\overrightarrow{a_2}+...+\alpha_n\cdot\overrightarrow{a_n}$

[EN]

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• MATO3-VA-110

[ES] Para cualquier base denotamos los vectores base $\vec{a_i}$. (ejemplo : vectores de la base convencionale (no ortonormales) de un cristal en física del estado sólido/estructura de materiales) :
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08
Reservamos la notación $\vec{e_i}$ para las bases normales y ortonormales:
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.

[FR] Pour un base quelconque nous notons les vecteurs de base $\vec{a_i}$. (exemple des vecteurs de base conventionnelle (non orthonormée) d'un cristal, en physique du solide/structure des matériaux) :
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08
Nous réservons la notation $\vec{e_i}$ pour les vecteurs des bases normées et orthonormée :
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.

[EN] For any base we denote the base vectors $\vec{a_i}$. (example of the conventional base (not orthonormal) of a crystal, in solid state physics/structure of materials) :
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08
We reserve the notation $\vec{e_i}$ for vectors of normal and orthonormal bases :
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.

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Características de una base / Caractéristiques d’une base et d’un repère / Characteristics of a base

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• MATO3-VA-120

Base y ??? normales / Base et repère normés / Normal base and ????

[ES] Base normée $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$

[FR] Base normée $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ et repère normé $(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})$

[EN] Normal base $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$

[ES] Los vectores de una base normal son vectores de norma uno : vectores unitarios.

[FR] Les vecteurs d'une base normée et d'un repère normé sont des vecteurs de norme unité : vecteurs unitaires.

[EN] The vectors of a normal base ???? (I am not sure at all here...) are vectors with a magnitude 1 (1 in the unit system).

$||\overrightarrow{a}||=1\; ; \;||\overrightarrow{b}||=1\; ; \;||\overrightarrow{c}||=1$ .

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• MATO3-VA-130

VA110 Base and ??? ortogonales / Base et repère orthogonaux / Orthogonal base and ???

[ES] Base $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ y ??? $(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})$

[FR] Base $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ et repère $(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})$

[EN] Base $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ and ??? $(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})$

[ES] Los vectores de una base ortongonale son vectores perpendiculares dos a dos.

[FR] Les vecteurs d'une base ou d'un repère orthogonal sont des vecteurs orthogonaux 2 à 2.

[EN] The vectors of the orthogonal base are orthogonal 2 to 2 vectors

$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\; ; \;\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c}\; ; \;\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}$.

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• MATO3-VA-140

Base y ??? ortonormales / base et repère orthonormés / ???

[ES] Base orthonormal $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$ / ??? $(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$

[FR] Base orthonormée $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$ / repère orthonormé $(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$

[EN] ??? $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$ / ??? $(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$

[ES]

[FR] orthonormé = ortho+normé :
- ortho : $\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \vec{e_i}\perp\vec{e_j}$.
- normé : $\forall \vec{e_i} \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\} \quad ||\vec{e_i}||=1$.

[EN]

[ES]

[FR] orthonormé : $\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \overrightarrow{e_i}\cdot\overrightarrow{e_j}=\delta_{i\,j}$
avec le symbole e Kronecker $\delta_{i\,j}$ défini par :
$\delta_{i\,j}=1$ si $i=j\quad$ et $\quad\delta_{i\,j}=0$ si $i \ne j$.

[EN]

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• MATO3-VA-150

Regla de la mano derecha / règle de la main droite / right-hand rule

[ES] Dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ distintos de cero, unitarios y ortogonales, forman una base ortonormal $(\vec{a},\vec{b})$ de un plano en el espacio.

[FR] ]Deux vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ non nuls, unitaires et orthogonaux forment une base orthonormée $(\vec{a},\vec{b})$ d'un plan dans l'espace.

[FR]

[ES] Esta base $(\vec{a},\vec{b})$ se puede completar con un tercer vector $\ve{c}$, unitario y perpendicular a $\vec{a}$ y a $\vec{b}$, para formar una base ortonormal $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ del espacio.

