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Modélisation des systèmes mécaniques
Notion de système matériel
Point matériel
On appelle point materiel un élément dont les dimensions sont suffisamment petites pour qu'il soit possible de repérer sa position par les trois coordonnees $x, y, z$ d'un point geometrique $P$ . On associe ces trois paramètres une quatrième caracteristique, sa masse (elementaire) $m$.
Système matériel
Un système materiel $S$ est un ensemble de points materiels. Par exemple, un solide indéformable est un système matériel dont la distance entre les points est invariante.
Un système materiel sera, dans la suite de ce cours, soit :
- un solide rigide $
S_i$. - un ensemble de $
n$ solides rigides : on a alors $S = \left\{\overset{n}{\underset{i=1}{\large\cup\normalsize}}\; S_i\right\}$
- une partie d'un solide rigide.
Les frontières du système étudié permettent de définir :
- l'intérieur du système considéré.
- l'extérieur du système considéré.
Pour étudier un système, on est amené :
- à le découper en sous-systèmes, c'est à dire en délimiter clairement une partie, l'isoler mentalement, et à faire apparaître les liens de cette parrie avec le reste.
- à modéliser les phénomènes qui régissent le comportement de chaque sous-système (loi de comportement).
Les liens ( liaisons ) qui existent entre d'une part les parties d'un système, et d'autre par entre le système et son environnement, mettent en jeu des forces qui garantissent ces liaisons et qu'il s'agit également de modéliser.
Notion de force
Éléments caractéristiques
La notion de force est une notion tout d'abord physiologique. On peut l'appréhender par exemple dans l'action de tendre ou de comprimer un ressort.
On peut attribuer à cette notion :
- un support.
- un sens sur ce support.
- un module correspondant à une intensité.
Effet des forces
Une force s'exerçant sur un système matériel peut avoir un effet :
- statique : le système reste au repos (mais les forces produisent des déformations).
- dynamique : le système se met en mouvement par rapport à un repère de référence, ou son mouvement est modifié (et des déformations se produisent également).
Classification des forces
D'après le mode d'action de ces forces
Parmi les différentes forces s'exerçant sur ou au sein d'un système donné, on identifie :
- les forces à distances (pesanteur, forces électromagnétiques).
- les forces de contact, actions mutuelles de la matière d'un ensemble matériel sur un autre au niveau d'une surface de contact.
- les forces de cohésion de la matière (forces existant entre les points matériels et qui garantissent la cohésion du solide).
D'après la définition des frontières du système
Après avoir isolé un système $S$ (composé de un ou plusieurs solides), on fait la distinction fondamentale entre :
- les forces extérieures à $
S$ qui sont les forces exercées sur $S$ par un système ou par un solide extérieur à $S$ (ce sont des forces de distance ou de contact). - les forces intérieures à $
S$ qui sont des forces exercées par une partie de $S$ sur une autre partie de $S$ (elles représentent les interactions entre différentes parties de $S$).
! Note :
! Cette distinstion entre forces intérieures ou extérieures est purement conventionnelle : une même force peut être intérieure ou extérieure selon le système considéré.
Modélisation des forces
On peut représenter une force par l'association d'un vecteur et d'un support :
- le support est le support de la force.
- le sens du vecteur est celui dans lequel la force agit.
- le module du vecteur est proportionnel à l'intensité de la force.
Une force est donc assimilable à un vecteur glissant (défini à partir de 6 paramètres). Ainsi il est possible d'associer un torseur à un ensemble de forces (voir dans la suite de ce cours le chapitre Torseurs).
Soit un système $(S)$ soumis à l'action d'un ensemble de forces extérieures $F_i$. On définit le torseur $\mathbf{[F_{ext/S}]}$ des forces extérieures à $(S)$ par :
$\mathbf{[F_{ext/S}]=\left[ \overrightarrow{R}_{[F]}=\sum \overrightarrow{F_i}, \overrightarrow{M}_{A[F]}=\sum \overrightarrow{AP_i}\land\overrightarrow{F_i}\right]}$
où les $P_i$ sont des points des supports des $\overrightarrow{F_i}$.
