7.2 KiB
Proposition 1
Définir les outils mathématiques requis au niveau 2
avec une première classification pour ordonner un peu le brainstorming (numération, géométrie, etc). Elle ne présage pas des titres de chapitres.
N'hésitez pas à créer une nouvelle classification si nécessaire.
Les outils mathémétiques de niveau 1 $+$ :
! Numération, opérations et fonction usuelles
-
ensembles de nombres
- des entiers naturels $
\mathbb{N}$ (et $\mathbb{N}^*$) - des entiers relatifs $
\mathbb{Z}$ (et $\mathbb{Z}^*$) - des nombres réels $
\mathbb{R}$ (et $\mathbb{R}^*,\mathbb{R}_+,\mathbb{R}_-, \mathbb{R}_+^*$,...) - des nombres rationnels et irrationnels ? (pas de liens directs en physique, plutôt programme math N2 ou N3?)
- des entiers naturels $
-
factorielle d'un nombre entier nature
-
fonction exponentielle $
exp(x)=e^x$ -
$
log_p\,n$, définie comme :
si $q=p^n$, alors $\log_p(q)=n$, où $n,p,q$ sont des entiers et $p,q$ positifs.
(besoin pour introduire des éléments de physique importants) -
introduction à $
i$ tel que $i^2=-1$ (comme artifice de calcul)
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisme :
-
Fonctions trigonométriques $
\sin$ , $\arcsin$ , $\cos$ , $\arcsin$ , $\tan$ , $\arctan$ -
Les relations de trigonométrie :
- $
\sin(a+b)=\sin\,a\;\cos\,b + \sin\,b\;\cos\,a$ - $
\sin(a-b)=\sin\,a\;\cos\,b - \sin\,b\;\cos\,a$ - $
\cos(a+b)=\cos\,a\;\cos\,b - \sin\,b\;\sin\,a$ - $
\cos(a-b)=\cos\,a\;\cos\,b + \sin\,b\;\sin\,a$
et savoir retrouver les autres
- $
-
L'identité remarquable : $
(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Ensembles et logique
(CME-FR)
-
complémentaire d'un ensemble $
A$ dans $E$*, noté $\mathbf{\complement_E A}$ -
Utilisation de $
\forall$ , $\exists$ , $\displaystyle\lim_{x\longrightarrow x_0}$
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Géométrie et coordonnées
(CME-FR)
-
Règles d'orientation d'un plan : sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre) et sens inverse (sens des aiguilles d'une montre)
-
Coordonnées cartésiennes (2D et 3D) Repère et base cartésiens (2D) composantes vectorielles d'un vecteur (en 2D)
-
Coordonnées polaires : 2D $
(\rho,\varphi)$ et 3D $(\rho,\varphi, z)$ Savoir positionner un point -
Coordonnées sphériques : 2D $
(\theta,\varphi)$ et 3D $(r,\theta,\varphi)$
difference avec longitude, latitude, altiture des coordonnées géographiques -
Projection orthogonale (2D), en relation avec les fonctions sinus et cosinus et le produit scalaire
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Vecteurs et analyse vectorielle
(CME-FR)
-
Représentation intuitive géométrique des vecteurs (longueur, direction et sens)
ou alors dès le niveau 1? -
Addition et soustraction géométriques de vecteurs
ou alors dès le niveau 1? -
composantes d'un vecteur dans une base quelconque, orthogonale, orthonormée 2D
Dans une base euclidienne (2D):
-
produit scalaire de 2 vecteurs en relation avec l'opération de projection orthogonale sur un axe :
$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\lVert \overrightarrow{u} \rVert \cdot \lVert \overrightarrow{v} \rVert \cdot \cos\theta$ -
pour deux vecteurs unitaires et orthogonaux
$\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}=\delta_1^2$ -
pour deux vecteurs exprimés dans une base orthonormée
$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=u_x\,v_x+u_y\,v_y$ -
Norme d'un vecteur et expression dans un base orthonormée, en relation avec Pythagore
$`\lVert\overrightarrow{u}\rVert=\sqrt{u_x^2+u_y^2}=\sqrt{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}}$ -
Expression de l'angle en radian
$\theta=\dfrac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{\lVert \overrightarrow{u} \rVert \cdot \lVert \overrightarrow{v}\rVert }$
! Étude de fonctions
-
Fonction réelle à une variable réelle $
f(x)$- Notion de dérivée en un point $
f'(x_o)$ en relation avec la notion de tangente. - Fonction dérivée $
f'(x)$
- Notion de dérivée en un point $
-
dérivée seconde dès ce niveau ? (méca, équilibre), ou alors seulement dans les parties "au-delà" ?
-
notion de primitive et d'intégrale simple dès ce niveau ?, ou alors seulement dans les parties "au-delà" ?
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
! Équations
-
Équations du second degré : $
a\,x^2 + b\,x + c = 0$ -
Savoir poser en équations un problème qui relève du système d'équations
$\left\{\begin{array}{c} a_1\,x + b_1\,y = c_1 \\ a_2\,x + b_2\,y = c_2 \end{array}\right.$
et le résoudre (de façon non matricielle). -
Savoir poser en équations un problème qui relève du système d'équations
$\left\{\begin{array}{c} a_1\,x + b_1\,y + c_1\,z = d_1 \\ a_2\,x + b_2\,y + c_2\,z = d_2 \\ a_3\,x + b_3\,y + c_3\,z = d_3 \end{array}\right.$
et voir que la résolution (de façon non matricielle) est simple mais fastidieuse.
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)
(XXX-YY) ...
RÉAGIR : ... (XXX-YY)