[FR] Cette base $(\vec{a},\vec{b})$ peut être complétée par un troisième vecteur $\vec{c}$, unitaire et perpendiculaire à $\vec{a}$ et à $\vec{b}$, pour former une base orthonormée $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ de l'espace.

[EN]

[ES] Este tercer vector $\vec{c}$ perpendicular a los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ tiene una dirección, la línea recta normal (perpendicular) al plano $\mathcal{P}$, pero hay dos sentidos posibles para este vector $\vec{c}$.
Estos dos posibles sentidos se distinguen por una regla de orientación del espacío: la regla de los 3 dedos de la mano derecha.

[FR] Ce troisième vecteur $\vec{c}$ perpendiculaire à la fois aux vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ possède une direction, la *droite normale (perpendiculaire) au plan $\mathcal{P}$, mais il y a deux sens possibles pour ce vecteur $\vec{c}$.
Ces deux sens possibles sont distingués par une règle d’orientation de l’espace : la règle des 3 doigts de la main droite.

[EN]

Fig "physics-mechanics-space-orientation-right-hand-rule-direction_L1200_horiz_vert.jpg" ready for use.

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• MATO3-VA-200

Repère orthonormé direct / indirect

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• MATO3-VA-210

Producto escalar de dos vectores, y norma de un vector / Produit scalaire de 2 vecteurs, et norme d’un vecteur /

alable dans une base $(\vec{a},\vec{b})$ quelconque d'un plan $\mathcal{P}$

$\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})$

$\Longrightarrow$ commutativité : $\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})\in\mathcal{P}^2\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{U}$

$\Longrightarrow$ associativité : $\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})\in\mathcal{P}^3$ $\quad\overrightarrow{U}\cdot(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}+\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{W}$

$\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{U}=U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b}$
$\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{V}=V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=(U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b})\cdot (V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b})$
$ = U_a\,V_a\,(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a})+U_a\,V_b\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$ $+U_b\,V_a\,(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})+U_b\,V_b\,(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b})$
$= U_a\,V_a\,\overrightarrow{a}^2 + U_b\,V_b\,\overrightarrow{b}^2 + (U_a\,V_a+U_b\,V_a)\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$

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• MATO3-VA-220

Norma de un vector / norme d'un vecteur / vector magnitude

[EN] magnitude = length

$||\overrightarrow{U}||=\sqrt{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{U}}=\overrightarrow{U}^{\frac{1}{2}}$

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• MATO3-VA-230

Vector unitario / Vecteur unitaire / Unit vector

$\overrightarrow{U}$ est unitaire $\quad\Longleftrightarrow\quad ||\overrightarrow{U}||=1$

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• MATO3-VA-240

VA230 Producto escalar de dos vectores colineales / Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires / Scalar product of 2 collinear vectors

[EN] scalar product = dot product

$\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$ sont colinéaires $\quad\Longleftrightarrow\quad (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{0,\pi\}$ $\quad\Longleftrightarrow\quad cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{-1,+1\}$

$\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$ sont colinéaires $\;\Longrightarrow\left|\begin{array}{l}\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=+\;||\overrightarrow{U}||\cdot ||\overrightarrow{V}||\;\text{si}\;\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=0 \\ \, \\ \overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=-\;||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}|| \;\text{si}\;\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=\pi\end{array}\right.$

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• MATO3-VA-250

Producto escalar de dos vectores ortogonales / Produit scalaire de 2 vecteurs orthogonaux / Scalar product of two orthogonal vectors

$\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad, \forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}$ $\overrightarrow{U}\perp\overrightarrow{V}\Longleftrightarrow\widehat{\overrightarrow{U}, \overrightarrow{V}}=\dfrac{\pi}{2}\Longleftrightarrow cos(\widehat{\overrightarrow{U}, \overrightarrow{V}})=0$$\Longrightarrow\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=0$.