Modélisation des forces à distance
Les forces à distances agissent en chacun des points du système matériel considéré. Elle seront représentées de façon classique par un champ de vecteurs $\overrightarrow{F_P}$ défini en tout point $P$.
L'exemple le plus courant est celui des forces de gravité :
$\overrightarrow{F_P}=dm\;\overrightarrow{g}$
Modélisation des forces de cohésion
On s'intéressera aux forces de cohésion s'exerçant au sein d'un système matériel considéré quand on se préoccupera des problèmes de résistance de solides déformables. Ce cours étant consacré à la dynamique des solides rigides, on ne fera appel à cette notion qu'à l'occasion de quelques démonstrations ponctuelles; on les illustrera alors en considérant les actions mutuelles de deux points matériels $P$ et $P'$ infiniment proches :
Modélisation des forces de contact
Le contact entre deux systèmes implique une zone de contact commune de la forme à priori quelconque; les forces de contact ont donc un caractère localisé.
Soient deux solides $S_1$ et $S_2$ ; soit $\Sigma$ la zone de contact à travers laquelle s'exercent les efforts de contact.
Modélisation des actions de contact élémentaires :
On isole le solide $S_2$. La répartition des efferts de $S_1$ sur $S_2$ est à priori inconnue.
Soit un élément de surface $d\Sigma$ centré sur un point $P$. Soit $(\Pi)$ le plan tangent à $(\Sigma)$ en $P$ et $\overrightarrow{n}$ la normale à $(\Pi)$, dirigée vers l'extérieur de $S_2$.
On modélise l'action élémentaire de $S_1$ sur $S_2$ et s'exerçant en $P$ par un vecteur glissant $\overrightarrow{df_{S_1/S_2}}$ d'intensité et de direction à priori inconnues. On pose :
$\mathbf{\overrightarrow{df}_{S_1/S_2}=df_{N\;S_1/S_2}\cdot \overrightarrow{n}+\overrightarrow{df}_{\large\tau\normalsize\;S_1/S_2}}$
où :
- $
\mathbf{df_{N\;S_1/S_2}}$ est appelée réaction normale en $P$ et représente la résistance élémentaire de $S_1$ à la pénétration par $S_2$. - $
\mathbf{\overrightarrow{df}_{\tau\;S_1/S_2}}$ est appelée réaction tangentielle en $P$ et représente la résistance élémentaire de $S_1$ au glissement de $S_2$ par rapport à $S_1$ ; c'est une force élémentaire dite de frottement.
Torseur des actions de contact :
Une façon de modéliser, de caractériser les actions de contact de $S_1$ sur $S_2$ consiste à former le torseur noté
$[F_{1/2}]$ et constitué de l'ensemble des forces élémentaires de contact, soit :
$\mathbf{ [F_{1/2}] = \left[ \overrightarrow{R}_{[F_{1/2}]}\;, \overrightarrow{M}_{O\,[F_{1/2}]} \right] }$
ce torseur écrit en un point $O$ quelconque. On a :
$\quad\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{R}_{[F_{1/2}]}=\displaystyle\int_{\small\sum\normalsize} \overrightarrow{df}_{S_1/S_2} \\ \overrightarrow{M}_{O\,[F_{1/2}]}=\displaystyle\int_{\small\sum\normalsize} \overrightarrow{OP}\land\overrightarrow{df}_{S_1/S_2} \end{array}\right.$
Décomposition du torseur des actions de contact :
Ce torseur, à priori quelconque, admet un axe central $(\Delta)$. Soit $A$ l'intersection de $(\Delta)$ et de $(\sum)$.
Soit $\overrightarrow{n}$ la normale à la zone de contact et $A$.
