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### in construction

#### Système, Etats d"un système et information

1870 Boltzmann
1950 Shannon

Entropie définie par :
- thermodynamique :  $`\Delta S=\dfrac{Q}{T}`$
avec $`Q`$ chaleur ajoutée au système, et $`T`$ température à laquelle cette chaleur est ajoutée.
- statistique : $`S=k\times ln\,\Omega`$
avec $`\Omega`$ nombre d'états accessibles au système.

Bref, tout ce que je vois, entends sur l'entropie commence à un niveau élevé....

Donc, à nous de construire

**Ci-dessous, juste des idées de construction** *d'un cours, un peu en désordre et
à partager dans un brainstorming*. Cela *sera à répartir dans les 4 niveaux* quand 
cela sera plus construit, mais gardons à l'esprit, dans cette construction, ce que 
nous pourrions déjà dire et utiliser dans chacun des 4 niveaux.

(L'image classique de l'oeuf, ou du verre qui se casse, peut vraiment être discuter 
à chaque niveau. On dit toujours la même chose, plutôt du niveau basique comme si 
cela allait de soi. Mais beaucoup de choses à dire, selon le niveau de présentation.)

### Entropie, une façon de comptabiliser les états d'un système.

Je rajouterais bien états "distincts ou discernables" d'un système.

Il faudra définir en général la notion de système et d'état d'un système, en donnant 
des exemples extrêmement variés. Puis choisir à chaque niveau 2 ou 3 systèmes sur 
lesquels travailler.

! Note : nécessitera la connaissance des fonction Log / ln... $`\Longrightarrow`$ 
niveaux 3 et 4! dommage... Ou alors onse limite au niveau 2 (voire 1 si on arrive à 
faire hyperhyper simple) à des exemples qui n'utilisent que des puissances entières 
de 10 ? avec un simple comptage de 0 sur des nombres de type 100...000, avec une 
première introduction à $`Log_{10}`$? Cela peut-être très intéressant... et utile.
! 
! On peut peut-être même construire quelque-chose comme cela à partir des 6 faces 
d'un dé, et travailler en base 6, en comptant les 0... du coup une construction un
peu barroque mais simple (je crois même avoir étudié les bases numériques à l'école
primaire ! en tout cas au collège ou au lycée. Notre génération n'en est pas morte,
et même je trouvais cela sympa, cela développait les facultés d'abstraction. C'est aussi 
un peu l'objectif de m3p2... ne pas vouloir systématiquement faire des ingé/chercheurs,
mais entraîner/détecter ceux qui ont des facultés d'abstraction et qui s"intéressent 
aux sciences.


#### 1er système : Boîte cubique de $`N^3`$ compartiments (exemple Penrose).

Soit un caisse cubique de $`N^3`$ compartiments, chaque compartiment contenant une
boule, soit rouge, soit bleue. Cela constitue le système.

Evaluation de la couleur (entre bleu et rouge en passant par les nuances de violet) 
en un endroit de la caisse : 
précisons "endroit" : identifié à une boîte cubique de $`n^3`$ compartiments, tel que :
$`1\ll n \ll N`$ avec $`N`$ multiple de $`n`$ :

$`N=k\cdot n`$, avec $`k \in \mathbb{N}`$ et $`k \gg 1`$

Equivalence pour entropie appliquée à la physique :<br>
pot=macroscopique ; boîte= mésoscopique ; compartiment = microscopique

Evaluation de la couleur en un endroit: 

$`Couleur\;locale = \left.\dfrac{nombre\;de\;boules\;rouges}{nombre\;total\;de\;boules}\right|_{dans\;une\;boîte\;donnée}`$

#### 2ème système : jeu de 52 cartes (perso)
(pour montrer quoi? que l'entropie dépend de ce que nous discernons d'un système, 
et l'intérêt de la fonction Log)

! *note* pour travailler cet exemple au niveau 3 ou 4, il faudra introduire les notions
de "processus stochastique" "ergodique", c'est à dire dont les "moyennes temporelles 
sont identiques aux moyennes statistiques". Car ici d'un tirage dans le temps on en
déduit une série ordonnés instantanée (tirage d'une séquence)... je me trompe? voir
plus tard.