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• MATO3-VA-250

Producto escalar de dos vectores en una base ortonormal del espacio / Prduit scalaire de deux vecteurs 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Scalar product of 2 vectors in an orthonormal basis

"$(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})$ est une base orthonormée. $\quad\Longrightarrow$ $\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}$ $\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}$
$\displaystyle\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + ... + U_n\,V_n = \sum_{i=1}^n\;U_i\,V_i$

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• MATO3-VA-260

Cálculo del ángulo entre 2 vectores en una base ortonormal del espacio / Calcul de l’angle entre 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Calculation of the angle between 2 vectors in an orthonormal basis

Plano euclidiano / plan euclidien / euclidian space : $n=3$ :

$\left.\begin{array}{l}\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}) \\ \overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3\end{array}\right|$ $\quad\Longrightarrow\quad cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})=\dfrac{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}} {||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}$ $\quad\Longrightarrow\quad cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})=\dfrac{U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3} {||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}$ $\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}= arcos\left(\dfrac{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}} {||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}\right)$ $\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}= arcos\left(\dfrac{U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3} {||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}\right)$

[ES] El ángulo se da en valor no algebraico y se expresa en radianes:

[FR] L'angle est donné en valeur non algébrique et exprimé en radian :

[ES] The angle is given in non-algebraic value and expressed in radians:

$\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}\in [0, \pi]\quad$ (rad).

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• MATO3-VA-270

Producto vectorial de 2 vectores / Produit vectoriel de 2 vecteurs / Vector product of 2 vectors

Selon http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-36, il faudrait mieux utiliser en France la notation $\vec{U}\times\vec{V}$ plutôt que $\vec{U}\land\vec{V}$. On le fait pour le cours en français, ou alors on garde notre notation en expliquant notre différence avec la notation anglosaxonne ? L'étudiant, dans le mode échange, verra le même cours en parallèle dans 2 langues, et donc verra les différences d'écriture mathémétiques.

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• MATO3-VA-280

Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.

[ES]

[FR] (CME) Le produit vectoriel de deux vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$ non nuls et non colinéaires de l'espace, noté $\vec{U}\land\vec{V}$ est un vecteur $\vec{W}$ :

• de norme $||\overrightarrow{W}||=||\overrightarrow{U}|\cdot||\overrightarrow{V}|\cdot sin(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})$
  (l'angle est donné en valeur non algébrique et exprimé en radian : $\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}\in [0, \pi]\;$ (rad) ).
• de direction perpendiculaire au plan définit par les deux vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$ : $\overrightarrow{W}\perp\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{W}\perp\overrightarrow{V}$
• de sens donné par la règle de la main droite : si le sens du premier vecteur $\vec{U}$ est indiqué par le pouce, le sens du deuxième vecteur $\vec{V}$ par l'index, alors le sens du produit vectoriel $\vec{W}=\vec{U}\land\vec{V}$ est donné par le majeur.

[EN]

[ES]

[FR] La norme $||\vec{U}\land\vec{V}||$ du produit vectoriel de deux vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$ a pour valeur numérique l'aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$.

[EN] .

[ES]

[FR] On note que, du fait de l'utilisation une fois (ou d'un nombre impair de fois) d'une (même) règle d'orientation de l'espace dans sa définition, le produit vectoriel est anti-commutatif :
$\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}=\,-\,\overrightarrow{V}\land\overrightarrow{U}$.

[EN]

[ES]

[FR] Le produit vectoriel est distributif par rapport à l'addition de deux vecteurs :
$\overrightarrow{U}\land\,(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})= \overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}+\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{W}$.

[EN]

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• MATO3-VA-300

Componentes de un producto vectorial en base ortonormal / Composantes d'un produit vectoriel dans une base orthonormée / Components of a vector product in an orthonormal basis

$(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})$ est une base orthonormée $\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}$ $\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}$

[FR] For the expression of a vector $\vec{U}$ in the base $(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})$, we shouldn't we use (http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04) :
$\overrightarrow{U}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}$ instead of $\overrightarrow{U}=\left|\begin{array}{l}U_1\\U_2\\U_3\end{array}\right.$ as we do at INSA ?