On pose :
$\overrightarrow{R}_{[F_{1/2}]}=R_N\cdot\overrightarrow{n}+R_{\tau}\cdot\overrightarrow{\tau}$
Comme en $A$, $\overrightarrow{R}_{[F_{1/2}]}$ et $\overrightarrow{M}_{A\,[F_{1/2}]}$ sont colinéaires, on pose :
$\overrightarrow{M}_{[F_{1/2}]}=M_N\cdot\overrightarrow{n}+M_{\tau}\cdot\overrightarrow{\tau}$
Signification des composantes :
Ainsi le torseur des actions de contact de $S_1$ sur $S_2$ peut être défini par 4 paramètres,leur signification est la suivante :
-
$
\mathbf{R_N}$ est la résistance de $S_1$ à la pénétration par $S_2$ :
$R_N$ est négatif, dirigé de $S_1$ vers $S_2$.
Si $\mathbf{R_N=0}$, le contact s'annule, il n'y a pas de contact. -
$
\mathbf{R_T}$ est la résistance de $S_1$ au glissement qui pourrait se produire de $S_1\,/\,S_2$.
Cette résistance est due au frottement des deux solides. -
$
\mathbf{M_N}$ est la résistance de $S_1$ au pivotement qui pourrait se produire de $S_1\,/\,S_2$. -
$
\mathbf{M_T}$ est la résistance de $S_1$ au roulement qui pourrait se produire de $S_1\,/\,S_2$.
Modèle de comportement élémentaire - Modèle de Coulomb :
Le modèle de comportement le plus courant - mais relativement grossier - (celui que l'on adoptera dans le cadre de ce cours), appelé modèle de Coulomb, s'énonce comme suit (on négligera les résistances au pivotement et au roulement devant la résistance au glissement) :
- $
\mathbf{R_N}$ : résistance à la pénétration est dirigée vers l'intérieur du solide isolé. Si $R_N=0$, le contact s'annule. - $
\mathbf{R_T}$ : résistance au glissement qui pourrait se produire :- en statique : s'oppose au mouvement que prendrait le solide s'il n'y avait pas de frottement.
- en mouvement : s'oppose à la vitesse de glissement.
- si il existe un glissement au contact de $S_1/S_2$, alors $|\,R_T\,|=f\,|\,R_N\,|$,
- si il n'y a pas de glissement de $S_1/S_2$, alors $|\,R_T\,|\le f\,|\,R_N\,|$,
où $\mathbf{f}$ est le coeficient de frottement, qui est toujours positif : $\mathbf{f\ge 0}$
! Note :
! Le coefficient de frottement $f=\tan\varphi$ caractérise le contact entre $S_1$ et $S_2$. Il dépend de la nature des deux surfaces en contact (rugosité, propriétés physico-chimiques).
!
! Relation de linéarité entre deux forces, ce coefficient est sans unité.
!
! On peut donner quelques exemples :
! * acier sur acier : $f=0,3$
! * acier sur bronze : $f=0,1$
! * acier sur ferodo : $f=0,73$
Modélisation des liaisons entre solides
Considérons un esemble de solides. par définition, on appelle liaison toute restriction à la liberté d'un solide par rapport à un autre. les principales liaisons entre solides peuvent être définies à partir de modèles géométriques parfaits : les surfaces de contact entre les deux solides en liaison sont :
- des points
- des courbes
- des plans
- des sphères
- des cylindres
Pour chacune de ces surfaces, la démadche précédente peut-être appliquée. On appellera forces de liaison les actions qui s'exercent dans le cadre de ces liaisons.
Liaisons parfaites
Une liaison entre deux solides est dite parfaite si elle possède une géométrie exacte et si le contact entre les deux solides se fait sans frottement.
Modélisation du contact ponctuel parfait
Soient deux solides $S_1$ et $S_2$ en contact ponctuel parfait. La zone de contact entre les deux solides est infiniment petite.
On associe à cette liaison en repère caractéristique de la géométrie.
Le centre $A$ du repère est le point de contact.