Une carte peut être caractérisée par :
* des critères objectifs :<br>
  sa couleur : rouge ou noire<br>
 son genre : carreau, coeur, trèfle ou pique<br>
 son type : as ; 2 ; 3 ... ; 10 ; valet ; dame ; roi<br>

et des critères subjectifs selon le jeu :
* sa valeur individuelle : as supérieur à tout autre type, par exemple.
* sa valeur collective : par exemple au poker, au sein d'un carré, d'un brelan, d'une suite.

Suivant le jeu, nous ne sommes sensibles (nous ne distinguons) quà une ou quelques-unes,
(ou toutes) ces caractéristiques :

$`une\;carte\;(couleur\; ; \; genre \; ; \; type \; ; \; valeur_{individuelle} \; ; \; valeur_{collective})`$

##### première variante de jeu :

Système : résultat du tirage ordonnée de 26 cartes :

* un peu myope, nous ne sommes sensibles qu'à la couleur :

$`une\;carte\;(couleur)`$

#### 3ème système : Physique classique

Système  : N particules dans l'espace des phases (caractérisées par 3 coordonnées
de position, et 3 composantes de vecteur quantité de mouvement)

#### 4ème système : Information

Système  : une phrase : "ceci est un message".

### Outil mathématique nécessaire :

#### ensemble, dénombrement, factorielle, arrangement, permutation, combinaison.

##### **ensemble** = *regroupement non ordonné d'éléments distincts 2 à 2*.
!!! *exemple* : soient <br>
!!! * ensemble $`E_1=\{a , b , c\}`$.<br>
!!! * ensemble $`E_2=\{c , a , b\}`$.<br>
!!! * ensemble $`E_3=\{a , b , a, c\}`$.
!!!
!!! Les ensembles *$`E_1`$, $`E_2`$ et $`E_3`$ sont égaux* = $`E_1`$, $`E_2`$ et $`E_3`$
sont des *nominations différentes d'un même ensemble* contenant les éléments $`a`$, $`b`$ et $`c`$.
\- On aura besoin de définir ce qu'un un sous-ensemble, l'intersection et la réunion
de deux ensembles je pense.

\- En tant que physicien, je remplacerai bien le terme "distinct" par "indiscernable". 
Ou en tout cas, comme il faut garder cette notion toute "idéale" et "mathématique" 
de "distinct", il est important, dans un développement "au-delà" par exemple, de distinguer :
* le rôle de l'observateur :<br>
\- rôle objectif : selon son degré de technologie observationnelle, il peut discerner 
certaines caractéristique d'un élement observé, et rester insensible à d'autres.<br>
\- rôle subjectif : il peut volontairement attribuer une même "valeur" à des éléments 
discernables, et donc les considérer comme "égaux" du point de vue de la valeur.
* une certaine réalité qui apparaît dans les observations statistiques : "deux électrons"
sont indiscernables (à revoir, peut-être mal dit ou mal compris). 

##### **cardinal** d'un ensemble = *nombre d'éléments* de l'ensemble.

notation : le cardinal d'un ensemble $`E`$ se note $`card\;E`$

!!! *exemple (suite)* :
!!! *$`card\,E_1=card\,E_2=card\,E_3=3`$*. 

##### **1 expérience** : *1 une action sur cet ensemble*
!!! *exemple* : pour l'ensemble $`E={a , b , c}`$, une expérience peut être :
!!! *un tirage aléatoire d'un élément de $`E`$ : 

##### **dénombrement** : *comptage du nombre de résultats possibles* d'une expérience (aléatoire à n étapes)
!!! pour un tirage à une seule étape de l'ensemble $`E`$

##### **factorielle** :

##### **1 permutation** d'un ensemble d'éléments = *1 disposition ordonnée de tousles éléments* de l'ensemble.

##### **1 arrangement** = *1 disposition ordonnée d'un certain nombre d'éléments* d'un ensemble.

#####  **1 combinaison** :


Expérience aléatoire : 

**n jets d'un dé**.


**n tirages d'une carte dans un jeu de 40 cartes (de "as" à 10, pas les valets, ni les dames et les rois).**


**n tirages d'une carte dans un jeu de 52 cartes.**