[ES] ...

[FR] méthode des produits en croix :

[EN] ...

$\forall\overrightarrow{U}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}$ $\quad\forall\overrightarrow{V}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}$ $\quad\vec{U}\land\vec{V}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}\land\begin{pmatrix}V_1\\V_2\\V_3\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}U_2 V_3 - U_3 V_2\\U_3 V_1 - U_1 V_3\\U_1 V_2 - U_2 V_1\end{pmatrix}$ $=U_1V_2\,\overrightarrow{e_3}+U_2V_3\,\overrightarrow{e_1}+U_3V_1\,\overrightarrow{e_2}$ $-\,U_1V_3\,\overrightarrow{e_2}-U_2V_1\,\overrightarrow{e_3}-U_3V_2\,\overrightarrow{e_1}$

[ES]

[FR]

[EN] method similar to the sum used to obtain the determinant of a matrix :

$\vec{U}\land\vec{V}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_1}&\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3}\\ U_1 & U_2 & U_3\\V_1 & V_2 & V_3\end{vmatrix}$ $=U_1V_2\,\overrightarrow{e_3}+U_2V_3\,\overrightarrow{e_1}+U_3V_1\,\overrightarrow{e_2}$ $-\,U_1V_3\,\overrightarrow{e_2}-U_2V_1\,\overrightarrow{e_3}-U_3V_2\,\overrightarrow{e_1}$

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• MATO3-VA-310

Producto mixto de 2 vectores / Produit mixte de 3 vecteurs / Scalar triple product of 3 vectors

[ES] Producto triple escala = producto mixto.

[FR] Produit mixte.

[EN] Scalar triple product = triple product.

[ES] :

[FR] Le produit mixte de 3 vecteurs ordonnés $\vec{U}$, $\vec{V}$ et $\vec{W}$, noté $(\vec{U},\vec{V},\vec{W})$ est le scalaire (pseudo-scalaire) défini par :

[EN] :

$(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\cdot (\overrightarrow{V}\land\overrightarrow{W})$

Propiedades / Prppriétés / Properties :

$(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W}) =(\overrightarrow{V},\overrightarrow{W},\overrightarrow{U}) =(\overrightarrow{W},\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})$

$(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W}) =-\,(\overrightarrow{V},\overrightarrow{U},\overrightarrow{W}) =-(\overrightarrow{U},\overrightarrow{W},\overrightarrow{V})$ $=-(\overrightarrow{W},\overrightarrow{V},\overrightarrow{U})$

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• MATO3-VA-320

Componentes de un producto mixto en base ortonormal / Composantes d'un produit mixte dans une base orthonormée / Components of a triple product in an orthonormal basis

$(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})$ est une base orthonormée $\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}$ $\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}$
$\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{W}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{W}=\sum_{i=1}^n\;VW_i\cdot\vec{e_i}$

[ES] :

[FR] Le produit mixte $(\vec{U},\vec{V},\vec{W})$ se calcule comme le déterminant de la matrice formée par les coordonnées ordonnées en ligne des trois vecteurs $\vec{U}$, $\vec{V}$ et $\vec{W}$ ordonnés en colonne :

[EN] :

$(\vec{U},\vec{V},\vec{W})=\begin{vmatrix} U_1 & U_2 & U_3\\ V_1 & V_2 & V_3\\W_1 & W_2 & W_3\end{vmatrix}$ $=U_3 V_1 W_2 + U_1 V_2 W_3 + U_2 V_3 W_1 - U_2 V_1 W_3 $$\;- U_3 V_2 W_1 $$\;- U_1 V_3 W_2$

• MATO3-VA-321

Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.

[ES]

[FR] Le module du produit mixte de trois vecteurs $(\vec{U},\vec{V},\vec{W})$ donne le volume du parallélépipède construit à partir des trois vecteurs appliqués en un même point de l'espace.

[EN]

Figure à créer.