Dans ce repère, le torseur des actions de contact s'écrit :
$[F_{1/2}]=\left[ R_N \overrightarrow{n}=R_N \overrightarrow{z}, \overrightarrow{0}\right]_A$
$\quad=\left[\,\left|\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ Z \end{array}\right.\; \left|\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right.\,\right]_{\;A,\mathcal{B}}$
Remarque : on constate que :
- une composante nulle de la résultante du torseur des efforts de contact de $
S_1\,/\,S_2$ correspond à un mouvement de translation relative possible de $S_2$ par rapport à $S_1$ dans cette direction. - la composante non nulle de la résultante correspond au mouvement relatif de $
S_2$ par rapport à $S_1$ dans la direction normale $\overrightarrow{n}$. - les composantes nulles du moment du torseur des efforts de contact de $
S_1\,/\,S_2$ correspondant à des mouvements de rotation relative possibles de $S_2$ par rapport à $S_1$ suivant chacun des axes.
Modélisation d'un contact plan parfait
Problème tridimentionnel :
Soient deux solides $S_1$ et $S_2$ en contact plan parfait.
On associe à cette liaison un repère caractéristique de sa géométrie ; $O$ est un point quelconque de la zone de contact.
On isole $S_2$. En l'absence de frottement, les actions élémentaires de $S_2$ sur $S_1$ sont toutes dirigées suivant la normale au contact. Le moment par rapport à l'axe $O\overrightarrow{n}$ de ces actions élémentaires est nul. Le torseur des actions de contact en un point $O$ quelconque s'écrit donc dans la base $\mathcal{B}$ :
$[F_{1/2}]=\left[ R_N \overrightarrow{n}=R_N \overrightarrow{z}, \overrightarrow{M}_{O\;[F_{1/2}]}\right]_O$
$\quad=\left[\,\left|\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ Z \end{array}\right.\; \left|\begin{array}{l} L \\ M \\ O \end{array}\right.\,\right]_{\;O,\mathcal{B}}$
Remarque : on constate à nouveau que :
- une comosante nulle de la résultante du torseur des efforts de contact de $
S_1\,/\,S_2$ correspond à un mouvement de translation relative possible de $S_2$ par rapport à $S_1$ dans cette direction. - la composante non nulle de la résultante correspond au mouvement relatif de $
S_2$ par rapport à $S_1$ dans la direction de la normale $\overrightarrow{n}$. - la composante nulle du moment du torseur des efforts de contact de $
S_1\,/\,S_2$ correspond à un mouvement de rotation relative possible de $S_2$ par rapport à $S_1$ suivant l'axe $\overrightarrow{n}$. - les composantes non nulles du moment du torseur des efforts de contact de $
S_1\,/\,S_2$ correspondent à des mouvements de rotation relative impossibles de $S_2$ par rapport à $S_1$ suivant chacun de ces axes.
Tableau des principales liaisons parfaites
La démarche est similaire pour les autres liaisons usuelles.
Notons à nouveau de façon générale que :
- une composante nulle de la résultante du tenseur des efforts de contact de $
S_1\,/\,S_2$ correspond à un mouvement de translation relative possible de $S_2$ par rapport à $S_1$ dans cette direction. - composante nulle du moment du torseur des efforts de contact de $
S_1\,/\,S_2$ correspond à un mouvement de rotation relative possible de $S_2$ par rapport à $S_1$ suivant cet axe.
Cette dualité entre les composantes du torseur des efforts de contact et les mouvements relatifs possibles des deux solides sera reprise en détail lors du chapitre consacré à la modélisation du mouvement des solides rigides.
Le tableau représentatif est le suivant : $O$, point où sont réduits les ytroseurs cinématiques et les torseurs des inter-efforts.
| Liaison ponctuelle | O point de contact | Pivot Glissant |
O point sur l'axe de liaison |
| Linéaire rectiligne | O point sur ligne de contact | Pivot | O point sur l'axe de liaison |
| Linéaire annulaire | O point sur ligne de contact | Glissière | O point sur l'axe de liaison |
| Rotule | O Centre de la sphère | Encastrement | O point quelconque |
| Appui Plan | O point sur plan de contact |