3.2 KiB
| title | published | routable | visible | lessons |
|---|---|---|---|---|
| <nil> | false | false | false | {slug <nil>} {order <nil>} |
!!!! COURS EN CONSTRUCTION :
!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com. Ce cours est en construction, il n'est pas validé par l'équipe pédagogique à ce stade.
!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
Pour illustrer le thème des grands nombres
La légende situe la sc Nécessaire à la seconde loi de la thermo : croissance de l'entropie. Faire prendre conscience que le cerveau humain ne gère absolument pas les grands nombres. Avec la légende de Sissa : Le sage Sissa invente le jeu d'échec pour divertir le roi Belkib. Pour le remercier, le Roi souhaite exaucer le Mettre un grain de riz sur la première case, deux grains sur la deuxième, quatre sur la troisième, 8 sur la quatrième, etc.... en doublant à chaque fois le nombre de grains de riz jusqu'à la dernière case de l'échiquier.
Combien de bols de riz faut-il pour remplir l'échiquier ?
On obtient ainsi 18 446 744 073 709 551 615 grains
Et une réflexion sur ce que représente ce chiffre de $2^{64}$, en évaluant
à la louche, avec une petite expérience que chacun peut faire, la masse de riz que cela représente :
C'est un nombre énorme ! Combien de ... tonnes de riz cela représente-t-il?
L'écriture mathématique qui me permet de calculer le nombre de grains de riz nécessaire pour répondre au souhait de Sissa s'écrit :
$\text{nombre de grains requis pour l'échiquier}$
$\quad = \overset{\text{case 1}}{1} + \overset{\text{case 2}}{2} + \overset{\text{case 3}}{(2\times 2)}$
$+ \overset{\text{case 4}}{(2\times 2\times 2)} + ... + \overset{\text{case 64}}{\underset{\text{2 écrit 63 fois}}{\underbrace{(2\times 2\times 2\times ... \times 2)}}}$
Le calcul me montrerait que
$\quad = \text{18 446 744 073 709 551 615 grains}$
Le calcul relève au moins du niveau 2, manipuler les puissances, etc... mais c'est peut-être bien dans dire un mot dans une partie "au-delà".
$\text{masse de 100 grains de riz}\sim 3\,\text{grammes}$
$\text{masse totale de riz}\sim\dfrac{\text{nombre de grains}}{100}\times \text{masse de 100 grains}$
Il faudra expliquer le symbole $\sim$
$M_{riz}= \dfrac{18\;446\;744\;073\;709\;551\;615}{100}\times 3\,g$
=...
Ramenez au temps qu'il faudrait pour compter ces grains, ou pour observer l'évènement, le dernier grains sur la 64ème case est posé.
Avec l'idée de montrer que si la fréquence d'un évènement est trop faible, même si mathématiquement elle n'est pas nulle, en pratique elle ne s'observera jamais.
Ca, manipuler l'exposant, c'est plutôt lycée, niveau 2 : (mais on peut peut-être le mettre dans un apparté "Pour aller plus loin")
$2^{64}=\underset{\text{2 écrit 64 fois}}{\underbrace{2\times 2\times 2\times ... \times 2}}$
Bon ... là je mets juste pour reprendre toute cela plus tard, et ne pas oublier. Mais là! ... dodo.